数学几何问题添加辅助线方法大全

-1-数学几何问题添加辅助线方法大全规律1.如果平面上有n(n≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出12n(n－1)条.规律2.平面上的n条直线最多可把平面分成〔12n(n+1)+1〕个部分.规律3.如果一条直线上有n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为12n(n－1)条.规律4.线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半.例：如图，B在线段AC上，M是AB的中点，N是BC的中点.求证：MN=12AC证明：∵M是AB的中点，N是BC的中点∴AM=BM=12AB,BN=CN=12BC∴MN=MB+BN=12AB+12BC=12(AB+BC)∴MN=12AC练习：1.如图，点C是线段AB上的一点，M是线段BC的中点.求证：AM=12(AB+BC)2.如图，点B在线段AC上，M是AB的中点，N是AC的中点.求证：MN=12BC3.如图，点B在线段AC上，N是AC的中点，M是BC的中点.求证：MN=12AB规律5.有公共端点的n条射线所构成的交点的个数一共有12n(n－1)个.NMCBAMCBANMCBANMCBA-2-规律6.如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n（n－1）个.规律7.如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成n（n－1）对对顶角.规律8.平面上若有n（n≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出16n(n－1)(n－2）个.规律9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90o.规律10.平面上有n条直线相交，最多交点的个数为12n(n－1)个.规律11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半.规律12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直.例：如图，以下三种情况请同学们自己证明.规律13.已知AB∥DE,如图⑴～⑹,规律如下：规律14.成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半.例：已知，BE、DE分别平分∠ABC和∠ADC，若∠A=45o,∠C=55o,求∠E的度数.解：∠A＋∠ABE=∠E＋∠ADE①∠C＋∠CDE=∠E＋∠CBE②①＋②得∠A＋∠ABE＋∠C＋∠CDE=∠E＋∠ADE＋∠E＋∠CBE∵BE平分∠ABC、DE平分∠ADC，∴∠ABE=∠CBE，∠CDE=∠ADE∴2∠E=∠A＋∠C1ABC+BCD+CDE=360EDCBA+=CDEABCBCD2EDCBA-=CDEABCBCD3EDCBA-=CDEABCBCD4EDCBA+=CDEABCBCD5EDCBA+=CDEABCBCD6EDCBANMEDBCAHGFEDBCAHGFEDBCAHGFEDBCA-3-∴∠E=12(∠A＋∠C)∵∠A=45o,∠C=55o,∴∠E=50o三角形部分规律15．在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题.例：如图，已知D、E为△ABC内两点，求证：AB＋AC＞BD＋DE＋CE.证法（一）：将DE向两边延长，分别交AB、AC于M、N在△AMN中，AM＋AN＞MD＋DE＋NE①在△BDM中，MB＋MD＞BD②在△CEN中，CN＋NE＞CE③①＋②＋③得AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE∴AB＋AC＞BD＋DE＋CE证法（二）延长BD交AC于F，延长CE交BF于G,在△ABF和△GFC和△GDE中有，①AB＋AF＞BD＋DG＋GF②GF＋FC＞GE＋CE③DG＋GE＞DE∴①＋②＋③有AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE∴AB＋AC＞BD＋DE＋CE注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题.练习：已知：如图P为△ABC内任一点，求证：12(AB＋BC＋AC)＜PA＋PB＋PC＜AB＋BC＋AC规律16．三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半.例：如图，已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC的外角∠ACE的平分线，它与BD的延长线交于D.求证：∠A=2∠D证明：∵BD、CD分别是∠ABC、∠ACE的平分线FGNMEDCBA21CEDBA-4-∴∠ACE=2∠1,∠ABC=2∠2∵∠A=∠ACE－∠ABC∴∠A=2∠1－2∠2又∵∠D=∠1－∠2∴∠A=2∠D规律17.三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90o加上第三个内角的一半.例：如图，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，求证：∠BDC=90o＋12∠A证明：∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB∴∠A＋2∠1＋2∠2=180o∴2(∠1＋∠2)=180o－∠A①∵∠BDC=180o－(∠1＋∠2)∴(∠1＋∠2)=180o－∠BDC②把②式代入①式得2(180o－∠BDC)=180o－∠A即：360o－2∠BDC=180o－∠A∴2∠BDC=180o＋∠A∴∠BDC=90o＋12∠A规律18.三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于90o减去第三个内角的一半.例：如图，BD、CD分别平分∠EBC、∠FCB，求证：∠BDC=90o－12∠A证明：∵BD、CD分别平分∠EBC、∠FCB∴∠EBC=2∠1、∠FCB=2∠2∴2∠1=∠A＋∠ACB①2∠2=∠A＋∠ABC②①＋②得2（∠1＋∠2）=∠A＋∠ABC＋∠ACB＋∠A2（∠1＋∠2）=180o＋∠A∴（∠1＋∠2）=90o＋12∠A∵∠BDC=180o－(∠1＋∠2)∴∠BDC=180o－(90o＋12∠A)∴∠BDC=90o－12∠A规律19.从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个DCBA2121FEDCBA-5-角差（的绝对值）的一半.例：已知，如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC.求证：∠EAD=12(∠C－∠B)证明：∵AE平分∠BAC∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC∵∠BAC=180o－(∠B＋∠C)∴∠EAC=12〔180o－(∠B＋∠C)〕∵AD⊥BC∴∠DAC=90o－∠C∵∠EAD=∠EAC－∠DAC∴∠EAD=12〔180o－(∠B＋∠C)〕－(90o－∠C)=90o－12(∠B＋∠C)－90o＋∠C=12(∠C－∠B)如果把AD平移可以得到如下两图，FD⊥BC其它条件不变，结论为∠EFD=12(∠C－∠B).注意：同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过解一道题掌握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的能力.规律20.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.例：已知D为△ABC内任一点，求证：∠BDC＞∠BAC证法（一）：延长BD交AC于E，∵∠BDC是△EDC的外角，∴∠BDC＞∠DEC同理：∠DEC＞∠BAC∴∠BDC＞∠BAC证法（二）：连结AD，并延长交BC于F∵∠BDF是△ABD的外角，EDCBAABCDEFFEDCBAFABCDEDCBA-6-∴∠BDF＞∠BAD同理∠CDF＞∠CAD∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD即：∠BDC＞∠BAC规律21.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形.例：已知，如图，AD为△ABC的中线且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BE＋CF＞EF证明：在DA上截取DN=DB，连结NE、NF，则DN=DC在△BDE和△NDE中，DN=DB∠1=∠2ED=ED∴△BDE≌△NDE∴BE=NE同理可证：CF=NF在△EFN中，EN＋FN＞EF∴BE＋CF＞EF规律22.有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形.例：已知，如图，AD为△ABC的中线，且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BE＋CF＞EF证明：延长ED到M，使DM=DE，连结CM、FM△BDE和△CDM中，BD=CD∠1=∠5ED=MD∴△BDE≌△CDM∴CM=BE又∵∠1=∠2，∠3=∠4∠1＋∠2＋∠3＋∠4=180o∴∠3＋∠2=90o即∠EDF=90o∴∠FDM=∠EDF=90o△EDF和△MDF中ED=MD∠FDM=∠EDFDF=DF∴△EDF≌△MDF∴EF=MF4321NFEDCBAMABCDEF12345-7-∵在△CMF中，CF＋CM＞MFBE＋CF＞EF（此题也可加倍FD，证法同上）规律23.在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形.例：已知，如图，AD为△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD证明：延长AD至E，使DE=AD，连结BE∵AD为△ABC的中线∴BD=CD在△ACD和△EBD中BD=CD∠1=∠2AD=ED∴△ACD≌△EBD∵△ABE中有AB＋BE＞AE∴AB＋AC＞2AD规律24.截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等.这两种方法统称截长补短法.当已知或求证中涉及到线段a、b、c、d有下列情况之一时用此种方法：①a＞b②a±b=c③a±b=c±d例：已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1=∠2，P为AD上任一点，求证：AB－AC＞PB－PC证明：⑴截长法：在AB上截取AN=AC，连结PN在△APN和△APC中，AN=AC∠1=∠2AP=AP∴△APN≌△APC∴PC=PN∵△BPN中有PB－PC＜BN∴PB－PC＜AB－AC⑵补短法：延长AC至M，使AM=AB，连结PM在△ABP和△AMP中AB=AM12EDCBAP12NDCBAABCD21PM-8-∠1=∠2AP=AP∴△ABP≌△AMP∴PB=PM又∵在△PCM中有CM＞PM－PC∴AB－AC＞PB－PC练习：1.已知，在△ABC中，∠B=60o,AD、CE是△ABC的角平分线,并且它们交于点O求证：AC=AE＋CD2.已知，如图，AB∥CD∠1=∠2,∠3=∠4.求证：BC=AB＋CD规律25.证明两条线段相等的步骤：①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。②若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所在的三角形全等.③如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形.例:如图，已知，BE、CD相交于F，∠B=∠C，∠1=∠2，求证：DF=EF证明：∵∠ADF=∠B＋∠3∠AEF=∠C＋∠4又∵∠3=∠4∠B=∠C∴∠ADF=∠AEF在△ADF和△AEF中∠ADF=∠AEF∠1=∠2AF=AF∴△ADF≌△AEF∴DF=EF规律26.在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相等.例：已知，如图Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90o，过A作任一条直线AN，作BD⊥AN于D，CE⊥AN于E，求证：DE=BD－CE证明：∵∠BAC=90o,BD⊥AN∴∠1＋∠2=90o∠1＋∠3=90o∴∠2=∠3∵BD⊥ANCE⊥AN4321FEDCBA4321EDCBA-9-∴∠BDA=∠AEC=90o在△ABD和△CAE中，∠BDA=∠AEC∠2=∠3AB=AC∴△ABD≌△CAE∴BD=AE且AD=CE∴AE－AD=BD－CE∴DE=BD－CE规律27.三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等.例：AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于F，BE⊥AD的延长线于E求证：BE=CF证明：（略）规律28.条件不足时延长已知边构造三角形.例：已知AC=BD，AD⊥AC于A，BCBD于B求证：AD=BC证明：分别延长DA、CB交于点E∵AD⊥ACBC⊥BD∴∠CAE=∠DB