高中所有知识点大全(彩色)

集合与复数11.集合的概念1.1一般的我们把研究对象统称为元素，把元素的总体统称为集合（从这里可以看出描述并不局限于数字，还可以是生活中，集合无处不在）1.2集合中的元素具有确定性，*互异性和无序性1.2.1确定性：某一个元素,要么它是属于这个集合,要么它不属于这个集合,不会出现可能属于也可能不属于这种情况例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合.这个性质主要用于判断一个集合是否能形成集合.1.2.2互异性：一个集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象只能算作这个集合的一个元素1.2.3无序性：集合中的各元素没有先后顺序（这三大性质中，最常考的就是互异性，因为只有通过互异性可以把文字数量化，即列出不等式，如集合｛a，b｝，则可以得出a≠b，从而会有解不等式出现）1.2.4自然数集N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R复数集C1.3韦恩图1.3.1韦恩图就是用图形来表示一个范围，这样是为了更加直观，更加形象。1.3.2如g区域表示集合M、N、P三者的交集g区域加d区域表示集合M、N的交集由此可见，韦恩图在表示集合之间的运算时很方便，简洁。复数1复数一般用Z=a+bi表示，其中a和b都是实数，i是虚数单位，i=√﹙-1﹚，a是实部，b是虚部（在这里经常会出现文字游戏，比如说求某个复数的虚部，这个时候记得不是bi，而是求b的值）2复数的模，记作|Z|=√﹙a²+b²﹚3复数的运算法则Z₁+Z₂=﹙a1+a2﹚+（b1+b2）iZ1*Z2=（a1+b1i）（a2+b2i）=a1a2-b1b2+﹙a₂b₁＋a₁b₂﹚i(以上复数运算法则依然符合乘法法则)4共轭复数：𝒛̅=a-bi，与复数的实部相同，虚部相反。（但这里要注意，共轭复数是相对原来的复数而言，也可以说复数Z与𝒛̅互为共轭复数，这里是一个相对的。）5需要知道的几个知识当复数，虚部为0时，这个数叫做实数当虚部不为0，实部为0时，这个数叫做纯虚数当虚部和实部都不为0时，这个数叫做复数i常用逻辑用语21命题：一般地，我们把用语言、符号或者式子表达的能判断真假的陈述语句叫做命题.“一般的，若p，则q”为原命题那么“若q，则p”为原命题的逆命题“若非p，则非q”为原命题的否命题“若非q，则非p”为原命题的逆否命题“若p，则非q”为原命题的否定（注意这里的命题的否定和否命题的不同）2充分条件与必要条件充分条件是前者能推出后者（小范围是大范围的充分条件）必要条件是后者能推出前者（大范围是小范围的必要条件）充要条件是前者能推出后者，后者也能推出前者。（两个范围都相等）3全称量词：“所有的”，“任意一个”用∀表示，含有∀的命题叫做全称命题存在量词：“存在一个”，“至少有一个”，用∃表示，含有∃的命题叫做特称命题（这里只需要了解就行了）4这里举一个例子以区别否命题与命题的否定假设原命题是：所有的自然数的平方都是正数否命题：存在一个非自然数的平方不是正数命题的否定：存在一个自然数的平方不是正数这一章节最重要的是命题的否定和否命题以及充分条件和必要条件这块以上内容虽然不难，但是还是必须认真的注意细函数图形31函数的概念1.1设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么这样的对应叫做集合A到集合B的一个函数，记作f：A-B，其中如果a∈A，b∈B，那么元素a叫做元素b的原象，元素b叫做元素a的象。（这里是介绍了什么是函数，函数本质是一种联系，它把两个集合联系在一起。通过函数，函数的好处呢：一般是通过函数来建立函数模型）1.2函数的三要素：定义域、值域、对应法则。（对应法则就是一种函数关系）1.3同一函数：定义域相同，对应法则相同的两个函数就是同一函数.（表明了是否为同一函数与自变量和因变量无关）2函数的分类：抽象函数“我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数。由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性和图象集于一身，所以在高考中不断出现”抽象函数一般形式“不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数即抽象函数。一般形式为y=f(x)，或许还附有定义域、值域等，如：y=f(x),(x0,y0)。”抽象函数形式幂函数：f(xy)=f(x)f(y)正比例函数：f(x+y)=f(x)+f(y)对数函数：f(x)+f(y)=f(xy)三角函数：f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)f(x)=cosx指数函数：f(x+y)=f(x)f(y)周期为n的周期函数：f(x)=f(x+n)一般函数；如y=x+1，已知解析式的基本函数复合函数；如已知y=f（u）=u²，u=x+1由基本函数复合而成由于函数的三要素就是定义域、值域、对应法则，所以接下来主要讨论这三点1了解什么是函数2了解函数的分类3深入了解函数3.1函数的性质3.2函数图像3.3利用函数去解决实际问题函数图形4这里几大性质是函数的重点以及难点，解决了这里，以后的东西不都是soeasy嘛3深入了解函数3.1函数单调性：*定义法对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f（x1）f（x2），则f（x）在这个区间上是增函数，否则是减函数（这里概括了同增异减的性质）（这是函数单调性的定义法，主要用来判断某个函数是否为增函数或者减函数，一般题目里面不会经常出现，但是必须掌握，因为这个方法是证明函数单调性的根本，意思是所有证明函数单调性的方法都是根据这个定义推导出来的。）（单调性这里有四类题目一、求单调区间“这里一般是求导来做”二、判断单调性“这个一般是用定义法，也可以求导”三、证明单调性“这个一般是用定义法，也可以求导，但是有时候求导比较难”）四、复合函数单调性判断（符合同增异减原则）3.2函数奇偶性：3.2.1偶函数：若函数y=f（x）=f（-x），则f（x）图像关于y轴对称（特殊的轴对称图形）（注意：这里有两个对称，一个是定义域关于y轴对称，一个是函数值关于y轴对称）3.2.2奇函数：若函数y=f（x）=-f（-x），则f（x）图形关于原点对称（中心对称图形）（注意：这里也有两个对称，一个是定义域关于原点对称，一个是函数值关于原点对称）3.3函数对称性：3.3.1这里是函数奇偶性的一个拓展如果出了关于某条轴对称，那么就可以用这个。如果说函数y=f（x）满足f（a+x）=f（b-x），则y=f（x）的图像关于x=（a+b）/2这条轴对称，注意这条轴是平行于y轴的哦。（相应的题目就是求对称轴啦）3.3.2函数的周期性若函数y=f（x）=f（x+T），那么f（x）的周期就是T，（这里表达的意思是，即使x增加了T个单位，但是对应的函数值依然不变，而且这里要注意，x是变量，这里也可以从图像去理解周期的含义）3.4反函数3.4.1这里主要要讲的是反函数与原函数的性质，它们图形是关于y=x这条直线对称的3.4.2同时它们是两个函数互为反函数，一般的一个函数只有是单调函数的情况下它才具有反函数3.4.3反函数用𝑓−1(𝑥)表示，假设原函数是y=f（x），那么它的反函数是x=f（y），但是不能这么表示，我们还要把y放到等式的左边，所以这里需要进行整理（化简）函数图形53.5函数图形的变化3.5.1在研究函数图像之前，我们先看下函数图形变换3.5.1.1y=f（x）-y=f（x+a）向左平移a个单位3.5.1.2y=f（x）-y=Af（x）纵坐标扩大A倍（因为f（x）表示原来函数图形的纵坐标，现在变成了Af（x），所以相应的就是纵坐标变大为原来的A倍嘛。）3.5.1.3y=f（x）-f（wx）横坐标变为原来的1/w（因为原来的函数x是横坐标，现在x只要取1/w倍原来的x值就可以使得函数值和原来的相等，即效果相同，既然现在的横坐标是原来的1/w倍，所以把原来的图像横坐标缩小为1/w倍也是正常）（函数图形变化就是这几点）3.6函数的零点3.6.1表示函数图像与x轴的交点，此时函数纵坐标为0，根据这一特点，我们就有了求函数零点的方法，那就是令y=f（x）=0，求出此时的x的值，这值就是函数的零点。3.7函数的极值（导数这节再讲）4基本函数4.1幂函数：幂函数是我们最常见的函数，比如正比例函数就是典型的幂函数，还有y=x²、但是y=x+1不是幂函数，它是幂函数形式函数（也就是说长的很像幂函数，但是不是幂函数）(幂函数图像没有固定的特征，定义域也不确定，所以这里你需要自己去研究研究)4.2指数函数：形如y=a^x(a0且a≠1)(x∈R)的函数叫做指数函数指数函数如右图4-24.3对数的定义：一般地，如果ax=N（a0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。对数函数见右图4-34.4认识了基本函数，然后就是了解这些基本函数的运算法则（ps：这里的话就参照参考资料上面的，比较详细）对勾函数、取整函数这两个可以适当拓展去了解下（函数这里有几大题目，一个是求函数值域，一个是求单调区间，一个是定义域，其余的都相对比较少。（以上内容基本概括函数的所有性质，意思是做函数题目上面几大性质是研究的重点，也就是做题的重点）图4-2图4-3一次函数6一、一次函数1标准直线方程：一般式：ax+by+c=0,a,b至少有一个不为0.Ps：好处；是这个公式是万能的，可以表示所有直线坏处；有三个参数，比较复杂斜截式：y=kx+b,k为斜率,b为Y轴上截距Ps：好处：比较简洁，只有两个参数，一般题目中出现斜率就用这个坏处：不能表示垂直于x轴的直线截距式：x/a+y/b=1,a为X轴截距,b为Y轴截距Ps：好处；简洁，两个参数，能直接读出直线与x轴y轴的交点坐标坏处；不能表示过原点的直线点斜式：y-y0=k(x-x0),k为斜率,(x0,y0)为直线上一点Ps：好处；知道直线上一个点的坐标，一般就设这种直线方程，这样做比较快。坏处；跟点斜式一样，不能表示垂直与x轴的直线两点式：y=(y1-y0)(x-x0)/(x1-x0)+y0,(x0,y0),(x1,y1)为直线上两点好处；已知两个点就可以直接设出直线方程（从这里可以直观的看出两个点确定一条直线的定理）坏处；计算复杂，含有大多参数点法式：y=-(x-x0)/k+y0,k为法线,(x0,y)为直线上一点这个其实就是点斜式子点斜式拓展：x=ky+bk为斜率的倒数好处：这种一般是圆锥曲线里面设直线方程的方法，用起来比较简单坏处：不能表示垂直与y轴的直线以上各式子其实都是一个意思，表达出直线方程而以，只不过是把直线用不同形式表达出来，而且掌握了可以使做题更快，一次函数72平行线间的距离公式：设第一条平行线方程为ax+by+c1=0第二条平行线方程为ax+by+c2=0那么两条平行线之间的距离为𝒅=|𝒄𝟏−𝒄𝟐|√𝒂𝟐+𝒃𝟐3点到直线的距离公式：设点A=（x0，y0），直线方程为ax+by+c=0那么点A到直线的距离𝒅=|𝒂𝒙𝟎+𝒃𝒚𝟎+𝒄|√𝒂𝟐+𝒃𝟐4两条互相垂直的直线斜率之积为-1Ps：（这里也可以说，两条直线的方向向量的数量积为0）5两条直线的夹角公式：Tanθ=|𝒌𝟏−𝒌𝟐𝟏+𝒌𝟏⋅𝒌𝟐|ps：加绝对值表示θ的范围在（0°，90°）二、二次函数6一般式：一般用y=ax²+bx+c表示7顶点式：y=a（x-x0）²+y0这个反应了顶点的坐标，Ps：这里比较简单我就不多介绍8两根之和与系数的关系：X1+X2=-𝒃𝒂X1·X2=𝑪𝒂PS:这里经常出现再圆锥曲线的题目里面，因为这两个公式可以将方程的解转化成系数，也就是说可以把直线与曲线的交点的坐标转化成含有参数的式子，这样有利于计算。做二次函数题目，一般就得知道这个二次函数的开口方向，以及对称轴还有就是顶点坐标二次函数8三、常见二次函数的题型9求二次函数的对称轴：若二次函数的方程为y=𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄的形式，