材料力学应力状态分析

§8-1应力状态的概念§8-2平面应力状态分析——解析法§8-3平面应力状态分析——图解法（应力圆）§8-4空间应力的应力状态分析——一点的最大应力§8-5广义胡克定律§8-6强度理论概念第八章应力状态分析强度理论一、应力状态的概念：3.梁弯曲：,FmaxmaxAN1.轴向拉压：;maxmaxpWT2.圆轴扭转：.,*maxmaxmaxmaxbISFWMzszkN200kN150kN50最大切应力在截面最外缘；maxmax最大正应力在截面上、下边缘；最大切应力在截面中性轴上。zAF§8-1应力状态的概念Bdydz1、截取单元体，使其各面上的应力为已知；2、因为单元体极其微小，可认为各截面上应力均匀分布；3、因为单元体极其微小，可忽略单元体二平行平面之间应力的微小变化，认为二平行平面上应力大小相等；4、在此基础上采用截面法，即可确定任何斜截面上的应力；单元体的应力状态就代表了该点处的应力状态。ＭFBdx.0,0,0dzdydx二、点的应力状态的研究方法：单元分析法：在所要研究点处取一微小的正六面体——单元体xxy在单元体各面上标上应力——应力单元体BbCxxPWT,ZxWFLeMyxzcbFyxzcblbxzycxzyxzzx横截面纵向水平面纵向铅垂面xyyxnMxzPWTxzx取单元体示例FPl/2l/2S截面5432154321S截面4PlFMz2PF5432154321S截面4PlFMz2PF1x122x2233取单元体示例FPlaS截面xzy4321S截面yxzMzFsyT43211pWT1zzxWM143pWT3p3WTzzxWM3忽略弯曲切应力微体abcd（1）、主平面与主应力：主平面：切应力为零的平面。主应力：主平面上的正应力。主应力排列规定：按代数值由大到小。321过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力301050单位：MPa3010;30;10;50321MPaMPaMPa;30;0;10321MPaMPa三、主应力和主平面应力状态的分类a、单向应力状态：只有一个主应力不等于零，另两个主应力都等于零的应力状态。b、二向应力状态：有两个主应力不等于零，另一个主应力等于零的应力状态。c、三向应力状态：三个主应力都不等于零的应力状态。（2)、应力状态的分类平面应力状态：单向应力状态和二向应力状态的总称。复杂应力状态：二向应力状态和三向应力状态的总称。空间应力状态：三向应力状态简单应力状态：单向应力状态。纯剪切应力状态：单元体上只存在剪应力无正应力。注：应力状态的分类，是根据主应力不等于零的个数来确定。空间应力状态yxzxyzxyyxyzzyzxxz平面应力状态xyxyyxxyxyxxyyxxy单向应力状态纯剪应力状态一、斜截面上的应力计算§8－2平面应力的应力状态分析—解析法等价xxxyyyxyoxyozxyxyxy空间问题简化为平面问题xyxyxyxyon--逆时针转为正。设：斜截面面积为ｄA，由分离体平衡得：;0FndAxyxyxyacbtnxxyxyacbsin:cos::dAacdAabdAbc单元体各面面积cos)cos(dAxsin)cos(dAxsin)sin(dAy0cos)sin(dAy2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx由切应力互等定理和三角变换，可得：tnxxyxyacbsin:;cos:;:dAacdAabdAbc0sin)sin(cos)sin(cos)cos(sin)cos(,0dAdAdAdAdAFyyxxt符号规定：1)“”正负号同“”；2)“”正负号同“”；3)“”为x轴正向与斜面的外法线间的夹角，逆时针为正，顺时针为负。注意：用公式计算时代入相应的正负号。——单元体任意斜截面上的应力计算式,00dd00即yxxytg220主平面的方位)90;(00002sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx)1()2(00202cos2sin200xyyxdd22minmax)2(2xyyxyx——主应力的大小讨论：yx0901)、2)、的极值主应力以及主平面方位可以确定出两个相互垂直的平面——主平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。3)、切应力的极值及所在截面,2cos2sin2xyyxxyyx22tan1——最大切应力所在的位置22minmax)2(xyyx——xy面内的最大切应力01dd令)90;(011112tan2tan10)45(001由yxxy22tan0——主平面的位置)90;(0000xyyx22tan1——最大切应力所在的位置)90;(0111将与画在原单元体上。maxminmax,00145xyyxmaxminminmax0maxmin例：如图所示单元体，求图示斜截面的应力及主应力、主平面。（单位：MPa）300405060解：1、求斜截面的应力2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx)(3.58)60sin()50()60cos(260402604000MPa)(3.18)60cos()50()60sin(2604000MPa30,50,60,40MPaMPaMPaxyx5040602、求主应力、主平面yxxytg22022minmax)2(2xyyxyx)(7.60)(7.80)50()26040(2604022MPaMPa16040)50(2005.67)(7.60,0),(7.80321MPaMPa主应力：主平面位置：minmaxyxxx030,50,60,40MPaMPaMPaxyx例：如图所示单元体，求主应力及主平面。解：1、主应力22minmax)2(2xyyxyxxyxy200.;0;321xyxy2、主平面yxxytg22002xy;4500133020单位：MPa1、2、3？xyxyx,0,0045xyyxx504060空间应力状态：minmaxyxxx0)(100,40,60,40MPazxyyxyMPaMPa7.60,7.80minmaxxy平面内的主应力：xxyyxzzxyz)(7.60,7.80,100321MPa132xyzzzxyyxyx2222)2()2(这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆§8-3平面应力的应力状态分析—图解法2222222cossinsincosxyyxxyyxyx对上述方程消参数（2），得：一、应力圆：)0,2(yx圆心：半径：22)2(xyyxRxyoxyxyxyxyyxyx2222)2()2(RCxyyxR22)2(2yx应力圆：应力圆上任一点的横、纵坐标分别对应该点某一截面上正应力和切应力二.应力圆的画法D(x,xy)D’(y,yx)cxy2RxyyxR22)2(yyxxyADxyx绘制步骤：1、取直角坐标系——2、取比例尺（严格按比例做图）。3、找点,.),(xyxD),(yxyD4、连交轴于C点，以C为圆心，CD为半径画圆——应力圆。DDoCDo1BD’2B0MPa**,1xOB,1xyDB,2yOB,'2yDB),(yxy),(xyx222222xyyxyxxyoxyxyxy三、证明：22221111yxyxxOBOBOBCBOBOC)0,2(yx证得圆心位置：xyyxDBCBCDR222121)2()(证得半径为：22)2(xyyxRoCD1BD’2B1A2A),(xyx),(yxy四、图解法的应用,以D为基点，转2的圆心角至E点——，转向与单元体面转过的方向相同。),(E1maxOA2minOA2、主应力321,,3、主平面位置以D为基点，转到A1点，其圆心角为20，逆时针时0为“＋”；顺时针时0为“－”。（0——主平面的位置)。xyoxyxyxyoCD1B2B1A2A'D2E),(021、求斜截面上应力),(yy),(xxxyoxyxyxy1maxCG2minCG4、切应力的极值及所在位置以D为基点，转到G1点，其圆心角为21。由应力圆可证明——最大正应力与最大剪应力所在平面相差450oCD1B2B1A2A'D2E),(021G12xyoxyxyxy2Gminmax120oCDD/B1B2A1A22α0E2αF证明：（2α角的关系）2sin2cos222sin2cos2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos)22cos(1100000xyyxyxDBCBOCCDCDOCCECEOCCEOCCFOCOF2cos2sin22sin2cos2cos2sin)22sin(000xyyxCDCDCEEF证毕点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面上的正应力和切应力几个对应关系D(x,xy)D’(y,yx)cxy2yyxxyxxyHn),(aaH2转向对应——半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致；二倍角对应——半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。D’60EFτσO.;003030EFOF2、量出所求的物理量.2.;0;1023211DCAOAOA解：1、按比例画此单元体对应的应力圆408060DC),(30301A2A020200例：求1）图示单元体α=300斜截面上的应力2）主应力、主平面（单位：MPa）。xxADodac2×45º2×45ºbeBEoa(0,)d(0,-)ADbec2×45º2×45º1＝3＝BE3＝1＝BE主应力单元体zzsxIbSF,zxIMyFqx12345yoxxy2x1223122xyxx）（梁的主应力及其主应力迹线xy3xxy4x50yFqx12345yoxy3xxy2