2015高考数学(理)一轮复习考点突破课件：10.7正态分布

第7课时正态分布(理科)•(一)考纲点击•利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．•(二)命题趋势•1．从考查内容看，高考侧重于对正态分布密度曲线的特点及正态分布的意义的考查．•2．从考查形式看，多以选择题、填空题为主，难度较低．1．正态曲线及性质(1)正态曲线的定义函数φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象(如图)为正态分布密度曲线，简称正态曲线．•对点演练•设有一正态总体，它的正态曲线是函数φ(x)的图象，且•，则这个正态总体的平均数与标准差分别是()•A．10与8B．10与2•C．8与10D．2与10•答案：B(2)正态曲线的性质：①曲线位于x轴，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线对称；③曲线在处达到峰值1σ2π；④曲线与x轴之间的面积为；⑤当σ一定时，曲线随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示；上方x＝μx＝μ1μ•⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．越小越大•对点演练•(1)设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(X＞c＋1)＝•P(X＜c－1)，则c等于()•A．1B．2•C．3D．4解析：∵μ＝2，由正态分布的定义知其函数图象关于x＝2对称，于是c＋1＋c－12＝2，∴c＝2.答案：B•(2)(2014·揭阳期末模拟)已知随机变量X服从正态分布•N(2，σ2)，P(X≤4)＝0.84，则P(X≤0)等于()•A．0.16B．0.32•C．0.68D．0.84•解析：由正态分布的性质，•P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X≤4)＝1－0.84＝0.16.故选A.•答案：A(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2)．2．正态分布•(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值•①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝；•②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝；•③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝.0.68260.95440.9974•对点演练•已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，则P(X＞4)＝•()•A．0.1588B．0.1587•C．0.1586D．0.1585•答案：B1．正态曲线的对称性正态曲线的函数φμ，σ(x)＝12πσe.很显然，当μ＝0时，φμ，σ(x)＝12πσe是偶函数，关于y轴对称；当μ≠0时，对称轴为x＝μ，所以正态曲线是一个轴对称图形，很多关于正态分布的概率问题，都是根据其对称性求解．•2．3σ原则•通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称为3σ原则．•正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．•题型一正态曲线及其性质•如图是一个正态曲线．•试根据该图象写出其正态曲线函数解析式，求出总体随机变量的期望和方差．【解】从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是12π，所以μ＝20，12π·σ＝12π，解得σ＝2.于是正态曲线函数解析式是：f(x)＝12πe，x∈(－∞，＋∞)．总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2.•【归纳提升】要确定一个正态曲线函数解析式，关键是求解析式中两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．针对训练1．设三个正态分布N1(μ1，σ21)(σ1＞0)、N2(μ2，σ22)(σ2＞0)、N3(μ3，σ23)(σ3＞0)的密度函数图象如图所示，则μ1、μ2、μ3按从小到大的顺序排列是________；σ1、σ2、σ3按从小到大的顺序排列是________．•解析：μ反映的是正态分布的平均水平，直线x＝μ是正态曲线的对称轴，由题图可知μ2＜μ1＜μ3；σ反映的是正态分布的离散程度，σ越小，曲线越“瘦高”，总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，总体的分布越分散，由题图可知σ1＜σ3＜σ2.•答案：μ2＜μ1＜μ3σ1＜σ3＜σ2•题型二正态分布的概率计算•(2014·山东济南三模)随机变量ξ服从正态分布N(40，σ2)，若P(ξ＜30)＝0.2，则P(30＜ξ＜50)＝________.【解析】如图•∵ξ服从正态分布N(40，σ2)，•P(ξ＜30)＝0.2，•∴P(ξ＞50)＝0.2.•故P(30＜ξ＜50)＝1－2×0.2＝0.6.•【答案】0.6•【归纳提升】关于正态总体在某个区间内取值的概率的求法•(1)熟记P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，•P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值．•(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.•①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相同．•②P(X＜a)＝1－P(X≥a)，P(X≤μ－a)＝P(X≥μ＋a)．针对训练2．在正态分布N0，19中，数值落在(－∞，－1)∪(1，＋∞)内的概率为()A．0.097B．0.046C．0.03D．0.0026解析：∵μ＝0，σ＝13，∴P(x＜－1或x＞1)＝1－P(－1≤x≤1)＝1－P(μ－3σ≤x≤μ＋3σ)＝1－0.9974＝0.0026.答案：D•题型三正态分布的应用•设在一次数学考试中，某班学生的分数X服从N(110,202)，且知满分150分，这个班的学生共54人．求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上的人数．【解】因为X～N(110,202)，所以μ＝110，σ＝20.P(110－20＜X≤110＋20)＝0.6826.所以X＞130的概率为12(1－0.6826)＝0.1587.所以，X＞90的概率为0.6826＋0.1587＝0.8413.所以及格的人数为54×0.8413≈45(人)，130分以上的人数为54×0.1587≈9(人)．•【归纳提升】解决此类问题，首先要确定μ与σ的值，然后把所求问题转化到已知概率的区间上来，在求概率时，要充分利用正态曲线的对称性及面积为1这一性质．•针对训练•3．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N(100,100)，已知满分为150分．•(1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120]内的概率；•(2)若这次考试共有2000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数．•解：(1)由ξ～N(100,100)知μ＝100，σ＝10.•∴P(80＜ξ≤120)＝P(100－20＜ξ≤100＋20)＝0.9544，•即考试成绩位于区间(80,120]内的概率为0.9544.(2)P(90＜ξ≤110)＝P(100－10＜ξ≤100＋10)＝0.6826，∴P(ξ＞110)＝12(1－0.6826)＝0.1587，∴P(ξ≥90)＝0.6826＋0.1587＝0.8413.∴及格人数为2000×0.8413≈1683(人)．•创新体验：正态分布的创新问题•【典例】(2013·湖北)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.•(1)求p0的值；•(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝0.9974)•(2)某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？【规范解答】(1)由于随机变量X服从正态分布N(800,502)，故有μ＝800，σ＝50，P(700＜X≤900)＝0.9544.由正态分布的对称性，可得P0＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(800＜X≤900)＝12＋12P(700＜X≤900)＝0.9772.•(2)设A型、B型车辆的数量分别为x，y，则相应的营运成本为1600x＋2400y.依题意，x，y还需满足x＋y≤21，y≤x＋7，P(X≤36x≤60y)≥p0.•由(1)知，p0＝P(X≤900)，故P(X≤36x＋60y)≥p0等价于36x＋60y≥900.•于是问题等价于求满足约束条件x＋y≤21，y≤x＋7，36x＋60y≥900，x，y≥0，x，y∈N，且使目标函数z＝1600x＋2400y达到最小的x，y.作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12)，Q(7,14)，R(15,6)．由图可知，当直线z＝1600x＋2400y经过可行域的点P时，直线z＝1600x＋2400y在y轴上截距z2400最小，即z取得最小值．故应配备A型车5辆、B型车12辆．•【思考点评】知识：本题主要考查正态分布的基础知识以及利用线性规划解决实际应用问题等知识．能力：本题将正态分布与线性规划问题融合为一体，综合考查了分析问题与解决问题的能力、作图能力、数形结合能力、运算求解能力等．立意新颖，是一个很好的创新型试题．