高三一轮总复习理科数学新课标第6章-第4节

菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）第四节基本不等式考纲传真1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1．基本不等式ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：.(2)等号成立的条件：当且仅当时等号成立．(3)其中a＋b2称为正数a，b的，ab称为正数a，b的．a＞0，b＞0a＝b算术平均数几何平均数菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)．那么当时，x＋y有最小值2P.(简记：“积定和最小”)(2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)．那么当x＝y时，xy有最大值S24.(简记：“和定积最大”)x＝y菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）3．常用不等式(1)a2＋b2≥(a，b∈R)．(2)ab≤(a＋b2)2(a，b∈R)．(3)(a＋b2)2≤a2＋b22(a，b∈R)．(4)ba＋ab≥2(a，b同号)．2ab菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x＋1x的最小值是2()(2)函数f(x)＝cosx＋4cosx，x∈0，π2的最小值等于4()(3)x0，y0是xy＋yx≥2的充要条件()(4)若a0，则a3＋1a2的最小值为2a()【答案】(1)×(2)×(3)×(4)×菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2．(人教A版教材习题改编)设x0，y0，且x＋y＝18，则xy的最大值为()A．80B．77C．81D．82【解析】xy≤x＋y22＝1822＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立，故选C.【答案】C菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）3．已知t0，则函数y＝t2－4t＋1t的最小值为________．【解析】∵t0，∴y＝t2－4t＋1t＝t＋1t－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝1时等号成立．【答案】－2菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）4．已知x1，则x＋4x－1的最小值为________．【解析】∵x1，∴x－10，∴x＋4x－1＝(x－1)＋4x－1＋1≥4＋1＝5当且仅当x－1＝4x－1即x＝3时等号成立．【答案】5菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）5．(2013·四川高考)已知函数f(x)＝4x＋ax(x0，a0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.【解析】f(x)＝4x＋ax≥24x·ax＝4a(x0，a0)，当且仅当4x＝ax，即x＝a2时等号成立，此时f(x)取得最小值4a.又由已知x＝3时，f(x)min＝4a，∴a2＝3，即a＝36.【答案】36菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向1利用基本不等式求最值【例1】(1)设x0，则函数y＝x－1＋4x＋1的最小值等于________．(2)(2014·朝阳模拟)已知正数a，b满足1a＋4b＝1，则a＋b的最小值等于________．【思路点拨】(1)通过配凑，保证积为定值；(2)利用a＋b＝1a＋4b(a＋b)求解．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】(1)∵x0，∴x＋11，∴y＝x－1＋4x＋1＝x＋1＋4x＋1－2≥24－2＝2，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时等号成立．(2)∵a0，b0，且1a＋4b＝1，∴a＋b＝(a＋b)1a＋4b＝5＋4ab＋ba≥5＋24＝9，当且仅当4ab＝ba，即a＝3，b＝6时取等号．【答案】(1)2(2)9菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法11.第(1)题是凑配数，保证积是定值，第(2)题是“1”的代换．2．利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．常用的方法为拆、凑、代换、平方．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练1(1)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，且3x＋4y的最小值是________．(2)当x0时，则f(x)＝2xx2＋1的最大值为________．【解析】(1)∵x＞0，y＞0，x＋y＝1，∴3x＋4y＝(x＋y)3x＋4y＝3yx＋4xy＋7≥23yx·4xy＋7＝7＋43，菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)∵x0，∴f(x)＝2xx2＋1＝2x＋1x≤22＝1，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号．【答案】(1)7＋43(2)1当且仅当3yx＝4xy且x＋y＝1，即x＝－3＋23，y＝4－23时等号成立，∴3x＋4y的最小值是7＋43.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向2利用基本不等式证明简单不等式【例2】已知a0，b0，a＋b＝1，求证：(1)1a＋1b＋1ab≥8；(2)1＋1a1＋1b≥9.【思路点拨】(1)第(1)小题把1a＋1b变形为1ab，或把1ab变形为1a＋1b；(2)第(2)小题把不等式左边展开，利用第(1)小题的结论．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】(1)1a＋1b＋1ab＝21a＋1b，∵a＋b＝1，a0，b0，∴1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ab＋ba≥2＋2＝4，∴1a＋1b＋1ab≥8(当且仅当a＝b＝12时等号成立)．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)法一∵a0，b0，a＋b＝1，∴1＋1a＝1＋a＋ba＝2＋ba，同理1＋1b＝2＋ab，∴1＋1a1＋1b＝2＋ba2＋ab＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9.∴1＋1a1＋1b≥9(当且仅当a＝b＝12时等号成立)．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）法二1＋1a1＋1b＝1＋1a＋1b＋1ab，由(1)知，1a＋1b＋1ab≥8，故1＋1a1＋1b＝1＋1a＋1b＋1ab≥9.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法21.“1”的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用基本不等式是代换的前提，不能盲目变形．2．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练2已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：bca＋cab＋abc≥a＋b＋c.【证明】∵a＞0，b＞0，c＞0，∴bca＋cab≥2bca·cab＝2c；bca＋abc≥2bca·abc＝2b；cab＋abc≥2cab·abc＝2a.以上三式相加得：2bca＋cab＋abc≥2(a＋b＋c)，即bca＋cab＋abc≥a＋b＋c.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向3基本不等式的实际应用【例3】(2014·潍坊模拟)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝13x2＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋10000x－1450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【思路点拨】(1)分0x80与x≥80两种情况求解．(2)分0x80与x≥80两种情况求最值．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1000x万元，依题意得：当0x80时，L(x)＝(0.05×1000x)－13x2－10x－250＝－13x2＋40x－250.当x≥80时，L(x)＝(0.05×1000x)－51x－10000x＋1450－250＝1200－x＋10000x.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)当0x80时，L(x)＝－13(x－60)2＋950.此时，当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950万元．当x≥80时，L(x)＝1200－x＋10000x≤1200－2x·10000x＝1200－200＝1000.此时，当x＝10000x时，即x＝100时L(x)取得最大值1000万元．由于9501000，所以，当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法3解实际应用题要注意以下几点：(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练3某单位建造一间地面积为12m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5m．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解】由题意可得，造价y＝32x×150＋12x×400＋5800＝900x＋16x＋5800(0＜x≤5)，则y＝900x＋16x＋5800≥900×2x×16x＋5800＝13000(元)，当且仅当x＝16x，即x＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）两个变形基本不等式的变形(1)a2＋b22≥a＋b22≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)；(