5.6正弦定理、余弦定理和解斜三角形

5.6正弦定理、余弦定理和解斜三角形正弦定理、余弦定理某林场为了及时发现火情，在林场中设立了两个观测点A和B，某日两个观测点的林场人员分别观测到C处出现火情。在A处观测到火情发生在北偏西40°方向，而在B处观测到火情在北偏西60°方向，已知B在A的正东方向10千米处（如图）。现在要确定火场C距A、B多远。将此问题转化为数学问题，就是：“在△ABC中，已知∠CAB=130°∠CBA=30°，AB=10千米，求AC与BC的长。”CABD一、引例数学问题——解三角形问题三角形有六个元素，知道其中三个，一般就可以求出其他三个量。我们需要两个定理如图所示，以△ABC的顶点A为坐标原点，AB边所在直线为x轴，建立直角坐标系。设a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边长，CD为AB边上的高，则点B、C的坐标分别为（c，0）、（bcosA、bsinA），CD=bsinA。AyxCDOBabcS△ABC=AB·CD=cbsinA,2121即S△ABC=cbsinA21同理得S△ABC=acsinB,S△ABC=basinC2121三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦值的积的一半。问题(1)：为什么C点坐标为（bcosA、bsinA）？问题(2)：若以C点为坐标原点，CA边所在直线为x轴，建立直角坐标系，类似地可以得到怎样的结论呢？二、正弦定理cbsinA=21acsinB=2121basinC将上述等式同时除以abc，得21,sinsinsincCbBaACcBbAasinsinsin即在三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等。此结论叫做正弦定理。思考：正弦定理在直角三角形中是否成立？ABCbca当∠C=90°时，由正弦定理可得1sinsincBbAa即cbBcaAsin,sinAyxCOBabc问题：如图，转变后，此时a2=?答：a2=b2+c2AyxCDOBabc问题：那么原图中a2与已知量之间到底有何关系呢？发现a2就是B、C两点间的距离的平方，可用两点间的距离公式建立a2与已知量之间的关系。得a2=(bcosA-c)2+b2sin2A=b2cos2A-2bccosA+c2+b2sin2A=b2-2bccosA+c2即a2=b2+c2-2bccosA同理可得b2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC三角形的一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦值乘积的两倍。此结论叫做余弦定理。三、余弦定理余弦定理也可以写成下面的形式：abcabCacbcaBbcacbA2cos2cos2cos222222222思考：1、余弦定理在直角三角形中是否成立？2、余弦定理与勾股定理之间有何关系？正弦定理、余弦定理的作用：正弦定理、余弦定理揭示了三角形的六个元素之间的关系，利用正弦定理、余弦定理，结合三角形内角和定理就可以解决解斜三角形的问题了。正弦定理和余弦定理的特征：共同点：每个等式有四个元素，知道三个元素可求另外一个元素。不同点：正弦定理（四个元素为两边两对角）余弦定理（四个元素为三边一角）下面让我们回到本节开头所提出的问题：解：由三角形内角和为180°，可知C=180°-130°-30°=20°由正弦定理，得.1520sin30sin10sinsin,2220sin130sin10sinsinCBcbCAcaCABcab因此，火场C在距离观测点A北偏西40°方向的约15千米处，在距离观测点B北偏西60°方向的约22千米处。在△ABC中，已知∠CAB=130°∠CBA=30°，AB=10千米，求AC与BC的长。四、应用请选择最佳方案解下列三角形中的x(a)直角三角比的定义(b)正弦定理(c)余弦定理已知A=20o,b=3,c=5求a已知B=90o,b=6,C=35o求a已知B=80o,b=5,C=50o求a已知A=20o,b=6,B=105o求a已知C=20o,c=4,a=3求A已知a=4,b=5,c=6求A小结正弦定理、余弦定理（利用三角形面积公式推导了正弦定理利用两点间距离公式推导了余弦定理）正弦定理、余弦定理揭示了三角形的六个元素之间的关系，边和角的关系利用正弦定理、余弦定理，结合三角形内角和定理就可以解决解斜三角形的问题了。回家作业1、解下列三角形ABC，并求面积（结果是小数，保留两位小数）（1）16,5,19abc（2）47,93,150abC（3）40,32,75bcA2、求证：一个三角形是钝角三角形的充要条件是三角形内有一条边的平方大于另两条边的平方和3、解下列三角形ABC，并求面积（结果是小数，保留两位小数）（1）7.30,85aBC（2）40,80,5ABa4、在ABC中，已知8,7,60abB，求c5、写出三角形全等的判定条件5.6正弦定理、余弦定理和解斜三角形解斜三角形（1）一、复习正、余弦定理CcBbAasinsinsina2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosCabcabCacbcaBbcacbA2cos2cos2cos222222222正弦定理余弦定理复习三角形全等的判定条件根据三个元素画出三角形请选用合适的定理解决以下问题已知两角一边ASA已知一角两边，(a)可分为两边一夹角SAS(b)两边一邻角已知三边SSS二、正弦定理、余弦定理应用例1在中，已知，求b（保留两个有效数字）.ABC30,45,10CAc解：∵且CcBbsinsin105)(180CAB1930sin105sin10sinsinCBcb　例2、已知三角形的三边之比为3:5:7,求此三角形的最大内角。2223,5,773571cos1202352kkkkkkkkk解：设三边分别为根据大边对大角所对的角为最大内角036,31,45,AB.ABCabCc例、在中，已知求、、2222222cos421cos602218075cababCcbcaAAbcBAC解：第2步可不可以用正弦定理求角？为何此处采用余弦小结（ASA，SAS，SSS）已知两角一边ASA（内角和之和为180度，算出三角，然后利用正弦定理，算出其它两边）已知一角两边，(a)可分为两边一夹角SAS用余弦定理求出角所对的边，然后利用三边求角(b)两边一邻角已知三边SSS利用余弦定理求出角的余弦，然后求角04130,8,5,ABCAcaCBb例：在中，已知求、和0230,3,5,.(ABCAcaCBb在中，已知求、和保留两位小数）练习：在中已知ABC.,45,9,6aACBcb和边、求无解。和边、解：由正弦定理，得：aACbBcC.1423645sin9sinsin0（１）大边对大角（２）三角形中存在（3）无解；一解不一定有两解。,ABCsin1Bsin1Bsin1B90B判断解的个数常用性质：（2）解已知两边和一角的三角形，通常用正弦定理。先求出角的正弦，再求出角，这时会出现一解，两解的问题，（注意利用三角形特有的性质：大角对大边，内角和为180°）或者采用余弦定理；得到关于边的一元二次方程，求出边（注意边大于0），再利用三边求出其他角（1）由于已知角不是已知两边的夹角，故所解的三角形不一定唯一。（就如同不能根据其中两边及一边的对角相等来判断两个三角形是否全等）小结（两边一邻角）sin()sin1,sinbsin1,sincsin1,0()bAaBabABabABaAB若无解。若有唯一解。若在（，）上有两解，但其中与已知角或的和小于，才合要求，否则舍去。方案1：正弦定理方案2：余弦定理2222cos0cbAcba关于c的一元二次方程有几个正数解（3）判断解的个数的方法：（已知A,b,a）已知a、b和A解三角形的情况：1）为锐角AbAa0sinabAC无解AaCb一解sinabAAaCb两解sinbAabaACb一解abab方案3数形结合AACb无解abaACb一解aba2）为直角或钝角１、不解三角形，判断解三角形问题有一解、两解还是无解。(1)30,14,7;(2)12,18,453105,8,7BababAAbaABC22,2baA中，如果三角形有解，则的范围2、解：2sinsin204aababAAbA练习：两边一邻角，判断解的个数回家作业1、在ABC中，已知13,14,15abc（1）求cosA（2）ABCS2、在平行四边形ABCD中，已知103,60,30ABBAC，求平行四边形面积3、在ABC中，已知30,18Ab，分别根据下列条件求B（1）①6;a②9;a③13;a④18;a⑤22;a（2）根据上述计算结果，讨论使B有一解、两解、无解时a的取值情况4、若一个钝角三角形三条边为3个连续的自然数，求这三条边长5、在ABC中，8,5,12,abS求c6、在ABC中，已知252,,cos425BaC，求三角形面积7、在ABC中，222abcbc，求A5.6正弦定理、余弦定理和解斜三角形解斜三角形（2）例6：在三角形ABC中，求c8,5,12,abS例7：已知三角形三边是三个连续自然数，（1）若三角形为钝角三角形，求三边长；（2）若最大角是最小角的两倍，求三边长。,1,2nnn解：（1）设钝角为，三边长为则22212(1)(2)cos02(1)113132nnnnnnnnnnnnNn三边长为：2,3,4,1,2nnn2（2）设三边长为，最小角为，最大角为，则22cossinsin22nnnn由余弦定理得：222(1)(2)5coscos2(1)(2)2(2)nnnnnnn25422(2)nnnnn所以，三边长为4,5,6,,abcABC2222()210abcxbcxa例8：设为三条边，且方程有两个相等的实数根，求边所对角的度数。2222222224()4()00bcabcbcabcbcabc即解2221cos2223bcabcAbcbcA1、余弦定理是勾股定理及其逆定理的推广。2、正弦定理：（1）已知两角一边（2）已知两边一对角余弦定理：（1）已知两边及其夹角（2）已知三边（3）两边一对角3、正弦定理和余弦定理揭示了三角形中六个元素（三边三角）之间的关系。三角形面积公式S=(1/2)absinC说明（1）在中，一定成立的等式是（）ABCBbAaAsinsin.　BbAaBcoscos.　AbBaCsinsin.　AbBaDcoscos.　CABC（2）在中，若，则是()A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等边三有形2cos2cos2cosCcBbAaABCD练习：（3）在任一中，求证：ABC0)sin(sin)sin(sin)sin(sinBAcACbCBa证明：由于正弦定理：令CkcBkBAkasin,sin,sin左边＝代入左边得：)sinsinsinsinsinsinBCACABCBCABAksinsinsinsinsin(sin∴等式成立=右边0回家作业扩充的正弦定理sinsinsinabcABCR为外接圆半径应用：在三角形中，R为ΔABC的外接圆半径，S是三角形面积证明：CBARRabcSsinsinsin2422R1、证明三角形中的恒等式CabAbBa，ABCsin22sin2sin:22求证中在2、判断三角形形状是什么三角形？