圆的方程(含答案)

圆的方程【知识清单】：1．圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F＞0)圆心：－D2，－E2，半径：12D2＋E2－4F2．点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.注意：对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F＞0这一成立条件．【考点突破】：考点一圆的方程基础送分型考点——自主练透1．(易错题)(2015·潍坊模拟)若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为()A．(x－2)2＋(y±2)2＝3B．(x－2)2＋(y±3)2＝3C．(x－2)2＋(y±2)2＝4D．(x－2)2＋(y±3)2＝4解析：选D由题意知圆C的半径为2，且圆心坐标可设为(2，b)，因此有2－12＋b－02＝2，解得b＝±3，从而圆C的方程为(x－2)2＋(y±3)2＝4.2．(2016·石家庄一检)若圆C的半径为1，点C与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C的标准方程为()A．x2＋y2＝1B．(x－3)2＋y2＝1C．(x－1)2＋y2＝1D．x2＋(y－3)2＝1解析：选A因为点C与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C(0,0)，所以所求圆的标准方程为x2＋y2＝1.3．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A．.53B．213C．253D．43解析：选B设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则1＋D＋F＝0，3＋3E＋F＝0，7＋2D＋3E＋F＝0，解得D＝－2，E＝－433，F＝1.∴△ABC外接圆的圆心为1，233，故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为12＋2332＝213.[谨记通法]：1．求圆的方程的2种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．2．确定圆心位置的3种方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上，如“题组练透”第1题．(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．[提醒]：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．考点二与圆有关的最值问题常考常新型考点——多角探明[命题分析]与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．常见的命题角度有：角度一：斜率型最值问题1．(2016·抚顺模拟)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求yx的最大值和最小值．解：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，此时|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3.所以yx的最大值为3，最小值为－3.角度二：截距型最值问题2．在[角度一]条件下求y－x的最大值和最小值．解：y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2±6.所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.角度三：距离型最值问题3．在[角度一]条件下求x2＋y2的最大值和最小值．解：如图所示，x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2－02＋0－02＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.角度四：建立目标函数求最值问题4．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0),B(m,0)(m＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为()A．7B．6C．5D．4解析：选B由(x－3)2＋(y－4)2＝1知圆上点P(x0，y0)可化为x0＝3＋cosθ，y0＝4＋sinθ.∵∠APB＝90°，即AP·BP＝0，∴(x0＋m)(x0－m)＋y20＝0，∴m2＝x20＋y20＝26＋6cosθ＋8sinθ＝26＋10sin(θ＋φ)≤36其中tanφ＝34，∴0＜m≤6，即m的最大值为6.[方法归纳]：求解与圆有关的最值问题的2大规律(1)借助几何性质求最值：处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．(2)建立函数关系式求最值：根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的．考点三与圆有关的轨迹问题重点保分型考点——师生共研在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为23.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为22，求圆P的方程．解：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r，则y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.∴y2＋2＝x2＋3，即y2－x2＝1.∴P点的轨迹方程为y2－x2＝1.(2)设P的坐标为(x0，y0)，则|x0－y0|2＝22，即|x0－y0|＝1.∴y0－x0＝±1，即y0＝x0±1.①当y0＝x0＋1时，由y20－x20＝1得(x0＋1)2－x20＝1，∴x0＝0，y0＝1，∴r2＝3，∴圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3；②当y0＝x0－1时，由y20－x20＝1得(x0－1)2－x20＝1，∴x0＝0，y0＝－1，∴r2＝3，∴圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3.综上所述，圆P的方程为x2＋(y±1)2＝3.已知OP＝(2＋2cosα，2＋2sinα)，α∈R，O为坐标原点，向量OQ满足OP＋OQ＝0，则动点Q的轨迹方程是________．解析：设Q(x，y)，由OP＋OQ＝(2＋2cosα＋x,2＋2sinα＋y)＝(0,0)，∴x＝－2－2cosα，y＝－2－2sinα，∴(x＋2)2＋(y＋2)2＝4.答案：(x＋2)2＋(y＋2)2＝4[由题悟法]：与圆有关的轨迹问题的4种求法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．【三维演练】：一抓基础，多练小题做到眼疾手快3．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为()A．2B．22C．1D．2解析：选D已知圆的圆心是(1，－2)，到直线x－y＝1的距离是|1＋2－1|12＋12＝22＝2.4．已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2解析：选D由题意知x－y＝0和x－y－4＝0之间的距离为|4|2＝22，所以r＝2；又因为y＝－x与x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所以由y＝－x和x－y＝0联立得交点坐标为(0,0)，由y＝－x和x－y－4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.5．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为________．解析：(x，y)关于原点P(0,0)的对称点为(－x，－y)，则(－x＋2)2＋(－y)2＝5，即(x－2)2＋y2＝5.答案：(x－2)2＋y2＝5二保高考，全练题型做到高考达标3．(2016·深圳五校联考)已知直线l：x＋my＋4＝0，若曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上存在两点P，Q关于直线l对称，则m的值为()A．2B．－2C．1D．－1解析：选D因为曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0是圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9，若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上存在两点P，Q关于直线l对称，则直线l：x＋my＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m＋4＝0，解得m＝－1.4．(2016·济南模拟)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为()A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1D．(x－2)2＋(y－2)2＝1解析：选B设圆C1的圆心坐标C1(－1,1)关于直线x－y－1＝0的对称点为(a，b)，依题意得b－1a＋1＝－1，a－12－b＋12－1＝0，解得a＝2，b＝－2，所以圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.5．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y＝2的距离等于1，则半径r的取值范围是()A．(4,6)B．[4,6]C．[4,6)D．(4,6]解析：选A易求圆心(3，－5)到直线4x－3y＝2的距离为5.令r＝4，可知圆上只有一点到已知直线的距离为1；令r＝6，可知圆上有三点到已知直线的距离为1，所以半径r取值范围在(4,6)之间符合题意．6．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________________．解析：因为直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，所以圆心(1,0)到直线mx－y－2m－1＝0的最大距离为d＝2－12＋－1－02＝2，所以半径最大时的半径r＝2，所以半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.答案：(x－1)2＋y2＝27．直线x－2y－2k＝0与2x－3y－k＝0的交点在圆x2＋y2＝9的外部，则k的取值范围是________．解析：由x－2y－2k＝0，2x－3y－k＝0，得x＝－4k，y＝－3k.∴(－4k)2＋(－3k)2＞9，即25k2＞9，解得k＞35或k＜－35.答案：－∞，－35∪35，＋∞8．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为________．解析：如图所示，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.答案：49．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝410.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程．解：(1)由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1,2)．则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得a＋b－3＝0.①又∵直径|CD|＝410，∴|PA|＝210，∴(a＋1)2＋b2＝40.②由①②解得a＝－3，b＝6或a＝5，b＝－2.∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)．∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.10．已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2