高等数学讲座PPT

高等数学什么是高等数学?初等数学—研究对象为常量,以静止观点研究问题.高等数学—研究对象为变量,运动和辩证法进入了数学.数学中的转折点是变数.有了变数,运动进入了数学,有了变数，辩证法进入了数学有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产生.如何学习高等数学?1.认识高等数学的重要性,培养浓厚的学习兴趣.2.学数学最好的方式是做数学.华罗庚:聪明在于勤奋,天才在于积累.学而优则用,学而优则创.马克思：一门科学,只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步.2.同学：课前适当预习，上课时请关闭手机认真听课，课后及时复习.要求:1.老师：认真、尽职，以身作则，教的过程也是学的过程.3.希望老师与同学：互换角度互相尊重，互相配合互相理解，互相学习.(2)每周一上课时交作业,作业由各班课代表交给我。几点约定或注意：(3)答疑时间：地点：劝勉勤奋学习(1)及时完成作业,交作业的数量和质量算平时成绩,占总成绩的10%.教材上每一章后的习题要会做。1.1函数(Function)一.基本概念1.集合集合:具有某种特定性质的事物的总体.元素:组成这个集合的事物.第一章函数与极限数集是常见的集合.},n,,1,0{N)numbersnatural(自然数},n,,2,1{N)egersintpositive(正整数},n,,1,0,1,,n,{Z)egers(int数整}qpNq,Zp|qp{Q)numbersrational(互质与且有理数R)numbersreal(数实R)numbersrealpositive(正实数2.区间(Intervals)}|{),()(.,,bxaxbaIntervalOpenbaRba开区间且设oxab}bxa|x{]b,a[)IntervalClosed(闭区间oxab区间是一种常见的数集.}{),[bxaxba半开半闭区间oxab}{],(bxaxba半开半闭区间oxab称为区间的长度限区间以上这四种区间称为有ab}|{),(axxaoxa}|{),[axxaoxa}|{),(bxxboxb}|{],(bxxboxb),(也可记作R限区间以上这四种区间称为无为中心的任何开区间以邻域aaU:)(}|||{),(axxaU邻域xaaa半径中心3.邻域(neighborhood)邻域是一种常见的区间.}0{),(0axxaU邻域去心,)aa左邻域（,)aa右邻域（4.常量与变量:在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意常量与变量是相对“过程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而数值变化的量称为变量.常量与变量的表示方法：用字母x,y,t等表示变量.5.绝对值(AbsoluteValue):00aaaaa)0(a运算性质:;baab;baba.bababa)0(aax;axa)0(aax;axax或绝对值不等式:二、函数概念例圆内接正多边形的周长nnrSnsin2,5,4,3n3S5S4S6S圆内接正n边形Orn因变量自变量.)(,000处的函数值为函数在点称时当xxfDx.}Dx),x(fyy{W称为函数的值域函数值全体组成的数集变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作定义设x和y是两个变量,D是一个给定的数集，数集D叫做这个函数的定义域(Domain))(xfy如果对于每个数Dx,(Range)(())0x)(0xf自变量因变量对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.xyDW约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.21xy例如，]1,1[:D211xy例如，)1,1(:D定义:.)(}),(),{(的图形函数称为点集xfyDxxfyyxCoxy),(yxxyWD如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数．．例如，222ayx(graphoffunctionf(x))(1)符号函数010001sgnxxxxy当当当几个特殊的函数举例1-1xyoxxxsgn(2)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数(Greatestintegerfunction)12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线x是无理数时当是有理数时当xxxDy01)(有理数点无理数点•1xyo(3)狄利克雷函数(Dirichlet)(4)取最值函数)}(),(max{xgxfy)}(),(min{xgxfyyxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg0,10,12)(,2xxxxxf例如12xy12xy在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.例1脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间的函数关系式.)0(tt解UtoE),2(E)0,(2,]2,0[时当t2EUt;2tE单三角脉冲信号的电压,],2(时当t200(),EUt)(2tEU即,),(时当t.0U其表达式为是一个分段函数,)(tUU),(,0],2(),(2]2,0[,2)(tttEttEtUUtoE),2(E)0,(2例2.)3(,212101)(的定义域求函数设xfxxxf解23121301)3(xxxf212101)(xxxf122231xx:[3,1]D故三、函数的特性M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX0x,)(,,0,成立有若MxfXxMDX1．函数的有界性:(Boundedness)..X)x(f否则称无界上有界在则称函数.)(),(,0MxffDxM都有使得有界.)(),(,000MxffDxM使都无界思考：用上述方法表述函数‘有上(下)界’‘无上(下)界’。例3在其定义域上无界。证明：xtany证,0M因为,(tan)D)1Marctan(x0取)]1M(tan[arctan)x(f0有M)Mtan(arctan在其定义域上无界。所以xtany2．函数的单调性:(Monotonicity),,2121时当及上任意两点如果对于区间xxxxI;)(上是单调增加的在区间则称函数Ixf),()()1(21xfxf恒有)(xfy)(1xf)(2xfxyoI(Monotoneincreasing)(),,fxDID设函数的定义域为区间)(xfy)(1xf)(2xfxyoI;)(上是单调减少的在区间则称函数Ixf(),,fxDID设函数的定义域为区间,,2121时当及上任意两点如果对于区间xxxxI),()()2(21xfxf恒有(Monotonedecreasing)3．函数的奇偶性:偶函数有对于关于原点对称设,,DxD)()(xfxfyx)(xf)(xfyox-x)(xf;)(为偶函数称xf(EvenFunction)有对于关于原点对称设,,DxD)()(xfxf;)(为奇函数称xf奇函数)(xfyx)(xfox-x)(xfy(OddFunction)4．函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期(Period)）.,)(Dxf的定义域为设函数l如果存在一个不为零的数.)()(恒成立且xflxf为周则称)(xf,().xDxlD使得对于任一.)(,的周期称为期函数xfl2l2l23l23l四、反函数(InverseFunctions)0x0y0x0yxyDW)(xfy函数oxyDW)(yx反函数o)(xfy直接函数xyo),(abQ),(baP)(xy反函数直接函数与反函数的图形关于直线对称.xy例4解,01)(QxQxxD设.))(().21(),57(的性质并讨论求xDDDD,1)57(D,0)21(D,1))((xDDoxy1单值函数,有界函数,偶函数,周期函数(无最小正周期)不是单调函数,（Dirichlet)例5处处有限却处处局部无界的函数0)(nxf为无理数xnmx,.mnnNmZ其中与互素，00().fxxx在任意实数处有限，而它在的附近是无界的全体的分母有界，从而也有界，nnmm则在内只有有限个有理点，),(00xx但这是不可能的。矛盾。事实上，假若在点的邻域0)(xxf),(00xx内有界，则在此邻域内的五、小结基本概念集合,区间,邻域,常量与变量,绝对值.函数的概念函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性.反函数思考题设0x，函数值21)1(xxxf，求函数)0()(xxfy的解析表达式.思考题解答设ux1则2111uuuf,112uu故)0(.11)(2xxxxf作业习题1.16(2),11(1,3),13,14(2),17.