江苏省徐州市中考数学总复习第四单元三角形第23课时锐角三角函数课件

如图23-1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=c,BC=a,AC=b,则sinA=∠𝐴的对边斜边=①,cosA=∠𝐴的邻边斜边=②,tanA=∠𝐴的对边∠𝐴的邻边=③.它们分别是∠A的正弦、余弦和正切,统称为∠A的锐角三角函数.正弦:0sinA1,随角度增大而增大;余弦:0cosA1,随角度增大而减小;正切:tanA0,随角度增大而增大.课前双基巩固考点聚焦考点一锐角三角函数的定义𝒂𝒄𝒃𝒄𝒂𝒃图23-1αsinαcosαtanα30°①323345°22②160°3212③课前双基巩固考点二特殊角的三角函数值𝟏𝟐𝒃𝒄𝒂𝒃解直角三角形的定义在直角三角形中,除直角外,共有5个元素,即3条边和2个锐角.由这些元素中的一些已知元素,求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形解直角三角形的常用关系在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=c,BC=a,AC=b,则(1)三边关系:a2+b2=①;(2)两锐角关系:∠A+∠B=②°;(3)边与角的关系:sinA=cosB=③,cosA=sinB=④,tanA=⑤;(4)sin2A+cos2A=1;(5)tanA=sin𝐴cos𝐴;(6)tanA·tanB=1课前双基巩固考点三解直角三角形c290𝒂𝒄𝒃𝒄𝒂𝒃1.[九下P106习题第1(1)题改编]sin30°的值等于()A.12B.33C.32D.32.[九下P103习题第1②题改编]如图23-2,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,那么cosA的值等于()图23-2A.34B.43C.35D.45课前双基巩固对点演练题组一必会题AD3.[九下P106习题第2(1)题改编]已知2cosθ=1,则θ=°.4.[九下P104习题第5题改编]在Rt△ABC中,∠C=90°,cosA=35,则sinA=.课前双基巩固𝟒𝟓605.[九下P110例3改编]如图23-3,在△ABC中,AC=8,∠B=45°,∠A=30°,那么AB=.图23-3课前双基巩固[答案]43+4[解析]因为△ABC不是直角三角形,因此要设法构造直角三角形.过点C作CD⊥AB,垂足为D.在Rt△ADC中,AD=AC·cos30°=8×32=43,CD=AC·sin30°=8×12=4.在Rt△BCD中,∵∠B=45°,∴BD=CD=4.∴AB=AD+DB=43+4.【失分点】对特殊锐角三角函数值的记忆模糊;计算三角函数值时忽略垂直的条件,直接在三角形中计算;对互余两角的锐角三角函数的关系理解错误.6.[2018·黄冈]下列运算结果正确的是()A.3a3·2a2=6a6B.(-2a)2=-4a2C.tan45°=22D.cos30°=32课前双基巩固题组二易错题D7.[2018·日照]如图23-4,边长为1的小正方形构成的网格中,半径为1的☉O的圆心O在格点上,则∠BED的正切值等于()图23-4A.255B.55C.2D.128.[2018·滨州]在△ABC中,∠C=90°,若tanA=12,则sinB=.课前双基巩固D𝟐𝟓𝟓高频考向探究探究一求三角函数值【命题角度】(1)已知直角三角形的边长,直接求锐角三角函数值;(2)在网格或坐标系中根据锐角三角函数求值.例1[2017·滨州]如图23-5,在△ABC中,AC⊥BC,∠ABC=30°,点D是CB延长线上的一点,且BD=BA,则tan∠DAC的值为()A.2+3B.23C.3+3D.33图23-5[答案]A[解析]设AC=x,∵AC⊥BC,∠ABC=30°,∴AB=2AC=2x,BC=𝐴𝐶tan∠𝐴𝐵𝐶=𝑥tan30°=𝑥33=3x.∵BD=BA,∴BD=2x.∴DC=BD+BC=(2+3)x.∴tan∠DAC=𝐷𝐶𝐴𝐶=(2+3)𝑥𝑥=2+3.高频考向探究1.[2018·无锡]如图23-6,已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点,正方形EFGH的顶点G,H都在边AD上,若AB=3,BC=4,则tan∠AFE的值()图23-6A.等于37B.等于33C.等于34D.随点E位置的变化而变化拓考向[答案]A[解析]∵E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点,AB=3,BC=4,∴𝐸𝐻𝐴𝐻=tan∠EAH=tan∠ACB=𝐴𝐵𝐵𝐶=34,∴AH=43EH.∵正方形EFGH的顶点G,H都在边AD上,∴FG=EH=HG,EF∥HG,∴∠AFE=∠GAF,∴tan∠AFE=tan∠GAF=𝐹𝐺𝐴𝐺=𝐸𝐻𝐴𝐻+𝐸𝐻=𝐸𝐻43𝐸𝐻+𝐸𝐻=𝐸𝐻73𝐸𝐻=37.高频考向探究2.如图23-7,已知△ABC的三个顶点均在格点上,则cosA的值为()图23-7A.33B.55C.233D.255[答案]D[解析]过B点作BD⊥AC,如图,由勾股定理得,AB=12+32=10,AD=22+22=22,cosA=𝐴𝐷𝐴𝐵=2210=255.高频考向探究3.如图23-8,点A(3,t)在第一象限,OA与x轴所夹的锐角为α,tanα=32,则t的值是.图23-8[答案]92[解析]过点A作AB⊥x轴于B,∵点A(3,t)在第一象限,∴AB=t,OB=3.又∵tanα=𝐴𝐵𝑂𝐵=𝑡3=32,∴t=92.例2数学拓展课程《玩转学具》课堂中,小陆同学发现:一副三角板中,含45°角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边相等,于是,小陆同学提出一个问题:如图23-9,将一副三角板直角顶点重合拼放在一起,点B,C,E在同一直线上,若BC=2,求AF的长.请你运用所学的数学知识解决这个问题.图23-9高频考向探究探究二特殊锐角的三角函数值的应用解:∵在Rt△ABC中,BC=2,∠A=30°,∴AC=𝐵𝐶tan𝐴=23,则EF=AC=23.∵∠E=45°,∴FC=EF·sinE=6,∴AF=AC-FC=23-6.1.[2017·聊城]在Rt△ABC中,cosA=12,那么sinA的值是()A.22B.32C.33D.12高频考向探究[答案]B[解析]cosA=𝐴𝐶𝐴𝐵=12,设AC=k,AB=2k,则根据勾股定理,得BC=3k,sinA=𝐵𝐶𝐴𝐵=32=32.拓考向2.[2017·随州]如图23-10,∠AOB的边OB与x轴正半轴重合,3.点P是OA上的一动点,点N(3,0)是OB上的一定点,点M是ON的中点,∠AOB=30°,要使PM+PN最小,则点P的坐标为.图23-10高频考向探究[答案]（32,32）[解析]作点N关于OA的对称点N',连接MN'交OA于点P,则点P为所求.显然ON=ON',∠NON'=2∠AOB=2×30°=60°,∴△ONN'为等边三角形,MN'⊥ON,∵OM=32,则PM=OM·tan30°=32×33=32,∴点P的坐标为（32,32）.例3如图23-11,在四边形ABCD中,∠A=∠C=45°,∠ADB=∠ABC=105°.(1)若AD=2,求AB;(2)若AB+CD=23+2,求AB.图23-11高频考向探究探究三解直角三角形解:(1)过点D作DE⊥AB于点E,在Rt△ADE中,∵∠A=45°,∴DE=AD·sin45°=2,AE=AD·cos45°=2.在Rt△BDE中,∠BDE=∠ADB-∠ADE=60°,∴BE=DE·tan60°=6.∴AB=2+6.例3如图23-11,在四边形ABCD中,∠A=∠C=45°,∠ADB=∠ABC=105°.(2)若AB+CD=23+2,求AB.图23-11高频考向探究解:(2)过点D作DE⊥AB于点E,过点B作BF⊥CD于点F,设DE为x.则AE=DE·tan45°=x,BE=DE·tan60°=3x,BD=𝐷𝐸sin∠𝐴𝐵𝐷=2x.∵∠C=45°,BF⊥CD,∴∠FBC=45°,∴∠DBF=∠ABC-∠ABD-∠CBF=30°,∴DF=BD·sin30°=x,BF=BD·cos30°=3x,∴CF=BF=3x,∴CD=3x+x.∴AB+CD=(23+2)x=23+2.∴x=1.∴AB=3+1.1.[2017·徐州25题]如图23-12,已知AC⊥BC,垂足为C,AC=4,BC=33,将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°,得到线段AD,连接DC,DB.(1)线段DC=;(2)求线段DB的长度.图23-12高频考向探究明考向解:(1)4(2)∵AC=AD,∠CAD=60°,∴△CAD是等边三角形,∴CD=AC=4,∠ACD=60°,过点D作DE⊥BC于E.∵AC⊥BC,∠ACD=60°,∴∠BCD=30°.在Rt△CDE中,CD=4,∠BCD=30°,∴DE=12CD=2,CE=23,∴BE=3,在Rt△DEB中,由勾股定理得DB=7.2.[2018·镇江]如图23-13,△ABC中,∠BAC90°,BC=5,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°,点B的对应点B'落在BA的延长线上,若sin∠B'AC=910,则AC=.图23-13高频考向探究拓考向[答案]2592[解析]如图,因为将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°得到△A'B'C,所以∠BCB'=90°,B'C=BC=5,所以∠BB'C=45°.过点C作CD⊥BB'于点D,则△CDB'是等腰直角三角形,所以CD=𝐵'𝐶2=52=522.在Rt△ACD中,因为sin∠B'AC=𝐶𝐷𝐴𝐶=910,即522𝐴𝐶=910,解得AC=2592.3.一副直角三角尺如图23-14放置,点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD的长.图23-14高频考向探究解:过点B作BM⊥FD于点M.在△ACB中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=10,∴∠ABC=30°,BC=AC·tan60°=103.∵AB∥CF,∴∠BCM=∠ABC=30°.在Rt△BCM中,BM=BC·sin30°=53,CM=BC·cos30°=15.在△EFD中,∠F=90°,∠E=45°,∴∠EDF=45°.∴MD=BM=53.∴CD=CM-MD=15-53.