电路分析基础_2 第4章 相量分析法

第4章相量分析法4.1复数及其运算4.3相量分析法4.4复功率4.2相量和复阻抗本章学习目的及要求熟悉复数的几种表达方式及其加减乘除运算规则；掌握正弦量的相量表示法、相量的性能及其运算方法；掌握复阻抗和复导纳的概念；学会用相量图进行正弦量的辅助分析；正确理解正弦交流电路中几种功率的分析。4.1复数及其运算学习目标：复数的运算是相量分析的基础，了解复数的代数式、三角式和极坐标式及其相互转换，理解复数进行加减乘除运算的规则。4.1.1复数及其表示方法复数A在复平面上是一个点，＋j0a2＋1a1A原点指向复数的箭头称为它的模,模a与正向实轴之间的夹角称为复数A的幅角；A在实轴上的投影是它的实部；A在虚轴上的投影称为其虚部。复数A的代数表达式为：A=a1+ja2由图又可得出复数A的模值a和幅角ψ分别为：122221arctanaaaaa，a由图还可得出复数A与模复数还可以表示为指数形式和极坐标形式：41.53sin531.53cos521aa又可得到复数A的三角函数式为：＋j0a2＋1a1Aaa及幅角ψ之间的关系为A=acosψ+jasinψA=aejψ或A=a/ψ复数的几种表示方法可以相互转换。已知复数A的模a=5，幅角ψ=53.1°，试写出复数A的极坐标形式和代数形式表达式。极坐标形式为：A=5/53.1°sincos21aaaa代数表达形式为：A=3+j44.1.2复数运算法则显然，复数相加、减时用代数形式比较方便；复数相乘、除时用极坐标形式比较方便。设有两个复数分别为：A、B加、减、乘、除时的运算公式2121jbbbBjaaaAba//bababaBAabBAbajbaBAbajbaBA//)()()()(22112211在复数运算当中，一定要根据复数所在象限正确写出幅角的值。如：)1803/4(arctan9.126/543)3/4arctan180(9.126/543)3/4arctan(1.53/543)3/4(arctan1.53/543AjAAjAAjAAjA第三象限第二象限第四象限第一象限代数形式中虚部数值前面的j是旋转因子，一个复数乘以j相当于在复平面上逆时针旋转90°；除以j相当于在复平面上顺时针旋转90°（数学课程中旋转因子是用i表示，电学中为了区别于电流而改为j)。1.已知复数A=4+j5，B=6-j2。试求A+B、A-B、A×B、A÷B。2.已知复数A=17/24°，B=6/-65°。试求A+B、A-B、A×B、A÷B。7.69/01.1)4.18(3.51/32.64.69.32/4.40)4.18(3.51/32.64.64.18/32.6263.51/4.654106/28.772)]2(5[)64(7.16/4.10310)25()64(BABAjBjAjjBAjjBA第2题自己练习。4.2相量和复阻抗学习目标：了解相量的概念，熟练掌握正弦量的相量表示法；初步了解相量图的画法；掌握复阻抗的概念。4.2.1相量与正弦量相对应的复电压和复电流称之为相量。为区别与一般复数，相量的头顶上一般加符号“·”。例如正弦量i=14.1sin(ωt+36.9°)A，若用相量表示，其最大值相量为：A9.36/1.14mI有效值相量为：A9.36/10I由于一个电路中各正弦量都是同频率的，所以相量只需对应正弦量的两要素即可。即模值对应正弦量的有效值（或最大值），幅角对应正弦量的初相。按照各个正弦量的大小和相位关系用初始位置的有向线段画出的若干个相量的图形，称为相量图。把它们表示为相量，并且画在相量图中。例，，222111sin2sin2tUutUu已知用有效值相量表示，即：U1=U1ψ1U2=U2ψ2画在相量图中：12U2U1也可以把复平面省略，直接画作12U2U1虚线可以不画利用相量图中的几何关系，可以简化同频率正弦量之间的加、减运算及其电路分析。U。，求，21222111sin2sin2uuutUutUu利用相量图辅助分析，12U2U1根据平行四边形法则，由相量图可以清楚地看出：221122112221122211coscossinsinarctan)sinsin()coscos(UUUUUUUUUU1cosψ1+U2cosψ2U1sinψ1+U2sinψ2利用相量图分析计算同频率正弦量之间的加、减运算，显然能起到化隐含为浅显的目的，根据相量与正弦量之间的对应关系：u=Umsin(ωt+φ)4.2.2复阻抗如果把正弦交流电路中各元件的电阻或电抗用复数表示时，我们称之为复数形式的电阻电抗，简称复阻抗。各元件复阻抗的代数形式如下：，只有虚部没有实部。单一电容元件的复阻抗，只有虚部没实部；单一电感元件的复阻抗，只有实部没有虚部；单一电阻元件的复阻抗CLjXZjXZRZ如果几个理想元件相串联时，它们复阻抗的模和幅角可由以下三角形求出：RXL|Z|RL串联电路RXC|Z|RC串联电路RXL-XC|Z|RLC串联电路1.把下列正弦量表示为有效值相量：V)30cos(22203V)90sin(22202A)45sin(101tututi）（）（）（V60/220V135/220A45/07.7UUI思考练习2.指出下列各式的错误并改正：V60/3803A)9.36sin(2109.36/102A)2220)4sin(2220145UtIetuj）（）（）（正弦量和相量之间只有对应没有相等。电压单位是V！相量上面要加符号“·”！I4.3相量分析法4.3.1.串联电路的相量模型分析RL串相量图ULRC串相量图UCURUCUCURLC串相量图UIIURURU串联电路中，各元件上通过的电流相同，因此在相量分析中，应以电流为参考相量（参考相量画在正向实轴位置上）。ULULCURIULURL串相量模型URIUCURC串相量模型URIULURLC串相量模型UC由相量图可以看出：RL串联电路中总电压超前电流一个φ角；RC串联电路中总电压滞后电流一个φ角；RLC三元件相串联的电路中，若ULUC，则总电压超前电流一个φ角，若ULUC，则总电压滞后电流一个φ角，若UL=UC时，总电压与电流同相，相位差φ=0，电路出现串联谐振（后面专门讨论）。IRL串相量图ULRC串相量图UCURUCUCURLC串相量图UIIURURUULULC串联电路阻抗的一般表达式：幅角。是串联电路中复阻抗的的模，称为串联电路中复阻抗其中arctan)(/arctan)()(CL2CL2CL2CL2CLRXXXXRZZRXXXXRXXjRZ若串联电路中只有两个元件相串联时，代入上式仍旧适用。参看前面的阻抗三角形。11由阻抗三角形可以看出：感性电路为正三角形，总电压超前电流；容性电路为倒三角形，总电压滞后电流；若纯电阻性时，虽然电路中含有动态元件L和C，仍旧会出现电压和电流同相的特殊情况，此时电路中总的复阻抗等于电阻R。4.3.2并联电路的相量模型分析ILIC时的相量图，电压超前总电流。ICU'在RLC并联电路中，各元件两端加的电压相同，因此在相量分析中，应以电压为参考相量。IRIILURLC并联电路相量模型ICIRILICILCIILIC时的相量图，电压滞后总电流。ICU'IRILILCIIL当IL=IC时，电路出现并联谐振，此时电路中阻抗最大，且为纯电阻性。以感性的并联电路为例，来讨论一下并联电路的复导纳（即电阻和电纳总的作用效果的复数表示形式），复导纳用Y表示：Y=G+j(BC-BL），式中的G是电导（电阻的倒数）；BC是容纳（容抗的倒数）；BL是感纳（感抗的倒数）。由复导纳的复数表达式又可得出：'//)arctan(/)(22YGBBBBGYLCLCGBC-BL|Y|'RLC并联电路的导纳三角形显然，在感性电路中，电路中的电纳BLBC，电路呈感性，导纳三角形为倒三角形；若电路呈容性，导纳三角形即为正三角形。4.3.3应用实例1.据原电路图画出相量模型图（电路结构不变）；EeIiUujXCjXLRRCL、、、、在正弦交流电路中，若正弦量用相量表示，电路参数用复数阻抗表示，则直流电路中介绍的基本定律、公式、分析方法都能用。具体步骤如下：2.根据相量模型列出相量方程式或画出相量图；3.用相量分析法或相量图求解；4.将结果变换成要求的形式。例1下图中已知：I1=10A、UAB=100V，求：A、UO的读数。解题方法有两种：1.利用复数进行相量分析；AABC25j5UOC110j2II1I2.利用相量图分析求解。V45/4.141100)10(10)(A0/10101010A45/14.1445/07.70/100550/100A90/10V0/100ABC1O2121ABjUjXIUjjIIIjIIU则：；则，作为电路参考相量，设：利用复数进行相量分析：AABC25j5UOC110j2II1I已知：I1=10A、UAB=100V，求：A、UO的读数。A的读数是10安培，UO的读数是141.4伏特。，，，电路呈感性。，相位差：电路中电流有效值：由阻抗三角形可得：，V1.143/8V9.36/24V1.53/21A)1.532500sin(28.01.53)15/20(arctanA8.025/20/25)1030(15104025001030012.02500CLR226CLUUUtiuiZUIZXX利用相量图分析求解：例2URIULU电路的相量模型UCRjXL-jXC下图中已知R=15Ω，L=12mH，C=40μF，端电压u=28.3sin(2500t)V，求：i及各元件电压。IURUCUULUL+UC由电压三角形可导出阻抗三角形为：RXL-XC|Z|1.一个110V、60W的白炽灯接到50Hz、220V的正弦电源上，可以用一个电阻、一个电感或一个电容和它串联。试分别求所需的R、L、C的值。如果换接到220V直流电源上，这三种情况的结果分别如何？思考练习白炽灯的灯丝电阻为：20260110'22NNPUR202V110110220RRU同，即：，分压相同，阻值也相白炽灯和电阻相串联时，电路为纯电阻性质，因此总电压有效值等于两个分电压有效值之和，所以：H11.1314545.0191V191110220A545.011060L22LIULUUPINN，白炽灯和电感相串联时，电路为RL串联，有：)11(1)()2()(sin2/u(t))1()1(CLLCXXjRYBBGYRLCtIZCLjRZRLCi，并联电路：，串联电路：μF09.9314191545.0V191110220C22CUICU，白炽灯和电容相串联时，电路为RC串联，有：如果换接到220V直流电源上，电阻的情况不变；但直流电路中电感元件相当于短路，所以无论接多大的电感，220V电压都会全部加在白炽灯上，白炽灯就会因过电压而烧损；电容元件在直流电路中相当于开路，因此无论接多大的电容，白炽灯中均无电流。2.判断下列结论的正确性：4.4复功率学习目标：正确区分正弦电路中的瞬时功率、有功功率、无功功率、视在功率、复功率和功率因数的概念，熟练掌握其分析计算的方法。4.4.1正弦交流电路中的功率设