管理数量方法与分析第三章_时间序列分析二

3.3长期趋势的测定与预测3.3.1时距扩大法3.3.2移动平均法3.3.3数学模型法长期趋势时间序列的主要构成要素,他是指现象在较长时期内持续发展变化的一种趋向或状态.利用长期趋势的分析,可以掌握现象活动的规律,并对其未来的发展趋势作出判断与预测.长期趋势根据表现形态分为:线性趋势与非线性趋势3.3.1时距扩大法时距扩大法测定长期趋势最原始、最简单的方法,是将原有时间序列中较小时距单位的若干数据加以合并,得到扩大了时距单位的数据,形成新的时间序列.这种方法求得的新的时间序列可以消除较小时距单位所受偶然因素的影响,使研究现象发展变化的基本趋势更为明显.例题3.3.1书上P90例题3.6;3.3.2移动平均法移动平均法是对扩大时距法的一种修正,采用逐期递移的方法计算一系列扩大时距的序时平均数,并以这一系列移动平均数为相应时期的趋势值.通过移动平均的方法求得的新的时间序列可以消除偶然因素的影响,指标值得以修匀,使研究现象发展变化的基本趋势更为明显.移动平均法有简单移动平均法和加权移动平均法两种.这里介绍简单移动平均法.简单移动平均法将每个观察值都给予相同的权数,只使用最近期的数据,在每次计算移动平均值时,移动的间隔都为k.主要适合对较为平稳的时间序列进行预测应用时,关键是确定合理的移动间隔长,原则上选择移动步长时,可通过试验的办法,选择一个使均方误差达到最小的移动步长.例3.3.2居民消费价格指数数据,分别取移动隔k=3和k=5,计算各期的居民消费价格指数的平滑值(预测值),计算出预测误差,并将原序列和预测后的序列绘制成图形进行比较年份19861987198819891990199119921993价格指数106.3107.3118.8118103.1103.4106.4114.7年份1994199519961997199819992000价格指数124.1117.1108.3102.899.298.6100.4解年份19861987198819891990199119921993K=3110.9114.7113.3108.2104.3108.2115.1年份1994199519961997199819992000K=3118.6116.5109.4103.4100.299.4年份19861987198819891990199119921993K=5110.7110.1109.9109.1110.3113.1年份1994199519961997199819992000K=5114.1113.4110.3105.2101.9消费价格指数移动平均趋势508011014019861988199019921994199619982000年份消费价格指数消费价格指数3期移动平均预测5期移动平均预测例题3.3.3书上P92例题3.7;3.3.2数学模型法数学模型法在对原有时间序列进行分析的基础上,根据其发展变动的特点,寻找一个与之相匹配的趋势曲线方程,并以此来测定长期趋势变动规律的方法.依据时间序列数据画散点图,观察散点图,配合直线还是曲线的拟合,得到线性趋势方程与曲线趋势方程.常用的趋势线数学模型线性趋势与非线性趋势1.常用的数学模型(1)直线趋势模型用t表示时间标号，用Yt表示时间序列中的指标值，表示相应的趋势值.tYbtaYt(2)指数趋势模型ttabY(3)二次曲线趋势模型2ctbtaYt(4)修正指数趋势模型ttabKY(5)罗吉斯蒂趋势模型ttabKY1(6)龚柏兹趋势模型ttKabY各个模型的参数往往是待估参数,需要根据时间序列进行估计.2.如何判别使用哪个数学模型？横轴表示时间序列的时间标号，纵轴表示时间序列的指标值，将时间序列的时间与指标值作为坐标绘制在直角坐标线下，形成的图称为散点图(1)图形法—散点图根据散点图的走势，大致判断使用哪个趋势曲线模型.根据观察数据本身，按以下标准选择趋势线(2)指标法tY一次差大体相同，配合直线二次差大体相同，配合二次曲线对数的一次差大体相同，配合指数曲线一次差的环比值大体相同,配合修正指数曲线对数一次差的环比值大体相同,配合Gompertz曲线倒数一次差的环比值大体相同,配合罗吉斯蒂曲线若有几种趋势线可选择,以估计标准误差最小为标准.3.直线趋势模型(线性趋势模型)的拟合与预测时间序列的指标值的逐期增长量（一次差）大致相等时,或散点图的散点大致在一直线附近摆动时利用直线来描绘趋势变动.直线趋势方程btaYt此方程中的参数a,b是未知的,需要根据时间序列进行估计.参数a,b的估计方法——最小二乘法、分割平均法趋势方程中的两个未知常数a和b按最小二乘法求得.即使各实际观察值与趋势值的离差平方和为最小.最小值2)ˆ(iiYY最小值2)(),(iibYaYbaG0),(,0),(bbaGabaG(1)最小二乘法(最小平方法)利用多元函数微分法，求极值，既有整理得2tbtatYtbnaY解之得tbYattnYttYnb22称此方程组为正规方程组在求时间序列趋势直线方程时,时间t的取值只是一个符号,故在求a,b时可以调整t的取值,比如将中间时期的t取0上取分别是1,2,…；下取分别是-1,-2，…,使∑t=0.于是正规方程组2tbtYnaYYatntYnb22tbtatYtbnaY可以改写为例题3.3.4书上P95例题3.8;利用数学公理两点确定一直线.即将时间序列二等分，每部分分别计算其平均数，以此确定所求直线上的两点坐标，再以这两点为基础确定趋势直线.2211tbYtbY(2)分割平均法具体做法2121ttYYb分别代表原时间序列实际观察中各部分的平均数.21,YY例题3.3.5书上P97例题3.9;某地区2003-2008年6年间的粮食产量资料如表3-13所示。年份200320042005200620072008粮食产量（亿吨）85.691.096.1101.2107.0112.2要求用分割平均法拟合一条直线趋势线方程，并据以预测2009年的粮食产量。解：对于时间仍以代码表示，以t=1代表2003年，t=2代表2004年，…，以此类推。按上述分割平均法的基本原理，将原时间序列分为前后两半，前半部分为前三项，后半部分为后三项，并求得t和y的平均数如下：将以上计算结果带入a、b计算公式得：要预测2009年的粮食产量，只要将t=7代入趋势方程即可：所有，所求直线趋势方程为：4.曲线趋势模型的拟合与预测可以利用散点图大致估测使用哪种趋势曲线方程进行拟合.下面着重介绍指数趋势曲线与二次趋势曲线.此方程中的参数a,b是未知的,需要根据时间序列进行估计.参数a,b的估计方法—最小二乘法.(1)指数趋势曲线时间序列指标值的环比发展速度大致相等时，即用于描述以几何级数递增或递减的现象，可利用指数曲线来描绘趋势变动.指数趋势曲线方程ttabYa表示初始发展水平，b表示平均发展速度ttabYˆbtaYtlglgˆlg采取“线性化”手段将其化为对数直线形式根据最小二乘法,得到求解A=lga,B=lgb的正规方程组为2lglglglglglgtbtaYttbanY解上述方程组得A=lga和B=lgb后,再取其反对数,即得a和b.例题3.3.6书上P98例题3.10;此方程中的参数a,b,c是未知的，需要根据时间序列进行估计.参数a,b,c的估计方法——最小二乘法.(2)二次趋势曲线时间序列指标值的逐期增长量大致等量增加时,即逐期增长量之差（二次差）近似相等，可利用二次趋势曲线来描绘趋势变动.二次趋势曲线方程2ctbtaYt4322322tctbtaYttctbtatYtctbnaY根据最小二乘法的基本原理及多元函数求极值的方法，则求a，b，c的正规方程组说明与求时间序列趋势直线方程类似,求a,b,c时可以调整t的取值,使∑t=0,∑t3=0.于是有42222tctaYttbtYtcnaY例题3.3.8书上P100例题3.11;3.4季节变动的测定与预测3.4.1简单移动平均法3.4.2趋势剔除法3.4.3季节变动的预测季节变动影响时间序列的一个重要因素,它刻划时间序列在一个年度内各月或季的典型季节特征说明季节变动中的”季节”是广义的,不仅指一年中的四季,是指任何一种周期性变化.进行季节变动分析的目的(1)通过分析了解季节因素的影响作用大小,掌握季节变动的规律;(2)通过季节变动分析消除时间序列中季节波动,使时间序列更明显地反映趋势及其他因素影响.分析季节变动的主要方法是测定季节指数,常用的方法是简单平均法(同期平均法)与移动平均趋势剔除法.季节指数(季节比率)反映某一月份或季度的数值占全年平均数值的大小.季节变动的程度根据各季节指数与其平均数(100%)的偏差程度来测定说明如果现象的发展没有季节变动,则各期的季节指数应等于100%.若有明显的季节变化,则各期的季节指数应大于或小于100%.3.4.1简单移动平均法简单移动平均法也称同期移动平均法，是研究季节变动的最简单方法.(1)根据历年(至少三年)同月(同月)的数据,计算该月(季)的平均数,作为该月(季)的代表计算季节指数的方法(2)计算总的月(季)的平均数;作为全年的代表.(3)将各月(季)的平均数除以总平均数,得到季节指数%100)总月（季）平均数同月（季）平均数季节指数（S例题3.4.1书上P102例题3.12;3.4.2趋势剔除法趋势剔除法事先剔除长期趋势的变动因素，而后在计算季节指数的方法.(1)移动平均趋势剔除法首先将移动平均数作为长期趋势值加以剔除，再测定季节变动的方法.根据测定长期趋势的方法不同，趋势剔除法分为移动平均趋势剔除法与配合趋势曲线趋势剔除法.(1)计算移动平均趋势值T(季度数据采用4项移动平均,月份数据采用12项移动平均),并将其结果进行“中心化”处理.即将移动平均的结果再进行一次二项的移动平均,即得出“中心化移动平均值”(CMA)(2)计算移动平均的比值Y/T=SI，也称为修匀比率(3)将SI重新按月(季)排列,再利用简单平均法计算季节指数.具体方法如下例题3.4.2书上P103例题3.13;例3.4.3下表是一家啤酒生产企业1997—2002年各季度的啤酒销售量数据.试计算各季的季节指数啤酒销售量的季节变动0.500.801.101.401234季度季节指数(2)配合趋势线趋势剔除法具体做法(1)配合趋势方程将以月或季为单位的数据合并为年为单位的数据；在利用最小二乘法配合直线或曲线趋势方程.(2)将以年为单位的趋势方程变换为以月或季为单位,并将原点移至第一年第一个月（第一季度）.(3)根据趋势方程确定各月（季）的趋势值.(4)计算修匀比率，即比值Y/T=SI.(5)计算季节比率.例题3.4.4书上P107例题3.14;3.4.3季节变动的预测以季节指数为调整基础，采取对时间序列进行外推预测的方法,确定年度以下(季度、月)的预测值.(1)简单季节模型预测法计算过去若干年的月(季度)平均季节比率，并以此作为下一年各月(季度)预测值调整的依据.季节变动预测方法主要有简单季节模型预测与移动平均季节模型预测.若已知下一年的全年的预测值,则各月(季度)的预测值tttSYY例题3.4.5书上P110例题3.15;例题3.16此方法未考虑长期趋势的影响.(2)移动平均季节模型预测法具体做法(1)利用移动平均法求长期趋势值T.(2)根据长期趋势值T序列，配合趋势曲线方程利用最小二乘法，得到趋势曲线方程.(3)将各项实际观察值除以相应的趋势值,得到剔除长期趋势后只含季节变动和随机变动的修匀比率.(4)将年同月(季)的修匀比率加总,求月(季)平均数.(5)根据趋势曲线方程计算各月(季