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当前位置:首页 > 商业/管理/HR > 薪酬管理 > 2016版新课标高考数学题型全归纳文科PPT.第五章 平面向量 第1节
✎考纲解读1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念及两个向量相等的含义及向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义,掌握向量数乘的运算及其意义,理解两个向量共线的含义;3.了解平面向量的基本定理及其意义,掌握平面向量的正交分解及其坐标表示,会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算,理解用坐标表示平面向量共线的条件.✎知识点精讲一、向量的基本概念1.向量定义既有大小又有方向的量叫向量,一般用来表示,或用有向线段的起点与终点的大写字母表示,如(其中为起点,为终点).2.向量的大小(模)向量的大小,也就是向量的长度,记作或.3.零向量、单位向量、相等向量、平行(共线)向量零向量:长度为零的向量,记为,其方向是任意的.单位向量:模(长度)为个单位的向量.当时,显然向量是与向量共线(平行)的单位向量.a,b,cABABaAB010aaaa相等向量:长度相等且方向相同的向量,相等向量经过平移后总可以重合,记为.平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.平行向量也叫共线向量,因为任何平行向量经过平移后,总可以移到一条直线上.规定零向量与任何向量平行(共线)即.二、向量的线性运算1.向量的加法求两个向量和的运算叫做向量的加法.已知向量,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和(或和向量),即.向量加法的几何意义:向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则.如图5-1所示,向量.aba0a∥,abAABaBCbACabABBCACab=ACab图5-12.向量的减法(1)相反向量与长度相等,方向相反的向量,叫做的相反向量,记作.①规定:零向量的相反向量仍是零向量;②;③,即互为相反向量的和是零向量,④若,互为相反向量,则,,.aaa()aa()0aaababba0ab=(2)向量的减法向量与的相反向量之和,叫做向量与的差,即.向量减法的几何意义:向量的减法符合三角形法则.如图5-3所示,,,则向量.3.向量的数乘图5-3(1)实数与向量的积是一个向量,记为,其长度与方向规定如下:①;②当时,与的方向相同;当时,与的方向相反;当时,;当时,.(2)向量数乘运算的运算律.设为实数,则;;ababababOAaOBbBAabaaaa0aa0aa00a0a0a,aaaaaabab.三、重要定理和性质1.共线向量基本定理如果,则;反之,如果,则一定存在唯一的实数,使.(口诀:数乘即得平行,平行必有数乘).2.平面向量基本定理如果和是同一平面内的两个非零不共线向量,那么对于平面内的任一向量,都存在唯一的一对实数,,使得,我们把不共线向量,叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,记为.叫做向量关于基底的分解式.3.线段定比分点的向量表达式如图5-4所示,在中,若点是边上的点,且则向量.在向量线性表示(运算)Rab∥ab∥ab∥0bab1e2ea121122aee1e2e12,ee1122eea12,eeABC△DBC1,BDDC1ABACAD有关的问题中,若能熟练利用此结论,往往能有“化腐朽为神奇”之功效,应熟练掌握.4.三点共线定理图5-4平面内三点,,共线的充要条件是:存在实数,,使,其中,为平面内任一点.此定理在向量问题中经常用到,应熟练掌握.,,三点共线存在唯一的实数,使得;存在唯一的实数,使得;存在唯一的实数,使得;存在,使得.ABCOCOAOB1OABCACABOCOAAB1OCOAOB1OCOAOB5.中线向量定理如图5-5所示,在中,若点是边的中点,则中线向量.四、平面向量的坐标表示及坐标运算(1)平面向量的坐标表示.在平面直角坐标系中,分别取与轴,轴方向相同的两个单位向量,作为基底,那么由平面向量基本定理可知,对于平面内的一个向量,有且只有一对实数,使,我们把有序实数对叫做向量的坐标,记作.(2)向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的,即有向量向量点.(3)设,则,,即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.若,为实数,则,即实数与向量的积的坐标,等于用该实数乘原来向量的相应坐标.ABC△DBC12ADABACxyijaxyxyaij,xya,xya,xy一一对应OA一一对应,Axy11,xya22,xyb1212,xxyyab1212,xxyyab,xya,xya(4)设,,则即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.11,Axy22,Bxy2211,,ABOBOAxyxy五、向量的平行设的充要条件是.除了坐标表示外,下面两种表达也经常使用:①当时,可表示为;②当时,可表示为,即对应坐标成比例.∥ab12210xyxy12210xyxy0bab220xy1122xyxy✎题型归纳及思路提示题型64共线向量的基本概念【例5.1】(1)有向线段就是向量,向量就是有向线段;(2)向量与向量共线,则四点共线;(3)如果,,那么.以上命题中正确的个数是().A.1B.2C.3D.01122,,,xyxyab2121,xxyyABCD,,,ABCD∥ab∥bc∥ac【分析】联系向量的基本概念,注意特殊向量零向量,注意考查判断.【解析】(1)不正确,向量可以用有向线段表示,但向量不一定是有向线段;(2)不正确,共线向量所在的直线可以重合,也可以平行(3)不正确,当时,则与不一定共线.所以(1)(2)(3)均不正确.故选D.【评注】本题易忽视零向量这一特殊向量,认为(3)是正确的.0bac题型65平面向量的线性表示【例5.2】设是所在平面内的一点,,则().A.B.C.D.【解析】如图5-6所示,,故为的中点,因此.故选B.PABC△2BCBABPPAPB0PCPA0PBPC0PAPBPC02BCBABPPACPBPC0【例5.3】在△𝐴𝐵𝐶中,𝐴𝐵=𝒄,𝐴𝐶=𝒃,若点𝐷满足𝐵𝐷=2𝐷𝐶,则𝐴𝐷=().A.23𝒃+13𝒄B.53𝒄−23𝒃C.23𝒃−13𝒄D.13𝒃+23𝒄利用向量的加、减、数乘的线性运算表示.解法一:数形结合.如图所示,𝐴𝐷=𝐴𝐵+𝐵𝐷=𝐴𝐵+23𝐵𝐶故选A.【分析】【解析】=23𝒃+13𝒄.=𝒄+23𝒃−𝒄DCBAcb解法二:特殊化思想故选A.故𝐴𝐷=13,23=13𝐴𝐵+23𝐴𝐶=13𝒄+23𝒃.𝐵1,0,𝐶0,1,𝐷13,23,如图所示,把此三角形特殊化为等腰直角三角形,并把点𝐴置于原点𝑂,且𝐴𝐵=𝐴𝐶=1,则各点坐标为:D(13,23)yxB(1,0)O(A)C(0,1)题型66共线向量基本定理及应用【例5.5】平面向量,共线的充要条件是().A.,方向相同B.,两向量中至少有一个为零向量C.,D.存在不全为零的实数,,【解析】选项A中,时,与既可同向,又可反向,故A项不一定成立;选项B中,若,有一个为,一定有与共线,但是与共线时,与可能都不为,故B项不一定成立;选项C中,若,时,,但不存在使,故C项不一定成立;选项D中,①时,,②时,,故D项成立.故选D.ababRba12120ab∥ababab0ababab00a0b∥abRba0a11220∥abbaaab0a11000∥ababab【例5.5变式2】设𝒂,𝒃都是非零向量,下列四个条件中,使𝒂𝒂=𝒃𝒃成立的充分条件是().A.𝒂=−𝒃B.𝒂∕∕𝒃C.𝒂=𝟐𝒃D.𝒂∕∕𝒃且𝒂=𝒃【分析】利用向量的相等与共线知识解决.𝒂𝒂表示与𝒂同向的单位向量,𝒃𝒃表示与𝒃同向的单位向量,只要𝒂与𝒃同向,就有𝒂𝒂=𝒃𝒃.故选C.由选项C知,满足题意.【解析】【例5.8】如图所示,在△𝐴𝐵𝐶中,点𝑂是𝐵𝐶的中点,过点𝑂的直线分别交直线𝐴𝐵,𝐴𝐶于不同的两点𝑀和𝑁,若𝐴𝐵=𝑚𝐴𝑀,𝐴𝐶=𝑛𝐴𝑁,则𝑚+𝑛的值为_____.NMOCBA【解析】解法一:因为点𝑂是𝐵𝐶的中点,所以𝐴𝑂=12𝐴𝐵+𝐴𝐶,因为𝐴𝐵=𝑚𝐴𝑀,𝐴𝐶=𝑛𝐴𝑁,所以𝐴𝑂=12𝑚𝐴𝑀+𝑛𝐴𝑁.又𝑀,𝑂,𝑁三点共线,所以𝑚2+𝑛2=1,得𝑚+𝑛=2.解法二:特殊位置法.取𝑀点与𝐵点重合,𝑁点与𝐶点重合,此时𝑚=𝑛=1,得𝑚+𝑛=2.【例5.9】已知向量,不共线,实数满足,则的值等于.【解析】由平面向量基本定理可知,故.题型67平面向量基本定理及应用1e2e,xy1212342363xyxyeeee2xy34662333xyxxyy29xy【例5.10】如图5-17所示,在平行四边形中,,分别是,的中点,与交于点,设,,则等于().A.B.C.D.图5-17【分析】本题主要考查向量的线性表示,可以利用三点共线定理相关知识求解.【解析】因为,,三点共线,故,又因为与共线,则存在实数,使,所以ABCDEFBCCDDEAFHABaBCbAH2455ab2455ab2455ab2455abEHD1AHAEAD112abb112abAHAFR122AHAFbaab,故.解法二(特殊化思想):如图5-18所示,,,联立,得,.故选B.25241252455AHab+:2AFyx1:12DEyx2112yxyx2545xy24245555AHABADabyxF12,1OA()HE1,12B1,0()C1,1()D0,1()图5-18【例5.11】若是内一点,,则是的().A.外心B.内心C.垂心D.重心【解析】如图5-20所示,以为邻边作平行四边形.取的中点为,则,得,即,所以点为的三等分点,且.故为的重心.故选D.题型68向量与三角形的四心OABC△OAOBOC0OABC△,OBOCOBDCBCE2OBOCODOE2OAOE2AOOEOAE2AOOEOABC△题型69向量的坐标运算【例5.15】已知,且,试求点,和的坐标.【分析】由,,三点的坐标,求出,的坐标,进而求得的坐标的坐标及的坐标.【解析】因为,所以所以,,设,则,所以.同理可得,因此.所以,所求【评注】正确理解向量的坐标与向量起点,终点坐标的关系.2,4,3,1,3,4ABC3,2CMCACNCBMNMNABCCBCA,CMCN,MNMN2,4,3,1,3,4ABC1,8,6,3.CACB33,24CMCA212,6CNCB,Mxy3,43,24CMxy3300,2042420xxMyy9,2N9,18MN0,20,9,2,9,18.MNMN题型70向量平行(共线)充要条件的坐标表示【例5.17】已知向量𝑂𝐴=𝑘,12,𝑂𝐵=4,5,𝑂𝐶=−𝑘,10,且𝐴,𝐵,𝐶三点共线,则𝑘的值为().A.32B.23C.−23D.−32【分析】由于𝐴,𝐵,𝐶三点共线,所以𝐴𝐵与𝐴
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