导数及其应用概念及公式总结

导数与微积分重要概念及公式总结1.平均变化率：xy1212)()(xxxfxf称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率2.导数的概念从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:0000()()limlimxxfxxfxyxx我们称它为函数()yfx在0xx出的导数，记作'0()fx或0'|xxy，即0000()()()limxfxxfxfxx3.导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点00(,())xfx处的切线的斜率，（其中00(,())xfx为切点），即0000()()()limxfxxfxfxkx切线方程为：000xxxfxfy4.常用函数的导数：（1）yc则'0y（2）yx，则'1y（3）2yx，则'2yx（4）1yx，则'21yx（5）*()()nyfxxnQ，则'1nynx（6）sinyx，则'cosyx（7）cosyx，则'sinyx（8）()xyfxa，则'ln(0)xyaaa（9）()xyfxe，则'xye（10）()logafxx，则'1()(0,1)lnfxaaxa（11）()lnfxx，则'1()fxx5.导数的运算法则：（1）．'''()()()()fxgxfxgx（2）．'''()()()()()()fxgxfxgxfxgx（3）．'''2()()()()()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx（4）．xfcxcf6.复合函数的导数：一般地，对于两个函数()yfu和()ugx的导数间的关系为xuxyyu，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．若()yfgx，则()()()yfgxfgxgx7.函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)ab内，如果'()0fx，那么函数()yfx在这个区间内单调递增；如果'()0fx，那么函数()yfx在这个区间内单调递减8.求解函数()yfx单调区间的步骤：（1）确定函数()yfx的定义域；（2）求导数''()yfx；（3）解不等式'()0fx，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0fx，解集在定义域内的部分为减区间．9.求函数()yfx的极值的方法：解方程0xf，当00xf（1）如果在0x附近的左侧'()0fx，右侧'()0fx，那么0xf是极大值（2）如果在0x附近的左侧'()0fx，右侧'()0fx，那么0xf是极小值10.利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(xf在(,)ab内的极值；⑵将)(xf的各极值与端点处的函数值)(af、)(bf比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值11.定积分的一般研究方法:)(lim)(1ininbafnabdxxf采用“分割、近似代替、求和、取极值”求曲边梯形的面积12.定积分的几何意义梯形的面积所围成的曲边和曲线，，是直线定积分)(0)()(xfyybabxaxdxxfba13.定积分的性质：（1）babadxxfkdxxkf)()(（2）bababadxxfdxxfdxxfxf)()()]()([2121（3）)()()()(bcadxxfdxxfdxxfbccaba其中14.函数的奇偶性与定积分的关系（xf是区间0,,aaa上的连续函数）（1）当xf是偶函数时，dxxfdxxfaaa02（2）当xf是奇函数时，0dxxfaa15.定积分与曲边梯形面积的关系：（1）曲边梯形位于x轴上方时，定积分取正值，且等于曲边梯形的面积（2）曲边梯形位于x轴下方时，定积分取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数16.微积分基本原理:)()()(),()(,],[)(,aFbFxFdxxfxfxFbaxfbaba　　那么：＇并且上的连续函数是区间如果　　一般地特别的banbannxdxx11xyOabABCD)(1xfy)(2xfy12()()bbaaSfxdxfxdx例1用数学归纳法证明：121321nnn（规范书写步骤！）证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=111121，等式成立。（2）假设当n=k(kN)时等式成立，即121321kkk那么，11123...(1)(1)(1)(1)[(1)1]22kkkkkkk即当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2），可知等式对任何nN都成立例2：求44313xxxf的单调区间、极值及在3,0上的最大值和最小值解：因为函数44313xxxf，所以2242xxxxf令0xf，解得2,2xx或（1）当0xf时，即当-2x2或x时，函数为单调递增函数（2）当0xf时，即当2x2-时，函数为单调递减函数当x变化时，xfxf,的变化情况如下表x2,2（-2,2）2,2xf＋0－0＋xf单调递增328单调递减34单调递增因此，当x=-2时，函数有极大值，极大值为3282f当x=2时，函数有极小值，极小值为342f在3,0上，当x=2时，函数有极小值，极小值为342f又由于13,40ff，因此，函数在3,0上的最大值为4，最小值为34