解排列组合问题的常用方法pwj

pwj2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题，提高学生分析问题和解决问题的能力。3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题。教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有:___________________种不同的方法．12nN=m+m++m复习巩固1.分类计数原理(加法原理)：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：___________________种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）：分步计数原理各步相互依存，每步只能完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．12nN=mmm3.分类计数原理、分步计数原理区别：分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。总的原则—合理分类和准确分步解排列（或）组合问题，应按元素的性质进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。解:分析：先安排甲，按照要求对其进行分类，分两类：根据分步及分类计数原理，不同的站法共有例1.6个同学和2个老师排成一排照相，2个老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？1）若甲在排尾上，则剩下的5人可自由安排，有种方法.55A2)若甲在第2、3、6、7位，则排尾的排法有种，1位的排法有种,第2、3、6、7位的排法有种，根据分步计数原理，不同的站法有种。14A14A44A441414AAA再安排老师，有2种方法。.(1008)(244141455种）AAAA（1）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字的五位偶数？个位数为零：个位数为2或4：45A341412AAA34141245AAAA所以练习1（2）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字且能被五整除的五位数？分类：后两位数字为5或0：个位数为0：45A个位数为5：216341445AAA3414AA（3）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字且大于31250的五位数？分类：（4）31250是由0，1，2，3，4，5组成的无重复数字的五位数中从小到大第几个数？3251231234134512AAAAAA2753254515AA27512212233445AAAA方法一：（排除法）方法二：（直接法）解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事。2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素。※解决排列组合综合性问题，往往类与步相交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置:先排末位共有___;然后排首位共有___;最后排其它位置共有___;13C13C14C14C34A34A由分步计数原理得=28813C14C34A1.7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？253454451440AAAA练习题位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。•2（08辽宁卷10）一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（）A．24种B．36种C．48种D．72种解析：依题若第一道工序由甲来完成，则第四道工序必由丙来完成，故完成方案共有种；若第一道工序由乙来完成，则第四道工序必由甲、丙二人之一来完成，故完成方案共有()；∴则不同的安排方案共有:种。2412A12A2424A21242436AAA二.相邻元素捆绑策略例2.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.甲乙丙丁由分步计数原理可得共有种不同的排法。55A22A22A=480解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行“松绑”！1.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为（）练习题要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用“捆绑法”来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列(即要“松绑”!)2520A•2.变式（08浙江卷17）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是（用数字作答)。解析：本小题主要考查排列组合知识。依题先排除1和2的剩余4个元素有种方案，再向这排好的4个元素中插入1和2捆绑的整体，有种插法，∴不同的安排方案共有种。221225240AAA222228AA三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行:第一步排2个相声和3个独唱共有种;55A第二步将4舞蹈插入第一步排好的5个元素中间及首尾两个空位共有__种不同的方法．46A由分步计数原理,节目的不同顺序共有种.相相独独独5456AA某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（）练习题元素相离问题，可先把没有位置要求的元素进行排队，再把不相邻元素插入中间和两端.2630A四.定序问题缩倍、空位、插入等策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定，共有多少不同的排法？解:(缩倍法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7733AA（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有种坐法，则共有种方法.47A147A思考:可以先让甲乙丙就坐吗?（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余四人依次插入共有________________种法。4*5*6*7=840定序问题可以用“缩倍法”，还可转化为“占位插空模型”来处理。练习题10人身高各不相同,排成前后两排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？510C五.重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法？解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有种分法;7把第二名实习生分配到车间也有7种分法;依此类推,由分步计数原理共有种不同的排法。67…………1.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（）422.某8层大楼，在一楼时电梯上来8名乘客,他们到各自所住的一层下电梯,则下电梯的方法有（）种。87练习题六.多排问题直排策略例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.先在前4个位置排甲乙两个特殊元素有____种,再排后4个位置上的特殊元素有_____种,其余的5人在5个位置上任意排列有____种,则共有_________种.前排后排24A14A55A24A55A14A有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座,规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是______．练习题一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.211121111244312834622ACCCACC1234567891011七.排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少种不同的装法？解:第一步从5个球中选出2个组成复合元素共有__种方法.再把5个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有_____种方法.25C44A根据分步计数原理装球的方法共有_____25C44A解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?练习题一个班有6名战士,其中正副班长各1人,现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正、副班长有且只有1人参加,则不同的选法有________种。134244192CCA八.小集团问题先整体后局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中在1,５两个奇数之间只有两个偶数,这样的五位数有多少个？解：把１,２,４,5当作一个小集团与３排队共有____种排法;再排小集团内部共有_______种排法，由分步计数原理共有_______种排法.22A2222AA2222AA22A35241小集团１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为_______2.5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有_______种。255255AAA254254AAA小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。九.元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额，要分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插块隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法，故共有_________种分法。一班二班三班四班五班六班七班69C练习题1.10个相同的球装入5个盒中,每盒至少一球，有多少种装法？2.x+y+z+w=100求这个方程的自然数解的组数3103C49C将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为11mnC十.正难则反总体淘汰策略例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？（1998年奥赛题.）解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数:含有3个偶数的取法有____;只含有1个偶数的取法有_____,和为偶数的取法共________再淘汰和小于10的偶数共_______个,符合条件的取法共有_______________种.35C1255CC90130150170240260351251231341255CC35C+312555951CCC我们班有43位同学,从中任抽5人,其中正、副班长，团支部书记，至少有一人在内的抽法有多少种?练习题有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.551423324340340340340304590CCCCCCCC十一.平均分组问题除法策略例12.6本不同的书平均分成3堆,每堆2本，共有多少不同的分法？解:分三步取书得种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),