高中数学函数的经典题型

函数定义域的类型和求法录入：李俊杰1一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。例1求函数831522xxxy的定义域。解：要使函数有意义，则必须满足08301522xxx二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求；另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。（1）已知)(xf的定义域，求)(xgf的定义域。其解法是：已知)(xf的定义域是],[ba求)(xgf的定义域是解bxga)(，即为所求的定义域。例3已知)(xf的定义域为]2,2[，求)1(2xf的定义域。（2）已知)(xgf的定义域，求)(xf的定义域。其解法是：已知)(xgf的定义域是],[ba求)(xf的定义域的方法是：bxa，求)(xg的值域，即所求)(xf的定义域。例4已知)12(xf的定义域为]2,1[，求)(xf的定义域。解：因为21x，422x，5123x。即函数)(xf的定义域是53|xx。三、逆向型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。例5已知函数862mmxmxy的定义域为R求实数m的取值范围。分析：函数的定义域为R，表明0862mmxmx，使一切Rx都成立，由2x项的系数是m，所以应分0m或0m进行讨论。解：当0m时，函数的定义域为R；当0m时，0862mmxmx是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件是0)8(4)6(02mmmm10m综上可知10m。函数定义域的类型和求法录入：李俊杰2评注：不少学生容易忽略0m的情况，希望通过此例解决问题。例6已知函数347)(2kxkxkxxf的定义域是R，求实数k的取值范围。解：要使函数有意义，则必须0342kxkx恒成立，因为)(xf的定义域为R，即0342kxkx无实数解①当0k时，034162kk恒成立，解得430k；②当0k时，方程左边03恒成立。综上k的取值范围是430k。四、实际问题型这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识。例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函数的定义域。解：设矩形一边为x，则另一边长为)2(21xa于是可得矩形面积。axxxaxxaxy2121)2(2122。由问题的实际意义，知函数的定义域应满足0)2(210xax020xax20ax。故所求函数的解析式为axxy212，定义域为)2,0(a。五、参数型对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。例9已知)(xf的定义域为]1,0[，求函数)()()(axfaxfxF的定义域。解：因为的定义域为]1,0[，即10x。故函数)(xF的定义域为下列不等式组的解集：1010axax，即axaaxa11即两个区间aa1,与aa1,的交集，比较两个区间左、右端点，知（1）当021a时，)(xF的定义域为axax1|；（2）当210a时，)(xF的定义域为axax1|；（3）当21a或21a时，上述两区间的交集为空集，此时)(xF不能构成函数。