2014高考数学一轮复习课件3.2同角三角函数的基本关系

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：______________________．sin2α＋cos2α＝1(2)商数关系：________________________________．tanα＝sinαcosα(α≠π2＋kπ，k∈Z)2．六组诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α正弦sinα________________________________余弦cosα__________________________________正切tanα____________________口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限－sinα－sinαsinαcosαcosα－cosαcosα－cosαsinα－sinαtanα－tanα－tanαπ2－απ2＋α1．有人说sin(kπ－α)＝sin(π－α)＝sinα(k∈Z)，你认为正确吗？【提示】不正确．当k＝2n(n∈Z)时，sin(kπ－α)＝sin(2nπ－α)＝－sinα；当k＝2n＋1(n∈Z)时，sin(kπ－α)＝sin(2nπ＋π－α)＝sin(π－α)＝sinα.2．sin(－π－α)如何使用诱导公式变形？【提示】sin(－π－α)＝－sin(π＋α)＝sinα.1．(人教A版教材习题改编)已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sinα＝()A．－1213B.1213C.512D．±1213【解析】∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cosα＝－513，∴cosα＝513，又α是第四象限角，∴sinα＜0，则sinα＝－1－cos2α＝－1213.【答案】A2．sin585°的值为()A．－22B.22C．－32D.32【解析】sin585°＝sin(360°＋225°)＝sin225°＝sin(180°＋45°)＝－sin45°＝－22.【答案】A【答案】D3．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于()A．－π6B．－π3C.π6D.π3【解析】由sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)得－sinθ＝－3cosθ，∴tanθ＝3，又|θ|＜π2，∴θ＝π3.4．(2012·辽宁高考)已知sinα－cosα＝2，α∈(0，π)，则sin2α＝()A．－1B．－22C.22D．1【解析】因为sinα－cosα＝2，所以1－2sinαcosα＝2，即sin2α＝－1.【答案】A(1)已知α∈(π，3π2)，tanα＝2，则cosα＝________．(2)(2013·揭阳模拟)已知sinα＋3cosα3cosα－sinα＝5，则sin2α－sinαcosα的值是()A.25B．－25C．－2D．2【思路点拨】(1)切化弦，结合sin2α＋cos2α＝1求解；(2)先根据已知条件求得tanα，再将待求式变形为分子、分母关于“弦函数”的二次齐次求解．【尝试解答】(1)依题意tanα＝sinαcosα＝2，sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝15.又α∈(π，3π2)，因此cosα＝－55.(2)由sinα＋3cosα3cosα－sinα＝5，得tanα＋33－tanα＝5，解之得tanα＝2.所以sin2α－sinαcosα＝sin2α－sinαcosαsin2α＋cos2α＝tan2α－tanαtan2α＋1＝25.【答案】(1)－55(2)A1．利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sinαcosα＝tanα可以实现角α的弦切互化．2．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.(2012·大纲全国卷)已知α为第二象限角，sinα＝35，则sin2α＝()A．－2425B．－1225C.1225D.2425【解析】∵α为第二象限角且sinα＝35，∴cosα＝－1－sin2α＝－45，∴sin2α＝2sinα·cosα＝2×35×(－45)＝－2425.【答案】Af(α)＝sin（α－π2）·cos（3π2＋α）·tan（π－α）tan（－α－π）·sin（－α－π），(1)化简f(α)；(2)若cos(α－3π2)＝15，且α是第三象限角，求f(α)的值．【思路点拨】(1)直接利用诱导公式化简约分．(2)利用α在第三象限及同角三角函数关系的变形式得f(α)．【尝试解答】(1)f(α)＝sin（α－π2）·cos（3π2＋α）·tan（π－α）tan（－α－π）·sin（－α－π）＝（－cosα）·sinα·（－tanα）（－tanα）·sinα＝－cosα.(2)∵cos(α－3π2)＝cos(32π－α)＝－sinα，∴－sinα＝15，即sinα＝－15.又α为第三象限角，∴cosα＝－1－sin2α＝－265，∴f(α)＝－cosα＝265.1．利用诱导公式应注意已知角或函数名称与所求角或函数名称之间存在的关系，选择恰当的公式，向所求角和三角函数进行化归．2．诱导公式的应用原则：负化正、大化小、小化锐、锐求值．(1)sin600°＋tan240°的值等于()A．－32B.32C.3－12D.3＋12(2)(2013·台州模拟)已知f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4(a，b，α，β为非零实数)，若f(2012)＝5，则f(2013)＝()A．3B．5C．1D．不能确定【解析】(1)sin600°＋tan240°＝sin(360°＋240°)＋tan(180°＋60°)＝sin(180°＋60°)＋tan60°＝－sin60°＋tan60°＝－32＋3＝32.(2)∵f(2012)＝asin(2012π＋α)＋bcos(2012π＋β)＋4＝asinα＋bcosβ＋4＝5，∴asinα＋bcosβ＝1，∴f(2013)＝asin(2013π＋α)＋bcos(2013π＋β)＋4＝－(asinα＋bcosβ)＋4＝－1＋4＝3.【答案】(1)B(2)A【思路点拨】(1)利用平方关系，设法沟通sinx－cosx与sinx＋cosx的关系；(2)先利用倍角公式、商数关系式化为角x的弦函数，再设法将所求式子用已知表示出来．(2013·揭阳模拟)已知－π＜x＜0，sinx＋cosx＝15.(1)求sinx－cosx的值；(2)求sin2x＋2sin2x1－tanx的值．【尝试解答】(1)由sinx＋cosx＝15，平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝125，整理得2sinxcosx＝－2425.∵(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝4925.由－π＜x＜0，知sinx＜0.又sinx＋cosx＞0，∴cosx＞0，sinx－cosx＜0，故sinx－cosx＝－75.(2)sin2x＋2sin2x1－tanx＝2sinx（cosx＋sinx）1－sinxcosx＝2sinxcosx（cosx＋sinx）cosx－sinx＝－2425×1575＝－24175.1．第(1)问应注意x的范围对sinx－cosx的符号的影响．事实上根据条件可进一步判定x∈(－π2，0)．2．对于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求，转化公式为(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，体现了方程思想的应用．已知－π2＜x＜0，sinx＋cosx＝15.(1)求sinx－cosx的值；(2)求tanx的值．【解】(1)由sinx＋cosx＝15，平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝125，即2sinxcosx＝－2425，∵(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝4925.又∵－π2＜x＜0，∴sinx＜0，cosx＞0，sinx－cosx＜0，故sinx－cosx＝－75.(2)由(1)得sinx－cosx＝－75，又sinx＋cosx＝15，得sinx＝－35，cosx＝45，∴tanx＝sinxcosx＝－34.诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．1.利用诱导公式进行化简求值时，要注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要注意判断三角函数值的符号．(1)弦切互化法：主要利用公式tanα＝sinαcosα进行弦、切互化．(2)和积转换法：利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝tanπ4等．从近两年高考试题看，同角三角函数关系与诱导公式的考查以化简、求值为主，题型为选择、填空题的形式，试题不超过中等难度；并注重与倍角、两角和、两角差等公式渗透，考查基本运算和转化思想，求解时常见错误是忽视三角函数值符号的判断．易错辨析之七忽视三角函数值符号的判断致误(2012·大纲全国卷)已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝33，则cos2α＝()A．－53B．－59C.59D.53【错解】∵sinα＋cosα＝33，∴(sinα＋cosα)2＝13，∴2sinαcosα＝－23，【答案】D即sin2α＝－23.又∵α为第二象限角，∴2kπ＋π2＜α＜2kπ＋π(k∈Z)．∴4kπ＋π＜2α＜4kπ＋2π(k∈Z)．∴cos2α＝1－sin22α＝53.错因分析：(1)忽视隐含条件sinα＋cosα＝33＞0这一隐含条件．(2)忽视三角函数值符号的判断．防范措施：(1)由sinα＋cosα＝33，隐含着sinα＋cosα＞0，即sinα＞－cosα，结合α为第二象限角可进一步约束角α的范围．(2)利用平方关系求三角函数值，开方时应注意三角函数值符号的判断．【正解】∵sinα＋cosα＝33，∴(sinα＋cosα)2＝13，∴2sinαcosα＝－23，即sin2α＝－23.又∵α为第二象限角且sinα＋cosα＝330，∴2kπ＋π2α2kπ＋34π(k∈Z)，【答案】A∴4kπ＋π2α4kπ＋32π(k∈Z)，∴2α为第三象限角，∴cos2α＝－1－sin22α＝－53.1．(2013·潍坊模拟)已知sin(3π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sinαcosα等于()A．－25B.25C.25或－25D．－15【解析】∵sin(3π－α)＝－2sin(π2＋α)得sinα＝－2cosα，即tanα＝－2，∴sinαcosα＝sinαcosαsin2α＋cos2α＝tanαtan2α＋1＝－25.【答案】A【答案】C2．(2013·湛江调研)若sin(π6－α)＝13，则cos(π3＋α)等于()A．－79B．－13C.13D.79【解析】cos(π3＋α)＝cos[π2－(π6－α)]＝sin(π6－α)＝13.课后作业（十九）