圆中切线证明综合题及答案

12.11如图11，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．（1）求证：直线PA为⊙O的切线；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的等量关系，并加以证明；（3）若BC＝6，tan∠F＝12，求cos∠ACB的值和线段PE的长．【答案】解：（1）证明：如下图，连接OB，∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO＝90°．∵OA＝OB，BA⊥PO于D，∴AD＝BD，∠POA＝∠POB．又∵PO＝PO，∴△PAO≌△PBO．∴∠PAO＝∠PBO＝90°．∴直线PA为⊙O的切线．（2）EF2＝4OD·OP．证明：∵∠PAO＝∠PDA＝90°，∴∠OAD＋∠AOD＝90°，∠OPA＋∠AOP＝90°．∴∠OAD＝∠OPA．∴△OAD∽△OPA．∴ODOA＝OAOP，即OA2＝OD·OP．又∵EF＝2OA，∴EF2＝4OD·OP．（3）∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，∴OD＝12BC＝3．设AD＝x，∵tan∠F＝12，∴FD＝2x，OA＝OF＝2x－3．在Rt△AOD中，由勾股定理，得(2x－3)2＝x2＋32．解之得，x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去）．AD＝4，OA＝2x－3＝5．∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°．而AC＝2OA＝10，BC＝6，∴cos∠ACB＝610＝35．∵OA2＝OD·OP，∴3(PE＋5)＝25．∴PE＝103．12、12如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．（1）求证：KE=GE；ACBDEFOP（2）若2KG=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若sinE=35，AK=23，求FG的长．考点：切线的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形。解答：解：（1）如答图1，连接OG．∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°，∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，∴KE=GE．（2）AC∥EF，理由为：连接GD，如答图2所示．∵KG2=KD•GE，即=，∴=，又∠KGE=∠GKE，∴△GKD∽△EGK，∴∠E=∠AGD，又∠C=∠AGD，∴∠E=∠C，∴AC∥EF；（3）连接OG，OC，如答图3所示．sinE=sin∠ACH=，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t，∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t，∴HK=CK﹣CH=t．在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，即（3t）2+t2=（）2，解得t=．设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r﹣3t，CH=4t，由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，即（r﹣3t）2+（4t）2=r2，解得r=t=．∵EF为切线，∴△OGF为直角三角形，在Rt△OGF中，OG=r=，tan∠OFG=tan∠CAH==，∴FG===．