牛顿法最优潮流

电力系统潮流计算方法----牛顿法电力系统分析包括潮流、最优潮流、预想故障分析、电压稳定、暂态稳定和其他分析，电力系统分析是输电系统规划中的关键技术之一。潮流计算是电力系统分析的基础，所谓潮流计算即在给定电力系统网络拓扑、元件参数和发电、负荷参量条件下，计算有功功率、无功功率及电压在电力网中的分布。手算如何计算？一般来说，各个母线所供负荷的功率S是已知的，各个节点V是未知的（平衡节点外）可以根据网络结构形成节点导纳矩阵B，然后由B列写功率方程，由于功率方程里功率是已知的，电压的幅值和相角是未知的，这样潮流计算的问题就转化为求解非线性方程组的问题了。数学描述潮流计算最优潮流总结分析为了便于用迭代法解方程组，需要将上述功率方程改写成功率平衡方程，并对功率平衡方程求偏导，得出对应的雅可比矩阵，给未知节点赋电压初值，一般为额定电压，将初值带入功率平衡方程，得到功率不平衡量，这样由功率不平衡量、雅可比矩阵、节点电压平衡量（未知的）构成了误差方程，解误差方程，得到节点电压不平衡量，节点电压加上节点电压不平衡量构成新的节点电压初值，将新的初值带入原来的功率平衡方程，并重新形成雅可比矩阵，然后计算新的电压不平衡量，这样不断迭代，不断修正，一般迭代三到五次就能收敛。数学描述潮流计算最优潮流总结分析牛顿法是解非线性方程式的一个有效方法，所以也被广泛的应用于潮流计算。核心是修正方程式的建立与求解。如图所示利用泰勒公式展开，取其线性部分代替非线性方程近似求解。0000000000022'''()()()()()()......2!()()()()()0,()fxxxfxfxfxxxfxfxfxfxxxxxfx数学描述潮流计算最优潮流总结分析1123121232123(,,.......)(,,.......)........(,,.......)nnnnnfxxxxyfxxxxyfxxxxy其近似解与精确解分别相差12,,...,nxxx0001112210002112220001122(,,.......)(,,.......)........(,,.......)nnnnnnnnfxxxxxxyfxxxxxxyfxxxxxxy上式全部用泰勒展开即可00011111212112000121212(,..),...........(,..),.......nnnnnnnnnnnffffxxxxxxyxxxffffxxxxxxyxxx数学描述潮流计算最优潮流总结分析111000111121220001212(,..)......(,..)nnnnnnnnnnfffxyfxxxxxxxfffyfxxxxxxxfJxJ称函数的雅克比矩阵；△x为列向量，△f称不平衡量的列向量，把初始值X（0）代入，可得△f，J中的元素，然后运用解线性方程的方法，求得第一次迭代计算出的值然后把计算值再次代入求得△f，J中的元素，直到满足精确度即可。但是，初值一定要选取的足够接近精确值，否则迭代过程可能不收敛。（何以见得）0ix100iiixxx数学描述潮流计算最优潮流总结分析潮流方程的描述对于N个节点的电力网络若元件参数已知则网络方程表示为YUI其中Y为n*n阶节点导纳矩阵，U为N*1阶，I*为N*1阶节点注入电流列向量但是电力网络中给定的往往是S而不是电流，所以线性方程就变成**EYUS令展开得iiiVejf()()(),()()iiiiijijjjjiiiiiiiiijjijjjiiijjijjjiPjQejfGjBejfPjQejfajbaGeBfbGfBe**EIS*iiiijjjiPjQVYVj=1,2……N数学描述潮流计算最优潮流总结分析若则潮流方程的极坐标形式如下：iiiVV()()cossin(cossin)1,2,........(sincos)1,2,........iiiiijijjjjiiiijijijijijjiiijijijijijjiiijijijijijjiPjQVGjBVPjQVVGjBjPVVGBiNQVVGBiN上式即为电力系统的潮流方程数学描述潮流计算最优潮流总结分析综上所述，若一个电力系统含有N个节点，选取第N个作平衡节点，剩余n=N-1各节点中有r个节点是PV节点，有n-r个节点是PQ节点，因此出平衡节点外，有n个节点注入有功P，有n-r个节点注入无功Q，有r个节点的电压是已知的。在直角坐标系下，待求未知数共有2n个，1221232222......1,2,3,...1,2,3,...1,......TTTTnspiiiiispiiiiispiiiixefeeeefffPPeafbinQQfaebinrVVefinrn代求变量潮流方程线性化给节点i的有功无功给定值为注入功率和给定电压的不平衡量上式方程一共2n个方程，2n个代求量，两者个数相等。spPiP数学描述潮流计算最优潮流总结分析(cossin)1,2,........(sincos)1,2,........spiiijijijijijjispiiijijijijijjiPPPVVGBinQQQVVGBinr为了清晰的表达潮流方程中的未知量请看下表。平衡节点为第N节点、剩余N-1=n个节点中，含有r个PQ节点，n-r个PV节点。节点PQPV平衡变量12,,...nrPPP12,,...nrQQQ12,,...nr12,,...nrVVV1,...nrnPP1,...nrnQQ1,...nrn1,...nrnVVNPNQNNV数学描述潮流计算最优潮流总结分析电力网络方程的一般形式可以写成()()0spspyyxfxyyx牛顿法求解如下，在给定初始值的条件下，对上式做一阶泰勒展开001000TxffxxxJfxx用△x修正X的初始值得到新值，用k表示迭代次数写成表达式即为11kkkkkkxJxfxxxx（偏差形式）数学描述潮流计算最优潮流总结分析22222,,,,*,(,),spspTspiTTTTTTTTTTPPefPeffxQefQPefJxVefVVefPPeffQQxefJxefVVef数学描述潮流计算最优潮流总结分析,()()(),(),(),,iiiiijijjjjiiiiiiiiijjijjiijjijjjijispspiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiijijiijHNJMLPjQejfGjBejfRSPjQejfajbaGeBfbGfBePPeafbQQfaebPPHaGeBfHGeee22,,,,2,0,2,0ijiiiiiiiiiiiiijijiijiijiiiiiiiiiiiijijijiiiiiiiiiiiijijijiiiijiiiijiiBfPPNbBeGfNBeGfffQQMbBeGfMNeeQQLaGeBfLHffVVReRSfSef数学描述潮流计算最优潮流总结分析由于欧拉公式的存在，我们也可以把直角坐标系下的功率方程变形为极坐标系下的功率方程，那么极坐标系的牛顿法是怎样的？11,,*,,,,..,,...,,spTspTTTTTnnrTTTPVPPVfxJxQVQQVPPfVxVVVJQQxV我们注意到：由于r个PV节点1个平衡节点n-r个PQ节点的存在，所以A1应该为n维的，A2为n-r维的，就是说有n个未知的，有n-r个未知的V。所以雅克比矩阵为(2n-r)*(2n-r)维。数学描述潮流计算最优潮流总结分析上式右侧对电压幅值的偏导数中电压幅值的阶次减少了1，为使雅克比矩阵各部分矩阵具有一样的形式，在实际计算中往往乘以电压幅值，并【△V/V】列向量作为修正量。,,,,TTTTTPPVHNfVJMLQQxVV()cossin(cossin)1,2,........(sincos)1,2,........iiijijijijijjiiijijijijijjiiijijijijijjiPjQVVGjBjPVVGBiNQVVGBiN数学描述潮流计算最优潮流总结分析22(cossin),(sincos)(cossin),(cossin)2spiiiiijijijijijjispiiiiijijijijijjiiiiijijijijijjiiiijijijijijijjiiiiiiPPVGVVGBQQVBVVGBPHVVBGPHVVBGPNVVV(cossin),(cossin)(cossin),(cossin)(siiijjijijijijjiiijjjiijijijijjiiiijijijijijjiiiijijijijijijijjiiiiijijiVGVGBPNVVVGBVQMVVGBQMVVGBNQLVVVGVncos)2,(cossin)ijijijiijjiiijjijijijijijijjBVBQLVVVBGHV当j=i时，所有的V、θ均为变量，当j≠i时，只有特定节点的V、θ为变量。数学描述潮流计算最优潮流总结分析迄今为止还没提到节点分类时约束条件，不等式约束大致分为三类：①注入功率的约束——威胁电源机组的安全运行②节点电压的约束——影响用户供电电压的质量③对相位角的约束——危及电力系统运行稳定性所以，在迭代时要注意是否满足约束条件，其中，前者具有优先性，那么问题就来了？PV到PQ节点的转化问题。在迭代时发现，为保持给定的V，某一个PV节点的无功功率已经越限，为保证源设备正常运行，不得以将其固定在边界上，令其Q等于Qmin或者Qmax为一定值。任凭电压偏移给定值V，实现PV节点到PQ节点的转化。一旦发生PV到PQ节点类型的转化，修正方程的结构将要发生改变，若采用直角坐标时，该节点关于Q的关系式将取代V的关系式。若采用极坐标则要增加一组Q的关系式即maxmin,kkkkiiiiiiQQQQQQ数学描述潮流计算最优潮流总结分析最优潮流数学模型最先是法国电力公