二次函数复习要点

1二次函数复习知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而bc，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数y＝ax2+bx+c的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次多项式。（①含自变量的代数式是整式，②自变量的最高次数是2，③二次项系数不为0.）⑵abc，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式1.y＝ax2的性质：2.y＝ax2＋k的性质：（k上加下减）3.y＝a（x-h）2的性质：（h左加右减）a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质（增减性）0a向上（0，0）y轴0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值0．0a向下（0，0）y轴0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值0．a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质（增减性）0a向上（0，k）y轴0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值k．0a向下（0，k）y轴0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值k．a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质（增减性）0a向上（h，0）直线x=hxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0．0a向下（h，0）直线x=hxh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0．24.y＝a(x－h)2＋k的性质：5.y＝ax2+bx+c的性质：三、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a.(a决定了抛物线开口的大小和方向)二次函数2yaxbxc中，a作为二次项系数，显然a≠0①当0a时，抛物线开口向上，当0a时，抛物线开口向下；②a的绝对值越大，开口越小，反之a的绝对值越小，开口越大。总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．2.一次项系数b（a和b共同决定抛物线对称轴的位置）.抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2，故：①0b时，对称轴为y轴；②（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；③（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质（增减性）0a向上（h，k）直线x=hxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k．0a向下（h，k）直线x=hxh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k．a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质（增减性）0a向上2424bacbaa，直线2bxa2bxa时，y随x的增大而增大；2bxa时，y随x的增大而减小；2bxa时，y有最小值244acba．0a向下2424bacbaa，直线2bxa2bxa时，y随x的增大而减小；2bxa时，y随x的增大而增大；2bxa时，y有最大值244acba．3ab的符号的判定：对称轴abx2在y轴左边则0ab，在y轴的右侧则0ab，概括的说就是“左同右异”3.常数项c(c决定了抛物线与y轴交点的位置)⑴当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当0c时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要abc，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．四、二次函数图象的平移1.平移步骤：方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式2yaxhk，确定其顶点坐标hk，；⑵保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向上(k0)【或下(k0)】平移|k|个单位向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向上(k0)【或下(k0)】平移|k|个单位向上(k0)【或向下(k0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax22.平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴cbxaxy2沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，cbxaxy2变成mcbxaxy2（或mcbxaxy2）⑵cbxaxy2沿x轴平移：向左（右）平移m个单位，cbxaxy2变成cmxbmxay)()(2（或cmxbmxay)()(2）4五、二次函数2yaxhk与2yaxbxc的比较从解析式上看，2yaxhk与2yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424bacbyaxaa，其中2424bacbhkaa，．六、二次函数2yaxbxc图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2yaxbxc化为顶点式2()yaxhk，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0c，、以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、与x轴的交点10x，，20x，（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.七、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x轴对称2yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxhk；2.关于y轴对称2yaxbxc关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxhk；3.关于原点对称2yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是2yaxhk；根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．八、二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1.一般式：2yaxbxc（a，b，c为常数，0a），适用条件：已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.顶点式：2()yaxhk（a，h，k为常数，0a），适用条件：已知图像上点两坐标，且其中一点为抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点5式；3.交点式（两根式）：12()()yaxxxx（0a，1x，2x是抛物线与x轴两交点的横坐标），适用条件：已知图像上三点坐标，其中两点为抛物线与x轴的两个交点（1x，0），（2x，0），一般选用交点式；九、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx2时，abacy442最值。如果自变量的取值范围是21xxx，那么，首先要看ab2是否在自变量取值范围21xxx内，若在此范围内，则当x=ab2时，abacy442最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21xxx范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当2xx时，cbxaxy222最大，当1xx时，cbxaxy121最小；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当1xx时，cbxaxy121最大，当2xx时，cbxaxy222最小。十、掌握二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系(以a0为例，a0请同学们自己补充)判别式二次函数a0对称轴：122xxx交点式：12()()yaxxxx12xxxx当或时，y012xxx当时，y02bxa当时，y0当x为全体实数时，y06二次函数a0一元二次方程两根为12xx，12()2bxxxa（有两个不相等的实数根）（有两个相等的实数根）无实根▲抛物线上两点1020(,),(,)AxyBxy，则抛物线对称轴为直线122xxx十一、函数的应用二次函数应用刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少十二、二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值利用顶点坐标公式2424bacbaa，，即当abx2时，abacy442最值；或先配方利用顶点式求最值。⑶根据图象的位置判断二次函数2yaxbxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.7二次函数考查重点与常见题型1、已知以x为自变量的二次函数2)2(22mmxmy的图像经过原点，则m的值是-12．写出一个开口向上，顶点坐标是（2，-3）的函数解析式。3.将二次函数5x6x2y2配成k)hx(y2的形式是_____________________.4．抛物线6x5xy2与x轴交点的坐标是__（2，0）、(3,0).5.已知函数mx3xy2，当x＝1时，y＝－5,则x＝－1时，y的值是___1____。6．王翔同学在一次跳高训练中采用了背跃式，跳跃路线正好和抛物线3x3x2y2相吻合，那么他能跳过的最大高度为_________m．7.将抛物线1x3y2的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是（B）。A．3)2x(3y2B．2)2x(3y2C．3)2x(3y2D．2)2x(3y28．下列描述抛物线)2x)(x1(y的开口方向及其最值情况正确的是（C）。A．开口向上，y有最大值B．开口向上，y有最小值C．开口向下，y有最大值D．开口向下，y有最小值9．如图，一边靠墙（墙有足够长），其他三边用12米长的篱笆围成一个矩形（ABCD）花园，这个花园的最大面积是（18）平方米。10、如图，如果函数bkxy的图像在第一、二、三象限内，那么函数12bxkxy的图像大致是（B）yyyy110xo-1x0x0-1xABCD11、二次函数2yaxbxc的图像如图1，则点),(acbM在（D）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限12、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（B）A．1个B．2个C．3个D．4个图（1）图（2）ABDC813、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1x12，与y轴的正半轴的交点在点(O，2)的下方．下列结论：①ab0；②2a+cO；③4a+cO；④2a-b+1O，其中正确结论的个数为(D)A1个B.2个C.3个D．4个14、已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为(C)A(2，-3)B.(2，1)C(2，3)D．(3，2)15、你知道吗?