2014版高考一轮复习 第5讲 直线、平面垂直的判定及其性质

【2014年高考会这样考】1．以选择题、填空题的形式考查垂直关系的判定，经常与命题或充要条件相结合．2．以锥体、柱体为载体考查线面垂直的判定．考查空间想象能力、逻辑思维能力，考查转化与化归思想的应用能力．3．能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，运用公理、定理和已获得的结论，证明一些有关空间中线面垂直的有关性质和判定定理的简单命题．第5讲直线、平面垂直的判定及其性质抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考活页限时训练直线与平面垂直平面与平面垂直考向一考向二考向三助学微博考点自测A级【例2】【训练2】【例1】【训练1】【例3】【训练3】垂直关系的综合应用直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质选择题填空题解答题123ìïïíïïî、、、B级选择题填空题解答题123ìïïíïïî、、、垂直关系综合问题的规范解答单击标题可完成对应小部分的学习，每小部分独立成块，可全讲，也可选讲考点梳理1．直线与平面垂直(1)定义：若直线l与平面α内的________一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．(2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条_________直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)．即：a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝p⇒_________.(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线__________即：a⊥α，b⊥α⇒________.2．平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理：一个平面过另一个平面的_________，则这两个平面垂直．即：a⊂α，a⊥β⇒_________.(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于________的直线与另一个平面________．即：α⊥β，a⊂α，α∩β＝b，a⊥b⇒________.任意相交l⊥α平行a∥b垂线α⊥β交线垂直a⊥β垂直问题的转化关系一个转化助学微博四种方法证明线面垂直的方法：判定定理、平行线垂直平面的传递性(a∥b，b⊥α⇒a⊥α)、面面垂直的性质定理、面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)1．已知直线l⊥α，直线m∥β，下列命题中正确的是()．A．α⊥β⇒l⊥mB．α⊥β⇒l∥mC．l⊥m⇒α∥βD．l∥m⇒α⊥β2．m、n是空间中两条不同直线，α、β是两个不同平面，下面有四个命题：①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n；②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β；③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β；④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β.其中真命题的是()．A．①③B．①④C．②③D．②④3．(2012·安徽)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点自测4．(2012·浙江)已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中()．A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直5.如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．考点自测单击题号显示结果答案显示单击图标显示详解DBAB123454（5题图）【例1】►(2012·广东)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF＝12AB，PH为△PAD中AD边上的高．(1)证明：PH⊥平面ABCD；(2)若PH＝1，AD＝2，FC＝1，求三棱锥EBCF的体积；(3)证明：EF⊥平面PAB.【审题视点】（1）证明考向一直线与平面垂直的判定与性质(1)由PH⊥AD及AB⊥平面PAD可证；因为AB⊥平面PAD，PH⊂平面PAD，所以PH⊥AB.因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD.因为PH⊄平面ABCD，AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，所以PH⊥平面ABCD.（2）解如图，连接BH，取BH的中点G，连接EG.因为E是PB的中点，所以EG∥PH，且EG＝12PH＝12.因为PH⊥平面ABCD，(2)以AD为△BCF的高，而点E到平面BCF的距离可借助PH垂直底面ABCD求得；所以EG⊥平面ABCD.因为AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，所以AB⊥AD，所以底面ABCD为直角梯形，所以VE-BCF＝13S△BCF·EG＝13·12·FC·AD·EG＝212.G【例1】►(2012·广东卷)如图所示，在四棱锥PABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF＝12AB，PH为△PAD中AD边上的高．(1)证明：PH⊥平面ABCD；(2)若PH＝1，AD＝2，FC＝1，求三棱锥EBCF的体积；(3)证明：EF⊥平面PAB.【审题视点】(3)证明考向一直线与平面垂直的判定与性质取PA中点M,连接MD，ME.G(3)取PA的中点M，可证DM//FE，且DM⊥平面PAB，从而得证．M因为E是PB的中点，所以ME//12AB.又因为DF//12AB，所以ME//DF，所以四边形MEFD是平行四边形，所以EF∥MD.因为PD＝AD，所以MD⊥PA.因为AB⊥平面PAD，所以MD⊥AB.因为PA∩AB＝A，所以MD⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB.当证线面关系不易用条件时，可试将线段沿特殊路径平移至特殊位置，这时可能和已知条件更接近。此题将EF转移至DM，就是解决之突破口。【方法锦囊】线面垂直的判定定理实质是由线线垂直推证线面垂直，途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直．推证线线垂直时注意分析几何图形，寻找隐含条件．三角形全等、等腰梯形底边上的中线、高，勾股定理等都是找线线垂直的方法．【训练1】如图，已知BD⊥平面ABC，AC＝BC，N是棱AB的中点．求证：CN⊥AD.证明∵BD⊥平面ABC，CN⊂平面ABC，∴BD⊥CN.考向一直线与平面垂直的判定与性质【方法锦囊】线面垂直的判定定理实质是由线线垂直推证线面垂直，途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直．推证线线垂直时注意分析几何图形，寻找隐含条件．三角形全等、等腰梯形底边上的中线、高，勾股定理等都是找线线垂直的方法．又∵AC＝BC，N是AB的中点．∴CN⊥AB.又∵BD∩AB＝B，∴CN⊥平面ABD.而AD⊂平面ABD，∴CN⊥AD.欲证线线垂直需证线面垂直需证线线垂直需证线面垂直考向二平面与平面垂直的判定与性质【例2】►如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.【审题视点】考虑先证明直线BM⊥平面A1B1M，则由面面垂直的判定定理可得平面ABM⊥A1B1M.证明【方法锦囊】证明面面垂直的方法有：一是定义法，即证明两个平面的二面角为直二面角；二是用判定定理，即证明一个平面经过另一个平面的一条垂线，也就是把“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题，又将“线面垂直”问题进一步转化为“线线垂直”问题．由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1，又BM⊂平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM.又CC1＝2，M为CC1的中点，所以C1M＝CM＝1.在Rt△B1C1M中，B1M＝B1C21＋MC21＝2，同理BM＝BC2＋CM2＝2，又B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M.又A1B1∩B1M＝B1，所以BM⊥平面A1B1M，因为BM⊂平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M.【训练2】(2013·山东高考调研卷)在如图所示的几何体中，正方形ABCD和矩形ABEF所在的平面互相垂直，M为AF的中点，BN⊥CE.(1)求证：CF∥平面MBD；(2)求证：CF⊥平面BDN.证明（1）连接AC交BD于点O，连接OM..因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC的中点．因为M为AF的中点，所以FC∥MO.又因为MO⊂平面MBD，FC⊄平面MBD，所以FC∥平面MBD.(2)因为正方形ABCD和矩形ABEF所在的平面互相垂直，所以AF⊥平面ABCD.又BD⊂平面ABCD，所以AF⊥BD.又因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.O考向二平面与平面垂直的判定与性质因为AC∩AF＝A，所以BD⊥平面ACF，因为FC⊂平面ACF，所以FC⊥BD.因为AB⊥BC，AB⊥BE，BC∩BE＝B，所以AB⊥平面BCE.因为BN⊂平面BCE，所以AB⊥BN.易知EF∥AB，所以EF⊥BN.又因为EC⊥BN，EF∩EC＝E，所以BN⊥平面CEF.因为FC⊂平面CEF，所以BN⊥CF.因为BD∩BN＝B，所以CF⊥平面BDN.O【训练2】(2012·山东高考调研卷)在如图所示的几何体中，正方形ABCD和矩形ABEF所在的平面互相垂直，M为AF的中点，BN⊥CE.(1)求证：CF∥平面MBD；(2)求证：CF⊥平面BDN.考向二平面与平面垂直的判定与性质【例3】►如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝45.(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥PABCD的体积．考向三垂直关系的综合应用(1)证明【审题视点】(1)因为两平面垂直与M点位置无关，所以在平面MBD内一定有一条直线垂直于平面PAD，考虑证明BD⊥平面PAD.在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝45，∴AD2＋BD2＝AB2.∴AD⊥BD.又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，BD⊂面ABCD，∴BD⊥面PAD.又BD⊂面BDM，∴面MBD⊥面PAD.【例3】►如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝45.(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥PABCD的体积．考向三垂直关系的综合应用(2)解【审题视点】(2)四棱锥底面为一梯形，高为P到面ABCD的距离．过P作PO⊥AD于O，O∵面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，即PO为四棱锥PABCD的高．又△PAD是边长为4的等边三角形，∴PO＝23.在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，∴四边形ABCD为梯形，在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为4×845＝855，此即为梯形的高．∴S四边形ABCD＝25＋452×855＝24.∴VPABCD＝13×24×23＝163.【方法锦囊】(1)对于三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．(2)对于垂直与体积结合的问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积．【训练3】(2012·江苏)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.证明（1）因为ABCA1B1C1是直三棱柱,所以CC1⊥平面ABC.考向三垂直关系的综合应用又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.（2）因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以直线A1F∥