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上一页返回首页下一页高三一轮总复习课时分层训练抓基础·自主学习明考向·题型突破第八节曲线与方程上一页返回首页下一页高三一轮总复习[考纲传真]1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法.3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程．上一页返回首页下一页高三一轮总复习1．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是；(2)以这个方程的解为坐标的点都在．那么，这条曲线叫作方程的曲线，这个方程叫作曲线的方程．这个方程的解曲线上上一页返回首页下一页高三一轮总复习2．圆锥曲线的共同特征圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e.当01时，圆锥曲线是椭圆；当＝1时，圆锥曲线是抛物线；当1时，圆锥曲线是双曲线．0e1e＝1e1一个定点一条定直线上一页返回首页下一页高三一轮总复习3．求动点轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标．(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}．(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程.(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式．(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．f(x，y)＝0上一页返回首页下一页高三一轮总复习4．两曲线的交点设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组F1x，y＝0，F2x，y＝0的实数解．若此方程组，则两曲线无交点．无解上一页返回首页下一页高三一轮总复习1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．()(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．()(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.()(4)方程y＝x与x＝y2表示同一曲线．()[解析]由曲线与方程的定义，知(2)，(3)，(4)不正确，只有(1)正确．[答案](1)√(2)×(3)×(4)×上一页返回首页下一页高三一轮总复习2．(教材改编)已知点F14，0，直线l：x＝－14，点B是l上的动点．若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是()A．双曲线B．椭圆C．圆D．抛物线D[由已知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线．]上一页返回首页下一页高三一轮总复习3．(2016·广州模拟)已知点F(0,1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且QP→·QF→＝FP→·FQ→，则动点P的轨迹C的方程为()A．x2＝4yB．y2＝3xC．x2＝2yD．y2＝4x上一页返回首页下一页高三一轮总复习A[设点P(x，y)，则Q(x，－1)．∵QP→·QF→＝FP→·FQ→，∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)，即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y，∴动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.故选A.]上一页返回首页下一页高三一轮总复习4．已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为__________．上一页返回首页下一页高三一轮总复习(x－10)2＋y2＝36(y≠0)[设A(x，y)，则Dx2，y2∴|CD|＝x2－52＋y24＝3，化简得(x－10)2＋y2＝36，由于A，B，C三点构成三角形，∴A不能落在x轴上，即y≠0.]上一页返回首页下一页高三一轮总复习5．(2017·郑州模拟)在△ABC中，|BC→|＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且|BD→|－|CD→|＝22，则顶点A的轨迹方程为__________.【导学号：57962416】上一页返回首页下一页高三一轮总复习x22－y22＝1(x2)[以BC的中点为原点，中垂线所在直线为y轴建立如图所示的坐标系，E，F分别为两个切点．则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，|AE|＝|AF|.所以|AB|－|AC|＝22，所以点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y≠0)，且a＝2，c＝2，所以b＝2，所以轨迹方程为x22－y22＝1(x2)．]上一页返回首页下一页高三一轮总复习直接法求轨迹方程已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.求动圆圆心的轨迹C的方程．上一页返回首页下一页高三一轮总复习[解]如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，得|O1A|＝|O1M|.2分当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，∴|O1M|＝x2＋42.5分上一页返回首页下一页高三一轮总复习又|O1A|＝x－42＋y2，∴x－42＋y2＝x2＋42，化简得，y2＝8x(x≠0).10分当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为(0,0)也满足方程y2＝8x，∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.12分上一页返回首页下一页高三一轮总复习[规律方法]1.如果动点满足的条件是易于用x，y表达的与定点、定直线有关的几何量的等量关系时，等量关系又易于表达成含有x，y的等式，可利用直接法求轨迹方程．2．运用直接法应注意的问题：(1)在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的．(2)若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略．上一页返回首页下一页高三一轮总复习[变式训练1]已知两点M(－1,0)，N(1,0)，且点P使MP→·MN→，PM→·PN→，NM→·NP→成公差小于零的等差数列，求点P的轨迹方程.【导学号：57962417】上一页返回首页下一页高三一轮总复习[解]设点P(x，y)，则MP→＝(x＋1，y)，NP→＝(x－1，y)，MN→＝(2,0).3分故MP→·MN→＝2(x＋1)，PM→·PN→＝MP→·NP→＝(x＋1)×(x－1)＋y2＝x2＋y2－1，NM→·NP→＝－2(x－1)＝2(1－x).6分上一页返回首页下一页高三一轮总复习因为MP→·MN→，PM→·PN→，NM→·NP→成公差小于零的等差数列，所以2(x2＋y2－1)＝2(x＋1)＋2(1－x).10分且NM→·NP→－MP→·MN→＝2(1－x)－2(x＋1)＝－4x0，整理得，x2＋y2＝3(x0)，故点P的轨迹方程为x2＋y2＝3(x0).12分上一页返回首页下一页高三一轮总复习定义法求轨迹方程如图8­8­1所示，已知点C为圆(x＋2)2＋y2＝4的圆心，点A(2，0)．P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP所在的直线上，且MQ→·AP→＝0，AP→＝2AM→.当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程．图8­8­1上一页返回首页下一页高三一轮总复习[解]由(x＋2)2＋y2＝4知圆心C(－2，0)，半径r＝2.2分∵MQ→·AP→＝0，AP→＝2AM→，∴MQ⊥AP，点M为AP的中点，因此QM垂直平分线段AP.6分如图，连接AQ，则|AQ|＝|QP|，∴||QC|－|QA||＝||QC|－|QP||＝|CP|＝2.上一页返回首页下一页高三一轮总复习又|AC|＝222.8分根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以C(－2，0)，A(2，0)为焦点，实轴长为2的双曲线.10分由c＝2，a＝1，得b2＝1，因此点Q的轨迹方程为x2－y2＝1.12分上一页返回首页下一页高三一轮总复习[迁移探究]若将本例中的条件“圆C的方程(x＋2)2＋y2＝4”改为“圆C的方程(x＋2)2＋y2＝16”，其他条件不变，求点Q的轨迹方程．上一页返回首页下一页高三一轮总复习[解]由(x＋2)2＋y2＝16知圆心C(－2，0)，半径r＝4.2分上一页返回首页下一页高三一轮总复习∵MQ→·AP→＝0，AP→＝2AM→，∴QM垂直平分AP，连接AQ，则|AQ|＝|QP|，6分∴|QC|＋|QA|＝|QC|＋|QP|＝r＝4.8分根据椭圆定义，点Q的轨迹是以C(－2，0)，A(2，0)为焦点，长轴长为4的椭圆.10分由c＝2，a＝2，得b＝2.因此点Q的轨迹方程为x24＋y22＝1.12分上一页返回首页下一页高三一轮总复习[规律方法]1.定义法求轨迹方程，关键是理解解析几何中有关曲线的定义．在求曲线的轨迹方程时，应尽量利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，优化解题过程．2．利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．上一页返回首页下一页高三一轮总复习[变式训练2](2016·全国卷Ⅰ选编)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|＋|EB|为定值；(2)求点E的轨迹方程，并求它的离心率．上一页返回首页下一页高三一轮总复习[解](1)证明：因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.3分又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.5分上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)由圆A方程(x＋1)2＋y2＝16，知A(－1,0)．又B(1,0)因此|AB|＝2，则|EA|＋|EB|＝4|AB|.8分由椭圆定义，知点E的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(不含与x轴的交点)，所以a＝2，c＝1，则b2＝a2－c2＝3.10分所以点E的轨迹方程为x24＋y23＝1(y≠0)．故曲线方程的离心率e＝ca＝12.12分上一页返回首页下一页高三一轮总复习相关点(代入)法求轨迹方程如图8­8­2所示，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝45|PD|.图8­8­2(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段的长度．上一页返回首页下一页高三一轮总复习[解](1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，∵点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝45|PD|，∴xP＝x，且yP＝54y.2分∵P在圆x2＋y2＝25上，∴x2＋54y2＝25，整理得x225＋y216＝1，故轨迹C的方程是x225＋y216＝1.5分上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)过点(3,0)且斜率为45的直线l的方程是y＝45(x－3)，7分设此直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝45(x－3)代入C的方程x225＋y216＝1得：x225＋x－3225＝1，化简得x2－3x－8＝0，∴x1＝3－412，x2＝3＋412，10分则|AB|＝1＋1625x1－x22＝4125×41＝415.∴直线被曲线C所截线段的长度为415.12分上一页返回首页下一页高三一轮总复习[规律方法]1.相关点法求轨迹方程，形成轨迹的动点P(x，y)随另一动点Q(x′，y′)的运动而有规律地运动，而且动点Q的轨迹方程为给定的或容易求得的．2．“相关点法”的基本步骤：(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)．(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式x1＝fx，y，y1＝gx，y.(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．上一页返回首页下一页高三一轮总复习[变式训练3](2017·武汉模拟)P是椭圆x2a2＋y2b2＝1上的任意一点，F1，F2是它