4.1.2-复数的有关概念

-1-1.2复数的有关概念课程目标学习脉络1.理解复数的有关概念及两个复数相等的充要条件;2.了解复平面的概念,理解并掌握复数的几何意义;3.理解复数模的概念,会求复数的模.1231.复数相等的充要条件两个复数a+bi与c+di(a,b,c,d∈R)相等.当且仅当它们的实部与虚部分别相等,即a+bi=c+di当且仅当a=c,且b=d.名师点拨(1)根据复数相等的定义知,在a=c,b=d两式中,只要有一个不成立,那么a+bi≠c+di(a,b,c,d∈R).(2)若两个复数全是实数,则可以比较大小;反之,若两个复数能比较大小,则它们必全是实数[如a+bi0(a,b∈R)⇔𝑎0,𝑏=0].(3)若两个复数不全是实数,则不能比较大小.1232.复数的几何意义当用直角坐标平面内的点来表示复数时,我们称这个直角坐标平面为复平面,x轴称为实轴,y轴称为虚轴.这样,每一个复数在复平面内都有唯一的一个点与它对应;反过来,复平面内的每一个点都有唯一的一个复数与它对应.复数集C和复平面内所有的点构成的集合是一一对应的,即任一个复数z=a+bi与复平面内的点Z(a,b)是对应的.又因为复平面内的点Z(a,b)与平面向量𝑂𝑍是一一对应的,所以一个复数z=a+bi与复平面内的向量𝑂𝑍=(a,b)也是一一对应的.123名师点拨(1)复数集与复平面中的向量、点的对应关系如图.作用为:这种对应关系架起了联系复数与解析几何之间的桥梁,使得复数问题可以用几何方法解决,而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法),增加了解决复数问题的途径.(2)根据复数的几何意义,可进一步理解两个复数相等的条件:两个点相同或两个向量相等,必须横坐标与纵坐标分别对应相等,而复数对应的点或向量的坐标分别是复数的实部与虚部,因而得到两个复数相等,当且仅当实部与虚部分别对应相等.123思考复数与向量一一对应的前提条件是什么?提示:向量的起点为坐标原点.1233.复数的模设复数z=a+bi在复平面内对应的点是Z(a,b),点Z到原点的距离|OZ|叫作复数z的模或绝对值,记作|z|.显然|z|=𝑎2+𝑏2.名师点拨复数的模的几何意义复数z=a+bi(a,b∈R)的模的几何意义就是复数z=a+bi所对应的点Z(a,b)到原点的距离.其中|z|=r的轨迹就是以原点为圆心、以r为半径的圆,当r=1时为单位圆,复数的模是实数的绝对值的概念的推广,当复数z为实数时,|z|就是实数的绝对值.探究一探究二探究三探究四复数相等1.应用复数相等的充要条件时,要注意:(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等,虚部与虚部相等列方程组.(2)利用这一结论,可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式,为应用方程思想提供了条件,同时这也是复数问题实数化思想的体现,这一思想在解决复数问题中非常重要.2.不全是实数的两个复数不能比较大小.若两个复数存在大小关系,则它们必全为实数,即若a+bic+di(a,b,c,d∈R),则𝑏=𝑑=0,𝑎𝑐.探究一探究二探究三探究四【典型例题1】(1)已知(2x-3y)+(x-y+1)i=(x-y)+(3x-4y)i,求实数x,y的值.(2)已知复数z1=-4a+1+(2a2+3a)i,z2=2a+(a2+a)i,其中a∈R,若z1z2,求a的值.思路分析:(1)根据复数相等的条件,将问题转化为关于x,y的方程组求解.(2)由两个复数存在大小关系的条件,列出不等式组求解.-10-1.2复数的有关概念ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四解:(1)由复数相等的定义,得2𝑥-3𝑦=𝑥-𝑦,𝑥-𝑦+1=3𝑥-4𝑦,解得𝑥=2,𝑦=1.(2)∵z1z2,∴z1,z2都是实数且z1z2.∴2𝑎2+3a=0,𝑎2+a=0,-4𝑎+12𝑎.①②③由①得a=0或a=-32,由②得a=0或a=-1,由③得6a-10,由①②得a=0代入③成立.因此,a=0.探究一探究二探究三探究四复数的几何意义按照复数集和复平面内所有的点的集合之间的一一对应关系,每一个复数都对应着一个有序实数对,只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点,就可根据点的位置确定复数的实部、虚部满足的条件.探究一探究二探究三探究四【典型例题2】实数a取什么值时,复平面内表示复数z=a2+a-2+(a2-3a+2)i的点(1)位于第二象限;(2)位于直线y=x上?思路分析:位于第二象限的点的横坐标小于0,纵坐标大于0;位于直线y=x上的点的横坐标等于纵坐标.探究一探究二探究三探究四解:根据复数的几何意义可知,复平面内表示复数z=a2+a-2+(a2-3a+2)i的点就是点Z(a2+a-2,a2-3a+2).(1)由点Z位于第二象限得𝑎2+a-20,𝑎2-3a+20,解得-2a1.故满足条件的实数a的取值范围为(-2,1).(2)由点Z位于直线y=x上得a2+a-2=a2-3a+2,解得a=1.故满足条件的实数a的值为1.探究一探究二探究三探究四复数的模1.复数的模如图所示,向量𝑂𝑍的模r叫作复数z=a+bi的模,记作|z|或|a+bi|.若b=0,那么z=a+bi是一个实数a,它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知:|z|=|a+bi|=r=𝑎2+𝑏2(r≥0,且r∈R).2.复数模的几何意义从几何意义上理解复数z=a+bi,|z|=𝑎2+𝑏2表示点Z和原点间的距离,类比向量的模可进一步引申:|z1-z2|表示点Z1和点Z2之间的距离.探究一探究二探究三探究四【典型例题3】(1)已知复数z1=3-4i,复数z2=a+i,若|z1||z2|,试求实数a的取值范围.(2)设z∈C,满足下列条件的点Z的集合是什么图形?①|z|=2;②|z|≤3.思路分析:(1)求出模,列不等式求解;(2)根据模的几何意义说明,或者设出复数,化为实数问题说明.解:(1)∵z1=3-4i,∴|z1|=32+(-4)2=5.∵z2=a+i,a∈R,∴|z2|=𝑎2+1.∵|z1||z2|,∴5𝑎2+1,即-26a26.∴实数a的取值范围是(-26,26).探究一探究二探究三探究四(2)方法一:①复数z的模等于2,这表明向量𝑂𝑍的长度等于2,即点Z到原点的距离等于2,因此满足条件|z|=2的点Z的集合是以原点O为圆心,以2为半径的圆.②满足条件|z|≤3的点Z的集合是以原点O为圆心,以3为半径的圆及其内部.方法二:设z=x+yi(x,y∈R).①∵|z|=2,∴x2+y2=4.∴点Z的集合是以原点O为圆心,以2为半径的圆.②∵|z|≤3,∴x2+y2≤9.∴点Z的集合是以原点O为圆心,以3为半径的圆及其内部.探究一探究二探究三探究四方法总结解决关于复数的模的几何意义问题,通常有两种方法:(1)根据|z|表示点Z和原点间的距离,把复数条件转化为几何条件;(2)设出复数,利用模的定义,把复数方程(不等式)转化为实数方程(不等式).探究一探究二探究三探究四易错辨析易错点套用复数中不适用的公式致错【典型例题4】已知关于x的方程x2+kx+(k+1)i=0(k∈R)有实根,求这个实根.错解:由x2+kx+(k+1)i=0,得x=-𝑘±𝑘2-4(k+1)i2.错因分析:套用实系数一元二次方程的求根公式,求出的根可能是虚数.正解:设x=m是方程的实根,代入方程,得m2+km+(k+1)i=0,由复数相等的充要条件,得𝑚2+km=0,𝑘+1=0,解得𝑚=0,𝑘=-1或𝑚=1,𝑘=-1.故方程的实根为0或1.123451.当23m1时,复数z=(3m-2)+(m-1)i在复平面上对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:∵23m1,∴3m-20,m-10.∴复数z=(3m-2)+(m-1)i对应的点Z(3m-2,m-1)在第四象限.答案:D123452.若𝑂𝑍=(0,-3),则𝑂𝑍对应的复数为()A.0B.-3C.-3iD.3解析:复数的实部为0,虚部为-3,所以对应的复数为-3i.答案:C123453.若复数a-2i=bi+1(a,b∈R),则a+b=.解析:由复数相等可知,a=1,b=-2,∴a+b=-1.答案:-1123454.如果复数z=1+ai满足条件|z|2,那么实数a的取值范围是.解析:由z=1+ai,|z|2,a∈R得𝑎2+12,解得-3a3.答案:(-3,3)123455.指出满足条件2≤|z|3的复数z在复平面内表示的图形.解:如图,图形是以原点O为圆心,半径分别为2和3的两个圆所夹的圆环,但不包括大圆圆周.