风险管理4.金融市场波动率

金融市场波动率讲师：郭战琴[e-mail]金融变量的每日变化量是否服从正态分布?（表10.1,p209）标准差的天数现实世界(%)正态模型(%)1SD25.0431.732SD5.274.553SD1.340.274SD0.290.015SD0.080.006SD0.030.002肥尾问题幂律：正态分布的代替在分析很多市场变量的收益行为时，幂律似乎要比正态分布更好Prob(vx)=Kx-aP152：例10-4估计波动率的标准方法定义第n-1天所估计的市场变量在第n天的波动率,相应的方差为定义Si为市场变量在第i天的市场价值定义ui为第i天连续复利收益率（第i-1天末至第i天末的收益），于是有5miinmiinniiiumuuumSSu112211)(11ln2nn风险管理实践中的简化形式定义ui=(Si−Si-1)/Si-1假设ui期望为0用m代替m-12211mnniium风险的时间序列移动平均考虑一个传统问题，一个风险经理观察T期的收益率序列𝑟𝑡，希望估计它的波动率。简单一点，忽略收益率均值，在时刻t，方差的估计为：𝜎𝑡2=(1𝑇)𝑖=1𝑇𝑟𝑡−𝑖2这是一个简单的移动平均，以前各期的权重为𝜔𝑖=1/𝑇.然而这也许并没有最好地利用历史数据，特别是在最近的观察值与下一个更加相关时候。加权权重的格式我们的目标是估计当前波动率的水平，因此将权重应用在最新数据就很有意义。这样做的一种模型为：8miininu122的权重。天以前的观察值所对应为第变量iimii11当选择这些变量时需要保证在ij时，𝛼𝑖𝛼𝑗也就是我们将更少的权重施予更旧的数据上，权重之和必须等于1.ARCH(m)模型ARCH(m)模型最早是由Engle提出，m为观察值的数量假设对于权重选择，存在一个长期平均方差VL，这种推广对应以下模型：9miimiiniLnuV11221令𝜔=𝛾𝑉𝐿miininu122ARCH(m)模型：测算波动率（1）—EWMA模型在EWMA模型(exponentiallyweightedmovingaveragemodel)中，u2的权重随着回望时间加长而按指数速度递减。每一项权重是前一项权重与λ的乘积。这个模型的特殊形式为更新波动率的简单公式为：参数λ也称为衰减因子1021212)1(nnnu𝛼𝑖+1=𝜆𝛼𝑖EWMA模型的优点需要的数据相对较少仅需记忆对当前波动率的估计以及市场变量的最新观察值对波动率进行跟踪监测RiskMetrics采用λ=0.94来更新每天波动率的估计，用λ=0.97估计月数据。测算波动率（2）—GARCH(1,1）在GARCH(1,1)模型中，我们为长期平均方差赋予一定的权重，则，第n天的方差估计就是由长期平均方差、第n-1天的波动率和最近一天变化率𝑢𝑛−1确定。GARCH(1,1)的表达式为：其中，权重之和必须为1，即：b11221212bnnLnuV测算波动率（2）—GARCH(1,1）（续…）令𝜔=𝛾𝑉𝐿，则GARCH(1,1)模型变为：易知，对应于𝑢𝑛−𝑖2权重为𝛼𝛽𝑖−1,权重以𝛽的速度下降。参数𝛽也成为衰减速度。13b1LV21212bnnnu例1：假设某一每天观察数据估算的GARCH(1,1）模型为：长期平均方差是0.0002，换句话讲，由模型隐含的每天长期方差平均为0.0002，对应的日波动率为1.4%。假设对应于n-1天的日波动率估计为1.6%，第n-1天的市场价格降低了1%。则波动率的最新估计为1.53%.即：14nnnu212120000002013086...0000002013000010860000256000023336......𝜎𝑛=0.00023336=1.53%采用GARCH（1,1）模型预测波动率)()(][22LntLtnVVEb212121nnLnuVbb)()(21212LnLnLnVVuVb)()(21212LtnLtnLtnVVuVb在将来的n+t天，我们有：2121tntnu的期望为)()(]-[212LtnLtnVEVEb模型选择在实践中，方差值常常会被拉回到长期平均值水平，这种现象被称为均值回归。GARCH（1,1）模型有均值回归特性，而EWMA没有均值回归特性。理论上，GARCH（1,1）比EWMA更具有吸引力。作业410.9、10.14、10.17、10.18、10.19、10.23（1）（2）（4）（3）更新后的波动率估计是多少？