3.4极大线性无关组

第3.4节向量组的极大线性无关组主要内容:一．等价向量组二．向量组的极大线性无关组三．向量组的秩与矩阵秩的关系一、等价向量组定义1：如果向量组中的每一个向量12:,,,mA(1,2,,)iit都可以由向量组12:,,,sB线性表示，那么就称向量组A可以由向量组B线性表示。若同时向量组B也可以由向量组A线性表示，就称向量组A与向量组B等价。1,,2,12211mikkksisiii2,,2,12211silllmimiii即自反性：一个向量组与其自身等价；对称性：若向量组与等价，则和等价；AB.等价与等价，则与等价，与CACBBA传递性：AB等价向量组的基本性质定理：设12,,,s与是两个向量组，如果12,,,t(2)st则向量组必线性相关。12,,,s推论1：如果向量组可以由向量组12,,,t线性表示，并且12,,,sst12,,,s线性无关，那么推论2：两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量。12,,,s(1)向量组12,,,t线性表示；可以由向量组二、向量组的极大线性无关组定义2:注:（1）只含零向量的向量组没有极大无关组.简称极大无关组。对向量组A，如果在A中有r个向量12,,,r满足：（2）任意r＋1个向量都线性相关。（如果有的话）012:,,,rA线性无关。（1）那么称部分组为向量组的一个极大线性无关组。0AA（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身.（3）一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性表示.例如：在向量组中，123242121,,35414112,首先线性无关，又123,,线性相关，所以12,组成的部分组是极大无关组。还可以验证23,也是一个极大无关组。注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。)3(213极大无关组的一个基本性质：任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。又，向量组的极大无关组不唯一，而每一个极大无关组都与向量组等价，所以：向量组的任意两个极大无关组都是等价的。由等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量，可得一个向量组的任意两个极大无关组等价，且所含向量的个数相同。定理：三、向量组的秩与矩阵秩的关系定义3：向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩,记作例如：向量组的123242121,,354141秩为2。12(,,,)sr向量组的秩（4）等价的向量组必有相同的秩。关于向量组的秩的结论：（1）零向量组的秩为0。（2）向量组12,,,s线性无关12(,,,)srs向量组12,,,s线性相关12(,,,)srs（3）如果向量组可以由向量组12,,,t线性表示，则12,,,s1212(,,,)(,,,)strr注：两个有相同的秩的向量组不一定等价。两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个线性表示，则这两个向量组等价。2.矩阵的秩2.1.行秩、列秩、矩阵的秩把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成，把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量组成。定义4：矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩;矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。例如：矩阵1131021400050000A的行向量组是1234(1,1,3,1)(0,2,1,4)(0,0,0,5)(0,0,0,0)可以证明，123,,是A的行向量组的一个极大无关组，因为，由1122330kkk即12311212123(1,1,3,1)(0,2,1,4)(0,0,0,5)(,2,3,45)(0,0,0,0)kkkkkkkkkkk可知1230,kkk即123,,线性无关；而4为零向量，包含零向量的向量组线性相关，1234,,,线性相关。所以向量组1234,,,的秩为3，所以矩阵A的行秩为3。矩阵A的列向量组是123411310214,,,00050000可以验证124,,线性无关，而312471022所以向量组1234,,,的一个极大无关组是124,,所以向量组1234,,,的秩是3，所以矩阵A的列秩是3。定理：矩阵的行秩＝矩阵的列秩定义5：矩阵的行秩＝矩阵的列秩，统称为矩阵的秩。记为r(A),或rankA，或秩A。推论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。解：看行秩11112131415,,,,aaaaa2222324250,,,,aaaa33334350,0,,,aaa450,0,0,0,0例1：求上三角矩阵的秩111213141522232425333435001,2,3000000000000iiaaaaaaaaaAaiaaa2.2矩阵秩的求法.看123,,的线性相关性：1111213,,aaa令222230,,aa3330,0,a1212330,,线性无关，维数增加后得到的依然线性无关，123,,1234,,,而1235,,,与都线性相关，所以矩阵的秩＝行向量组的秩＝3＝非零行的行数结论：行阶梯形矩阵的秩＝非零行的行数求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，则行阶梯形矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩。例2:32050323612015316414A求A的秩。41461351021632305023A0502335102163234146141461351021632305023A05023351021134041461128121601179120113404146141461351021632305023A8400084000113404146100000840001134041461由阶梯形矩阵有三个非零行可知.3)(AR求向量组的秩、极大无关组的步骤.（1）向量组12,,,s作列向量构成矩阵A。（2）AB初等行变换（行最简形矩阵）r(A)=B的非零行的行数（3）求出B的列向量组的极大无关组（4）A中与B的列向量组的极大无关组相对应部分的列向量组即为A的极大无关组。例3：向量组12345(7,2,1,11),(1,1,5,8)(3,1,1,4),(5,3,7,0),(4,2,1,11)TTTTT求向量组的秩和一个极大无关组。解：7135421132151711184011A15171211327135411840111517109111003644430637770151710911100000300000B()3rA又因为B的1，2，5列是B的列向量组的一个极大无关组所以，125,,是12345,,,,的一个极大无关组。考虑：是否还有其他的极大无关组？135,,145,,与例4：求向量组1234(2,4,2),(1,1,0),(2,3,1),(3,5,2)的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。解：设212341352012A2123011101112123011100002012011100001210101110000B则B的1，2列为极大无关组，且123124121,11所以12,为所求的一个极大无关组，且123124121;11