2013届高考一轮复习(理数,浙江)-第20讲 简单的三角恒等变换

能运用同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差的三角公式进行简单的三角恒等变换．12——三角函数式化简的一般要求：三角函数种数尽量少；项数尽量少；次数尽量低；尽量使分母不含三角函数式；尽量使被开方数不含三角函数式；能求出的值应尽量求出值．依据三角函数式的结构特点，常采用的变换方法：异角化同角；异名化同名；异次化同次；高次三角化简．求值．降次．常见的有给变换的基本题型化简、求值和证明角求值，给值求值，给值求角．()3①给角求值的关键是正确地分析角已知角与未知角之间的关系，准确地选用公式，注意转化为特殊值．②给值求值的关键是分析已知式与待求式之间角、名称、结构的差异，有目的地将已知式、待求式的一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求待求式的值．③给值求角的关键是求出该角的某一三角函数值，讨论角的范围，求出该角．它包括无条件的恒等式和附加条件恒等式的证明．常用方法：从左推到右；从右推到左证明．；左右互推．1.若sinθ2＝45，cosθ2＝35，则θ是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【解析】因为sinθ＝2sinθ2cosθ2＝24250，cosθ＝cos2θ2－sin2θ2＝－7250，所以θ在第二象限．2.A，B，C是△ABC的三个内角，且tanA，tanB是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是()A．钝角三角形B．锐角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【解析】tanA＋tanB＝53，①tanAtanB＝13，②所以tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanAtanB＝531－13＝52，所以tanC＝－tan(A＋B)＝－52，所以C为钝角，所以△ABC为钝角三角形．3.在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6,3cosA＋4sinB＝1，则∠C的大小为()A.π6B.5π6C.π6或5π6D.π3或2π3【解析】由已知，9sin2A＋16cos2B＋24sinAcosB＝36，①9cos2A＋16sin2B＋24sinBcosA＝1，②①＋②，得25＋24sin(A＋B)＝37，所以sin(A＋B)＝12，所以sinC＝12，C＝π6或5π6.4.求值：3tan20°tan40°＋tan20°＋tan40°＝3.【解析】原式＝3tan20°tan40°＋tan60°(1－tan20°tan40°)＝3.5.若1＋tanα1－tanα＝2013，则1cos2α＋tan2α＝2013.【解析】1cos2α＋tan2α＝1＋sin2αcos2α＝sinα＋cosα2cosα＋sinαcosα－sinα＝cosα＋sinαcosα－sinα＝1＋tanα1－tanα＝2013.一恒等变换下的化简求值【例1】已知sinx2－2cosx2＝0，求cos2x2cosπ4＋x·sinx的值．【解析】由sinx2－2cosx2＝0，得tanx2＝2，所以tanx＝2tanx21－tan2x2＝－43，所以cos2x2cosπ4＋x·sinx＝cos2x－sin2xcosx－sinxsinx＝cosx＋sinxsinx＝1＋tanxtanx＝1－43－43＝14.【点评】对于附加条件求值问题，要先看条件可不可以变形或化简，然后看所求式子能否化简，再看它们之间的相互联系，通过分析找到已知与所求的纽带．化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12cos2αcos2β的值为12.素材1【解析】原式＝1－cos2α2·1－cos2β2＋1＋cos2α2·1＋cos2β2－12cos2α·cos2β＝14(1＋cos2α·cos2β－cos2α－cos2β)＋14(1＋cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β)－12cos2αcos2β＝12.【点评】本题从“幂”入手，借助倍角公式的变形公式，即降幂公式先降幂再进行其他化简，这种化高次为低次是三角变换的常用方法．二恒等变换下的拆角求值【例2】(1)已知tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，求tan(π4＋α)的值；(2)sin7°＋cos15°·sin8°cos7°－sin15°sin8°＝__________.【解析】(1)因为π4＋α＝(α＋β)－(β－π4)，所以tan(π4＋α)＝tan[(α＋β)－(β－π4)]＝tanα＋β－tanβ－π41＋tanα＋β·tanβ－π4＝25－141＋25×14＝322.(2)原式＝sin15°－8°＋cos15°sin8°cos15°－8°－sin15°sin8°＝sin15°·cos8°cos8°cos15°＝tan15°＝1－cos30°sin30°＝2－3.【点评】进行三角变换的技巧是变角，即注意角的和、差、倍、半、互余、互补关系根据实际情况对角进行“拆”或“添”变形，这样可大大减少运算量．基本的解题规律为：观察差异(或角、或函数、或运算)，寻找联系(借助熟知的公式、方法或技巧)，综合分析，实现转化．素材2若cos(π4＋x)＝35，17π12x7π4，求sin2x＋2sin2x1－tanx的值．【解析】原式＝2sinxcosx1＋tanx1－tanx＝sin2x·tan(π4＋x)．而sin2x＝sin[2(π4＋x)－π2]＝－cos2(π4＋x)＝－[2cos2(π4＋x)－1]＝725.因为17π12x7π4，则5π3x＋π42π，故sin(π4＋x)＝－45，tan(π4＋x)＝sinπ4＋xcosπ4＋x＝－43，故原式＝725×(－43)＝－2875.三恒等变换下的三角证明【例3】证明：2－2sinα＋3π4cosα＋π4cos4α－sin4α＝1＋tanα1－tanα.【证明】左边＝2－2cos2α＋π4cos2α－sin2α＝2sin2α＋π4cos2α－sin2α＝1－cos2α＋π2cos2α－sin2α＝1＋sin2αcos2α－sin2α＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosαcos2α－sin2α＝cosα＋sinα2cosα－sinαcosα＋sinα＝cosα＋sinαcosα－sinα＝1＋tanα1－tanα＝右边．故等式成立．【点评】观察左右两边式子间的差异，选择“从左证到右”，利用凑角、降幂“1”的巧妙代换，将异角化为同角，高次化为低次，最后弦化切，统一三角名称．求证：sin2α＋βsinα－2cos(α＋β)＝sinβsinα.素材3【证明】左边＝sin[α＋β＋α]sinα－2cosα＋βsinαsinα＝sinα＋βcosα＋cosα＋βsinα－2cosα＋βsinαsinα＝sinα＋βcosα－cosα＋βsinαsinα＝sinα＋β－αsinα＝sinβsinα＝右边．故等式成立．备选例题等比数列{an}中，a2＝sinα＋cosα，a3＝1＋sin2α，其中π2＜α＜π.求：(1)2sin2α－12cos4α＋32是数列{an}的第几项？(2)若tan(π－α)＝43，求数列{an}的前n项和Sn.【解析】设数列{an}的公比为q，则q＝a3a2＝1＋sin2αsinα＋cosα＝sinα＋cosα2sinα＋cosα＝sinα＋cosα，所以a1＝a2q＝1.所以an＝(sinα＋cosα)n－1(n∈N*)．(1)2sin2α－12cos4α＋32＝12×(4sin2α－cos4α＋3)＝12[4sin2α－(1－2sin22α)＋3]＝12(2sin22α＋4sin2α＋2)＝(1＋sin2α)2＝(sinα＋cosα)4＝a5，所以2sin2α－12cos4α＋32是数列{an}中的第5项．(2)由tan(π－α)＝43，得tanα＝－43，又π2＜α＜π，所以sinα＝45，cosα＝－35，所以q＝sinα＋cosα＝15，所以an＝(15)n－1，故Sn＝1－15n1－15＝54－14×(15)n－1.123三角恒等变形的实质是对角、函数名称及运算结构的转化，而转化的依据就是一系列的三角公式，因此对三角公式在实现这种转化中的应用应有足够的了解：同角三角函数关系——可实现函数名称的转化．诱导公式及和、差、倍角的三角函数——可以实现角的形式的转化．倍角公式及其变形公式——可实现三角函数的升幂或降幂的转化，同时也可完成角的转化．