数学分析课件 含参量反常积分

返回后页前页§2含参量反常积分与函数项级数相同,含参量反常积分的重要内容是判别含参量反常积分的一致收敛性.在相应的一致收敛的条件下,含参量反常积分具有连续性,可微性,可积性.含参量反常积分的一致收敛性的判别法与函数项级数的一致收敛性的判别法类似.返回返回后页前页四、含参量无界函数的反常积分三、含参量反常积分的性质二、含参量反常积分一致收敛性的判别一、含参量反常积分的一致收敛性返回后页前页一．含参量反常积分一致收敛性(,)fxy[,)RJc设函数定义在无界区域上,其中J,xJ是任意区间.若反常积分()(,)d(1)cIxfxyy都收敛，则()IxJ是上的函数.称(1)为定义在J上的含参量x的无穷限反常积分,或称含参量反常积分.返回后页前页定义1若含参量反常积分(1)与函数I(x)对0,,NcMN,xJ使得当时,对一切都有(,)d(),McfxyyIx即(,)d,Mfxyy则称含参量反常积分(1)在J上一致收敛于I(x),或简单地说含参量积分(1)在J上一致收敛.返回后页前页()(,)dcIxfxyyJ注1由定义,在上一致收敛的充要条件是()sup(,)d0().AxJAfxyyA()(,)dcIxfxyyJ注2由定义,在上不一致收敛的充要条件是000,,,McAMxJ及00(,)d.Afxyy返回后页前页例1讨论含参量反常积分0ed,(0,)xyxyx的一致收敛性.解若0,,xuxy令则edede,xyuxAAxAxyu于是[0,)()suped1,xyAxAxy返回后页前页因此,含参量积分在(0,)上非一致收敛.[,)()supede0(),xyAAxAxyA因此,该含参量积分在[,)上一致收敛.而对于任何正数,有返回后页前页二．含参量反常积分一致收敛性的判别定理19.7(一致收敛的柯西准则)含参量反常积分(1)[,]ab0,,Nc在上一致收敛的充要条件是:12,AAN[,],xab使得当时,对一切的都有21(,)d.(3)AAfxyy证必要性()(,)dcIxfxyyJ若在上一致收敛,则0,,,NcANxJ及有返回后页前页(,)d(),2AcfxyyIx因此,12,,AAN2121(,)d(,)d(,)dAAAAccfxyxfxyxfxyx11(,)d()(,)d()AAccfxyxIxfxyxIx.22返回后页前页21(,)d.AAfxyy则令2,(,)d.MAfxyy得()(,)dcIxfxyyJ这就证明了在上一致收敛.例2证明含参量反常积分0sind(4)xyyy充分性若120,,,,NcMAAN返回后页前页[,)(0),上一致收敛其中(0,)在但在内不一致收敛.证作变量代换,uxy得sinsindd,(5)AAxxyuyuyu0,A0sinduuu其中由于收敛,故对任给的正数,AM总存在某一实数M,当时就有sind.Auuu返回后页前页,MAMA则当时,0,x对取由(5)式sind,Axyyy所以(4)在0x上一致收敛.现证明(4)在(0,)内不一致收敛.由一致收敛定义的注2,只要证明:存在某一正数0,使得对任何(0,),x使得()McAM,总相应地存在某个及某个实数返回后页前页由于非正常积分0sinduuu收敛(在本节例6中我们将求出这个积分的值),故对000,M与总0,x使得00sinsindd,Mxuuuuuu即0(,)d.Afxyy返回后页前页现令001sind,2uuu由(5)及不等式(6)的左端就有000sinsindd2.MMxxyuyuyu所以(4)在(0,)内不一致收敛.收敛之间的联系有下述定理.关于含参量反常积分一致收敛性与函数项级数一致定理19.8含参量反常积分(1)在J上一致收敛的充要0000sinsinsinddd.(6)Mxuuuuuuuuu返回后页前页1{}(nAA其中条件是:对任一趋于的递增数列111(,)d()(7)nnAnAnnfxyyuxJ0,,Mc证必要性由(1)在上一致收敛,故AAM时，,xJ使得当对一切总有(,)d.(8)AAfxyy函数项级数),c在J上一致收敛,其中1()(,)d.nnAnAuxfxyy返回后页前页又由(),nAn所以对正数M,存在正整数N,mnN.mnAAM只要当时,就有由(8)对一切,xJ就有11()()(,)d(,)dmnmnAAnmAAuxuxfxyyfxyy1(,)d.mnAAfxyy这就证明了级数(7)在J上一致收敛.充分性用反证法.假若(1)在J上不一致收敛,则00,,McAAMxJ和，对使得返回后页前页0(,)d.AAfxyy1211max{1,},McAAM则存在1[,],xab及现取使得2110(,)d.AAfxyy一般地,取2(1)max{,}(2),nnMnAn则有221,nnnnAAMxJ及使得2210(,)d.(9)nnAnAfxyy返回后页前页{}nAlimnnA由上述所得到的数列是递增数列,且111()(,)d.nnAnAnnuxfxyy0,,nN由(9)式知存在正数对任何正整数N,只要就有某个0,xJ使得21220()(,)d.nnAnnnAuxfxyy这与级数(7)在J上一致收敛的假设矛盾.故含参量现在考虑级数.返回后页前页反常积分在J上一致收敛.注由定理19.8,含参量反常积分可看作连续型的函函数项级数.它们的证明与函数项级数相应的判别法相仿,我们下面列出含参量反常积分的一致收敛性判别法.它用柯西准则证明魏尔斯特拉斯M判别法和狄利克雷判别法.阿贝耳判别法的证明留给读者.返回后页前页魏尔斯特拉斯M判别法设有函数g(y),使得(,)(),,.fxygyxJcy若()d(,)dccgyyfxyyJ收敛,则在上一致收敛.()dcgyy收敛,12,,,NcAAN证由于21()d.AAgyy因此12,[,],AANxcd及返回后页前页2211(,)d()d.AAAAfxyxgyy从而(,)dcfxyyJ在上一致收敛.狄利克雷判别法设(i)对一切实数,Nc含参量正常积分(,)dNcfxyyJ对参量x在上一致有界,即存在正数M,对一切,Nc,xJ及一切都有返回后页前页(,)d;NcfxyyM,xJ(,)gxy(ii)对每一个函数关于y单调且当则含参量反常积分(,)(,)dcfxygxyy在J上一致收敛.证0,,,().2NcANgAM有时,对参量x,(,)gxy一致收敛于0,y返回后页前页于是,12,,AAN由积分第二中值定理，21(,)(,)dAAfxygxyy221112()(,)d()(,)dAAAAgAfxyygAfxyy221112()(,)d()(,)dAAAAgAfxyygAfxyy221112()(,)d()(,)dAAAAgAfxyygAfxyy.22MMMM返回后页前页(,)(,)dcfxygxyyJ由一致收敛的柯西准则,在上一致收敛.阿贝耳判别法设(i)(,)dcfxyyJ在上一致收敛；,xJ(,)gxy(ii)对每一个函数为y的单调函数,且(,)gxyJ对参量x,在上一致有界,则含参量反常积分(,)(,)dcfxygxyy在J上一致收敛.返回后页前页例3证明含参量反常积分20cosd(10)1xyxx在(,)上一致收敛.证由于对任何实数y有22cos1,11xyxx及反常积分20d1xx收敛,故由魏尔斯特拉斯M判别法,含参量反常积分(10)在(,)上一致收敛.返回后页前页0sined(11)xyxxx在[0,]d上一致收敛.证由于反常积分0sindxxx收敛(当然,对于参量y,[0,]d(,)exygxy它在上一致收敛),函数对每一例4证明含参量反常积分[0,]xd0,0ydx个单调,且对任何都有(,)e1.xygxy返回后页前页故由阿贝耳判别法即得含参量反常积分(11)在[0,]d上一致收敛.例5证明:若(,)[,][,)fxyabc在上连续,又(,)dcfxyy(,)dcfxyy在[,)ab上收敛,但在处发散,则xb在[,)ab上不一致收敛.返回后页前页证用反证法.假若积分在[,)ab上一致收敛,则对于0,,Mc,AAM任给总存在当时对一切[,)xab恒有(,)d.AAfxyy(,)[,][,]fxyabAA在(,)dAAfxyy因上连续,所以x,xb是的连续函数.在上面不等式中令得到当AAM时,返回后页前页(,)d.AAfbyy(,)dcfxyyxb而是任给的,因此在处收敛,(,)dcfxyy[,)ab这与假设矛盾.所以积分在上不一致收敛.返回后页前页三、含参量反常积分的性质定理19.9(含参量反常积分的连续性)设(,)[,)fxyJc在上连续,若含参量反常积分()(,)d(12)cIxfxyy{}nA证由定理19.8,对任一递增且趋于的数列在J上一致收敛,则I(x)在J上连续.1(),Ac函数项级数111()(,)d()(13)nnAnAnnIxfxyyux返回后页前页J(,)[,)fxyJc在在上一致收敛.又由于上连续,故每个()nuxJ都在上连续.根据函数项级数的连续性定理,函数I(x)在J上连续.这个定理也证明了在一致收敛的条件下,极限运算与积分运算可以交换:00lim(,)d(,)dccxxfxyyfxyy0lim(,)d.(14)cxxfxyy返回后页前页定理19.10(含参量反常积分的可微性)(,)(,)xfxyfxy与[,)Jc设在区域上连续.若()(,)dcIxfxyyJ(,)dxcfxyyJ在上收敛,在上一致收敛,则I(x)在J上可微,且()(,)d(15)xcIxfxyy1{}(),nAAc证对任一递增且趋于的数列令1()(,)d.nnAnAuxfxyy返回后页前页由定理19.3推得1()(,)d.nnAnxAuxfxyy(,)dcfxyy由在J上一致收敛及定理19.8,可得函数项级数111()(,)dnnAnxAnnuxfxyy在J上一致收敛,因此根据函数项级数的逐项求导定理,即得返回后页前页111()()(,)d(,)d,nnAnxxAcnnIxuxfxyyfxyy或写作d(,)d(,)d,dccfxyyfxyyxx最后结果表明在定理条件下,求导运算和积分运算可以交换.返回后页前页[,][,)abc()(,)dcIxfxyy[,]ab上连续,若在上一致收敛,则I(x)在[,]ab上可积,且d(,)dd(,)d,(16)bbaccaxfxyyyfxyx[,]ab上可积.又由定理19.9的证明中可以