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考研数学要求及线性代数要求1、考研数学分数学一、数学二、数学三;包括:高等数学(微积分);线性代数;概率论与数理统计.考研数学要求及线性代数要求2、数学一(56%、22%、22%);数学三(56%、22%、22%);3、数学二(78%、22%、0%)要求:线性代数一~六章全部内容特别:数学二、三对向量空间和坐标变换不做要求);2009年全国硕士生入学考试初试合格资格线总分;英语、政治;数学、专业一;(500分)(100分)(150分)工学:275↓37↓56↓管理学:315↓47↓71↓经济学:315↓47↓71↓理学:280↓38↓57↓线性代数的六大部分内容行列式、矩阵、向量及向量空间、线性方程组、特征值和特征向量、二次型复习方式:按数学一要求,分章进行复习;考研数学基础知识复习——线性代数一、基本内容复习即:考试要求的基本概念、性质、定理、公式、方法等;二、典型题型的分析及举例;考研数学基础知识复习——线性代数第一章行列式一、行列式的基本内容(1)n级(阶)排列:n个自然数n,,2,1组成的一个无重复的有序数组niii21称为一个n级(阶)全排列.1、排列与逆序n个自然数的n级(阶)全排列共有!n个(种).一、行列式的基本内容——1、排列与逆序(2)逆序:在一个n级(阶)排列中,如果一个较大的数排在较小的数前面(左面),则称这两个数构成一个逆序;一个排列中逆序的总数,称为这个排列的逆序数.记为:)(21niii.一、行列式的基本内容——1、排列与逆序若)(21niii为奇数,则称排列niii21为奇排列;若)(21niii为偶数,则称排列niii21为偶排列;(3)对换:在排列niii21中,交换任意两个数ti与si的位置,称为对排列的一次对换.一、行列式的基本内容——1、排列与逆序对换改变排列的奇偶性,排列的一次对换可通过奇数次相邻对换实现.注意:一次相邻对换后,全排列逆序数增或减1.故:相邻对换改变全排列的奇偶性.一、行列式的基本内容——1、排列与逆序n个自然数的!n个n级(阶)排列中,奇、偶排列各占一半.(4)逆序数)(21niii的计算nkknnititititiii23221)()()()()(,)(kit是在排列niii21中,排在ki前面比ki大的数之个数.一、行列式的基本内容——1、排列与逆序全排列逆序数的另一计算法:1112121)()()()()(nkknniiiiiii,)(ki是在niii21中,排在ki后面的比ki小的数的个数.332211aaa.322311aaa322113aaa312312aaa312213aaa332112aaa333231232221131211aaaaaaaaa.2112221122211211aaaaaaaaD一、行列式的基本内容——2、阶行列式的定义二阶行列式的定义:三阶行列式的定义:一、行列式的基本内容——2、阶行列式的定义nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211nnnnjjjjjjjaaa211121)()1((行)niiiiiiinnnaaa21)(2111)1((列)n阶行列式的定义:一、行列式的基本内容——2、阶行列式的定义nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211记:)det(ijaD或||ijaD.都表示第i行第j列元素为ija的行列式.nnnnjijijijjiiaaa221111)()()1(.(行与列)一、行列式的基本内容——3、行列式的基本性质(1)行列互换(所得的行列式称为转置行列式)后,行列式的值不变;(3)如果行列式有两行(列)相同,则行列式的值为零;(2)互换两行(列),行列式的值变号;一、行列式的基本内容——3、行列式的基本性质(5)如果行列式有一行(列)元素全为零,则行列式的值为零;(4)某行(列)的公因子可以提到行列式符号外面;(6)如果行列式有两行(列)元素对应成比例,则行列式的值为零;(7)如果行列式有一行(列)的所有元素都可以表示为两项之和,则该行列式等于两个行列式之和;一、行列式的基本内容——3、行列式的基本性质(8)某行(列)元素的k倍加到另一行(列)的对应元素上,行列式的值不变;一、行列式的基本内容——4、行列式按行(列)的展开定理对于n阶行列式),()det(ijijaaD,定义元素ija的余子式为ijM,代数余子式ijjiijMA)1(,则有:,0,22111DAaAaAaAanknjkjkjikijni.kjkj,0,22111DAaAaAaAanknjkjkjikijni.kjkj一、行列式的基本内容——5、重要结论(1)主(次)对角行列式;.0000002121nn..)1(000000212)1(21nnnn一、行列式的基本内容——5、重要结论(2)上(下)三角行列式:.000221122211211nnnnnnaaaaaaaaa..000221121222111nnnnnnaaaaaaaaa一、行列式的基本内容——5、重要结论(3)范德蒙行列式:)(111111211222212222121ijnjinnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxV.共有2)1(1)2()1(nnnn个括号相乘.——6、解线性方程组的克莱姆法则如果线性方程组:)1(22112222212111212111nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式不等于零,即,0212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD那么线性方程组(1)有解,并且解是唯一的,一、行列式的基本内容——6、解线性方程组的克莱姆法则解可以表为:.,,,,332211DDxDDxDDxDDxnn其中:nnjnnjnnnjjjaabaaaabaaD1,1,111,111,111——6、解线性方程组的克莱姆法则定理1如果线性方程组(1)的系数行列式不为零,则(1)一定有解,且解是唯一的.定理2如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解,则它的系数行列式必为零.对于齐次线性方程组:2000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa一、行列式的基本内容——6、解线性方程组的克莱姆法则定理3如果齐次线性方程组(2)的系数行列式不为零,则齐次线性方程组(2)没有非零解(只有零解).定理4齐次线性方程组(2)有非零解的充分必要条件为:系数行列式为零.二、典型题型分析及举例题型I:抽象行列式的计算说明:通过行列式的计算,考查行列式的定义及性质.例1.1(1)确定ki,,使9561274ki为偶排列.(2)1425433152aaaaa是否为五阶行列式)det(5ijaD中的项,其前面应置什么符号?二、典型题型分析及举例——题型I:抽象行列式的计算设33||ijaD,ijA为ija的代数余子式,且ijijaA(3,2,1,ji),011a,求证:.0D.例1.2二、典型题型分析及举例——题型I:抽象行列式的计算已知四阶行列式D的第二行元素分别为:4,2,0,1,第四行元素对应的余子式依次为:4,,10,5a,求a.二、典型题型分析及举例——题型I:抽象行列式的计算例1.3计算行列式323995212983312031D.二、典型题型分析及举例——题型II:低阶行列式的计算例1.4设,,是方程03qpxx的三个根,计算行列式D.二、典型题型分析及举例——题型II:低阶行列式的计算例1.5设,,是方程023qpxx的三个根,计算行列式:D,二、典型题型分析及举例——题型II:低阶行列式的计算例1.5(续)四阶行列式44332211400000000ababbabaD的值等于().(A)43214321bbbbaaaa;(B)43214321bbbbaaaa;(C)))((43432121bbaabbaa;(D)))((41413232bbaabbaa.——题型II:低阶行列式的计算例1.6计算五阶行列式aaaaaaaaaD110001100011000110001.二、典型题型分析及举例——题型II:低阶行列式的计算例1.7yyxxD2222222222222222.二、典型题型分析及举例——题型II:低阶行列式的计算例1.8设3256411222245233355554321||A,ijA为元素ija(5,4,3,2,1,ji)的代数余子式.求(1)333231AAA;(2)3534AA.——题型II:低阶行列式的计算例1.9设2513422111645731122214325D,求(1)333231AAA;(2)3534AA.其中ijA为元素ija(5,4,3,2,1,ji)的代数余子式.——题型II:低阶行列式的计算例1.10设4321630211118751D,求44434241AAAA,其中ijA为元素ija(4,3,2,1,ji)的代数余子式.二、典型题型分析及举例——题型II:低阶行列式的计算例1.11计算229132513232213211xxD.二、典型题型分析及举例——题型II:低阶行列式的计算例1.12设行列式2235007022220403D,求第四行的各元素余子式之和.——题型II:低阶行列式的计算例1.13设347534453542333322212223212)(xxxxxxxxxxxxxxxxxf,则方程0)(xf根的个数为:().(A)1;(B)2;(C)3;(D)4.——题型II:低阶行列式的计算例1.14计算:12318192021217181932116171819181721220191832120D.二、典型题型分析及举例——题型III:高阶行列式的计算例1.15计算下列n阶行列式:0)1(321102113011321nnnnnnnDn——题型III:高阶行列式的计算例1.16aaaaDn111111111111.二、典型题型分析及举例——题型III:高阶行列式的计算例1.17axaaaaxaaaaxDn二、典型题型分析及举例——题型III:高阶行列式的计算例1.18nDn222232222222221.二、典型题型分析及举例——题型III:高阶行列式的计算例1.191210001001001111nnaaaaD,其中0110naaa.二、典型题型分析及举例——题型III:高阶行列式的计算例1.20计算niaacacacbbbaDinnnn,,2,1,0,00000022112101.二、典型题型分析及举例——题型III:高阶行列式的计算例1.21计算下列n阶行列式:122321112154314321321nnnnnnnnnnDn.二、典型题型分析及举例——题型III:高阶行
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