福建省2013届新课标高考文科数学一轮总复习课件：第40讲 不等式的解法

1．熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法．2．掌握简单指数和对数不等式的解法．2()()12()0(0)1__________01__________(00)lglg.xfgxxfgxxfaxbaxbxcaaaaaaaababfxab骤标线结①讨论②讨论轴数转①②为数．整式不等式的解法：根法．指不步：正化，求根，根，穿偶重根打，定解．特例：一元一次不等式解的；一元二次不等式的解法：化代不等式等式解的．；；，loglog1loglog01.3aaaafxgxafxgxa对数④为数③转．不等式的解法：化代不等式；()0()0()()()0()0()()fxfxgxfxgxgxfxgxfxgxfxgx【要点指南】：①；②；③；④1.(2011·广东卷)不等式2x2－x－10的解集是()A．(－12，1)B．(1，＋∞)C．(－∞，1)∪(2，＋∞)D．(－∞，－12)∪(1，＋∞)【解析】2x2－x－10⇒(2x＋1)(x－1)0⇒x1或x－12，故选D.2.(2012·山东模拟)不等式x＋3x－20的解集为()A．{x|－3x2}B．{x|x－3}C．{x|x2}D．{x|x2或x－3}【解析】x＋3x－20⇔(x＋3)(x－2)0⇒－3x2.3.(2010·山东聊城模拟)已知不等式x2－2x－30的解集为A，不等式x2＋x－60的解集是B，不等式x2＋ax＋b0的解集是A∩B，那么a＋b等于()A．－3B．1C．－1D．3【解析】由题意，A＝{x|－1x3}，B＝{x|－3x2}，A∩B＝{x|－1x2}，由根与系数的关系可知，a＝－1，b＝－2，所以a＋b＝－3，故选A.4.(2012·永州模拟)不等式log2(x2－1)1的解集为()A．(－3，3)B．(3，＋∞)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－3，－1)∪(1，3)【解析】由log2(x2－1)1得x2－12所以x3或x－3，故选C.5.不等式2x2＋2x－4≤(12)－4的解集为[－4,2].【解析】2x2＋2x－4≤(12)－4＝24⇒x2＋2x－4≤4，⇒x2＋2x－8≤0⇒(x＋4)(x－2)≤0⇒－4≤x≤2.一一元二次不等式(组)的解法【例1】不等式组x2－1＜0x2－3x＜0的解集为()A．{x|－1＜x＜1}B．{x|0＜x＜3}C．{x|0＜x＜1}D．{x|－1＜x＜3}【解析】原不等式组等价于x21xx－30⇒－1x10x3⇒0x1.故选C.【点评】一元二次不等式的求解问题是高中数学的基础性知识，是解决其他问题的基础．设集合M＝{x|x2－x0}，N＝{x||x|2}，则()A．M∩N＝∅B．M∩N＝MC．M∪N＝MD．M∪N＝R素材1【解析】因为x2－x0⇔x(x－1)0⇔0x1.所以M＝{x|0x1}，而|x|2⇔－2x2，所以N＝{x|－2x2}．在数轴上分别表示M、N(如图)，知：M∩N＝{x|0x1}＝M，M∪N＝{x|－2x2}＝N，故选B.二指数、对数不等式的解法【例2】(1)不等式(13)x2－83－2x的解集是__________．(2)设f(x)＝2ex－1x2log3x2－1x≥2，则不等式f(x)2的解集为()A．(1,2)∪(3，＋∞)B．(10，＋∞)C．(1,2)∪(10，＋∞)D．(1,2)【解析】(1)将不等式变形得3－x2＋83－2x，则－x2＋8－2x，从而x2－2x－80，即(x＋2)(x－4)0，解得－2x4，所以不等式的解集是{x|－2x4}．(2)原不等式等价于x＜22ex－1＞2或x≥2log3x2－1＞2，即x＜2x＞1或x≥2x＞10或x＜－10，所以1＜x＜2或x＞10，故选C.【点评】(1)考查指数不等式的解法．(2)特殊不等式的求解，转化是一方面，借助于函数的性质和图象也是解决问题的有效手段．若不等式x2－2ax＋a0对x∈R恒成立，则关于t的不等式a2t＋1at2＋2t－31的解集为()A．1t2B．－2t1C．－2t2D．－3t2素材2【解析】若不等式x2－2ax＋a0对x∈R恒成立，则Δ＝4a2－4a0，所以0a1.又a2t＋1at2＋2t－31，则2t＋1t2＋2t－30，即2t＋1t2＋2t－3t2＋2t－30，所以1t2.三含参不等式的解法【例3】解关于x的不等式ax－1x－21(a1)．【解析】原不等式等价于a－1x－a－2x－20⇔(a－1)(x－a－2a－1)·(x－2)0①因为a1，所以式①⇔(x－a－2a－1)(x－2)0，由2－a－2a－1＝aa－1知，当0a1时，a－2a－12，原不等式的解集为(2，a－2a－1)；当a＝0时，原不等式等价于(x－2)20，解集为∅；当a0时，a－2a－12，原不等式的解集为(a－2a－1，2)．综上所述，当a0时，解集为(a－2a－1，2)；当a＝0时，解集为∅；当0a1时，解集为(2，a－2a－1)．【点评】(1)含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．(3)其次对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．关于x的方程x2－(m－1)x＋2－m＝0的两根为正数，则m的取值范围是()A．{m|m≤－1－22或m≥－1＋22}B．{m|1m2}C．{m|m≥22－1}D．{m|－1＋22≤m2}素材3【解析】设方程x2－(m－1)x＋2－m＝0的两根为正数x1、x2.则有Δ≥0x1＋x20x1·x20，即m－12－42－m≥0m－102－m0，所以－1＋22≤m2.备选例题已知抛物线y＝(m－1)x2＋(m－2)x－1(x∈R)．(1)当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？(2)若关于x的方程(m－1)x2＋(m－2)x－1＝0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m的取值范围．【分析】(1)由Δ0求解m的范围；(2)由韦达定理列出m的不等式求解．【解析】(1)根据题意，m≠1且Δ0，即Δ＝(m－2)2－4(m－1)(－1)0，得m20，所以m≠1且m≠0.(2)在m≠0且m≠1的条件下，x1＋x2＝m－21－mx1·x2＝11－m，因为1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2＝m－2，所以1x21＋1x22＝(1x1＋1x2)2－2x1x2＝(m－2)2＋2(m－1)≤2.得m2－2m≤0，所以0≤m≤2.所以m的取值范围是{m|0m1或1m≤2}．【点评】一元二次不等式与一元二次方程、二次函数有密切关系，解一元二次不等式时必须联想到相应的二次函数图象和性质，以及相应一元二次方程的根的情况．1．一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a≠0)的解集的确定受a的符号、b2－4ac的符号的影响，注意数形结合．2．解分式不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法将分式不等式转化为整式不等式或不等式组来解决．