2018高数下册讲义(新)

1目录第七章微分方程………………………………………………………1第八章向量代数与空间解析几何……………………………………24第九章多元函数微分法及其应用……………………………………56第十章重积分…………………………………………………………94第十一章曲线积分和曲面积分…………………………………………113第十二章无穷级数………………………………………………………1432第七章微分方程§71微分方程的基本概念函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究因此如何寻找出所需要的函数关系在实践中具有重要意义在许多问题中往往不能直接找出所需要的函数关系但是根据问题所提供的情况有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式这样的关系就是所谓微分方程微分方程建立以后对它进行研究找出未知函数来这就是解微分方程例1一曲线通过点(12)且在该曲线上任一点M(xy)处的切线的斜率为2x求这曲线的方程解设所求曲线的方程为yy(x)根据导数的几何意义可知未知函数yy(x)应满足关系式(称为微分方程)xdxdy2(1)此外未知函数yy(x)还应满足下列条件x1时y2简记为y|x12(2)把(1)式两端积分得(称为微分方程的通解)xdxy2即yx2C(3)其中C是任意常数把条件“x1时y2”代入(3)式得：212C由此定出C1把C1代入(3)式得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y|x12的解)yx213例2列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶当制动时列车获得加速度04m/s2问开始制动后多少时间列车才能停住以及列车在这段时间里行驶了多少路程?解设列车在开始制动后t秒时行驶了s米根据题意反映制动阶段列车运动规律的函数ss(t)应满足关系式4.022dtsd(4)此外未知函数ss(t)还应满足下列条件t0时s020dtdsv简记为s|t0=0s|t0=20(5)把(4)式两端积分一次得14.0Ctdtdsv(6)再积分一次得s02t2C1tC2(7)这里C1C2都是任意常数把条件v|t020代入(6)得：20C1把条件s|t00代入(7)得0C2把C1C2的值代入(6)及(7)式得v04t20(8)s02t220t(9)在(8)式中令v0得到列车从开始制动到完全停住所需的时间504.020t(s)再把t50代入(9)得到列车在制动阶段行驶的路程s025022050500(m)4几个概念微分方程表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫微分方程常微分方程未知函数是一元函数的微分方程叫常微分方程偏微分方程未知函数是多元函数的微分方程叫偏微分方程微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫微分方程的阶x3yx2y4xy3x2y(4)4y10y12y5ysin2xy(n)10一般n阶微分方程F(xyyy(n))0y(n)f(xyyy(n1))微分方程的解满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解确切地说设函数y(x)在区间I上有n阶连续导数如果在区间I上F[x(x)(x)(n)(x)]0那么函数y(x)就叫做微分方程F(xyyy(n))0在区间I上的解通解如果微分方程的解中含有任意常数且任意常数的个数与微分方程的阶数相同这样的解叫做微分方程的通解初始条件用于确定通解中任意常数的条件称为初始条件如xx0时yy0yy0一般写成00yyxx00yyxx特解确定了通解中的任意常数以后就得到微分方程的特解即不含任意常数的解初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题如求微分方程yf(xy)满足初始条件00yyxx的解的问题记为00),(yyyxfyxx积分曲线微分方程的解的图形是一条曲线叫做微分方程的积分曲线5例3验证函数xC1cosktC2sinkt是微分方程0222xkdtxd的解解求所给函数的导数ktkCktkCdtdxcossin21)sincos(sincos212221222ktCktCkktCkktCkdtxd将22dtxd及x的表达式代入所给方程得k2(C1cosktC2sinkt)k2(C1cosktC2sinkt)0这表明函数xC1cosktC2sinkt满足方程0222xkdtxd因此所给函数是所给方程的解例4已知函数xC1cosktC2sinkt(k0)是微分方程0222xkdtxd的通解求满足初始条件x|t0Ax|t00的特解解由条件x|t0A及xC1cosktC2sinkt得C1A再由条件x|t00及x(t)kC1sinktkC2coskt得C20把C1、C2的值代入xC1cosktC2sinkt中得xAcoskt6§72可分离变量的微分方程观察与分析1求微分方程y2x的通解为此把方程两边积分得yx2C一般地方程yf(x)的通解为Cdxxfy)((此处积分后不再加任意常数)2求微分方程y2xy2的通解因为y是未知的所以积分dxxy22无法进行方程两边直接积分不能求出通解为求通解可将方程变为xdxdyy212两边积分得Cxy21或Cxy21可以验证函数Cxy21是原方程的通解一般地如果一阶微分方程y(x,y)能写成g(y)dyf(x)dx形式则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程：G(y)F(x)C由方程G(y)F(x)C所确定的隐函数就是原方程的通解.对称形式的一阶微分方程一阶微分方程有时也写成如下对称形式P(xy)dxQ(xy)dy0在这种方程中变量x与y是对称的若把x看作自变量、y看作未知函数则当Q(x,y)0时有),(),(yxQyxPdxdy若把y看作自变量、x看作未知函数则当P(x,y)0时有),(),(yxPyxQdydx7可分离变量的微分方程如果一个一阶微分方程能写成g(y)dyf(x)dx(或写成y(x)(y))的形式就是说能把微分方程写成一端只含y的函数和dy另一端只含x的函数和dx那么原方程就称为可分离变量的微分方程讨论下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？(1)y2xy是y1dy2xdx(2)3x25xy0是dy(3x25x)dx(3)(x2y2)dxxydy=0不是(4)y1xy2xy2是y(1x)(1y2)(5)y10xy是10ydy10xdx可分离变量的微分方程的解法第一步分离变量将方程写成g(y)dyf(x)dx的形式第二步两端积分dxxfdyyg)()(设积分后得G(y)F(x)C第三步求出由G(y)F(x)C所确定的隐函数y(x)或x(y)G(y)F(x)Cy(x)或x(y)都是方程的通解其中G(y)F(x)C称为隐式(通)解例1求微分方程xydxdy2的通解解此方程为可分离变量方程分离变量后得xdxdyy21两边积分得xdxdyy218即ln|y|x2C1从而2112xCCxeeey因为1Ce仍是任意常数把它记作C便得所给方程的通解2xCey例2求微分方程221xyyxdxdy的通解解方程可化为)1)(1(2yxdxdy分离变量得dxxdyy)1(112两边积分得dxxdyy)1(112即Cxxy221arctan于是原方程的通解为)21tan(2Cxxy9§73齐次方程齐次方程如果一阶微分方程),(yxfdxdy中的函数f(x,y)可写成xy的函数即)(),(xyyxf则称这方程为齐次方程讨论：下列方程哪些是齐次方程？(1)022xyyyx是齐次方程1)(222xyxydxdyxxyydxdy(2)2211yyx不是齐次方程2211xydxdy(3)(x2y2)dxxydy0是齐次方程xyyxdxdyxyyxdxdy22(4)(2xy4)dx(xy1)dy0不是齐次方程142yxyxdxdy(5)0ch3)ch3sh2(dyxyxdxxyyxyx是齐次方程xyxydxdyxyxxyyxyxdxdyth32ch3ch3sh2齐次方程的解法在齐次方程)(xydxdy中令xyu即yux有)(udxduxu分离变量得xdxuudu)(两端积分得xdxuudu)(求出积分后再用xy代替u便得所给齐次方程的通解10例1解方程dxdyxydxdyxy22解原方程可写成1)(222xyxyxxyydxdy因此原方程是齐次方程令uxy则yuxdxduxudxdy于是原方程变为：12uudxduxu即1uudxdux分离变量得xdxduu)11(两边积分得uln|u|Cln|x|或写成ln|xu|uC以xy代上式中的u便得所给方程的通解Cxyy||ln11§7.4线性微分方程线性方程方程)()(xQyxPdxdy叫做一阶线性微分方程如果Q(x)0则方程称为齐次线性方程否则方程称为非齐次线性方程方程0)(yxPdxdy叫做对应于非齐次线性方程)()(xQyxPdxdy的齐次线性方程讨论：下列方程各是什么类型方程？(1)ydxdyx)2(021yxdxdy是齐次线性方程(2)3x25x5y0y3x25x是非齐次线性方程(3)yycosxesinx是非齐次线性方程(4)yxdxdy10不是线性方程(5)0)1(32xdxdyy0)1(23yxdxdy或32)1(xydydx不是线性方程齐次线性方程的解法齐次线性方程0)(yxPdxdy是变量可分离方程分离变量后得dxxPydy)(两边积分得1)(||lnCdxxPy或)(1)(CdxxPeCCey这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）12例1求方程ydxdyx)2(的通解解这是齐次线性方程分离变量得2xdxydy两边积分得ln|y|ln|x2|lnC方程的通解为yC(x2)非齐次线性方程的解法将齐次线性方程通解中的常数换成x的未知函数u(x)把dxxPexuy)()(设想成非齐次线性方程的通解代入非齐次线性方程求得)()()()()()()()()(xQexuxPxPexuexudxxPdxxPdxxP化简得dxxPexQxu)()()(CdxexQxudxxP)()()(于是非齐次线性方程的通解为])([)()(CdxexQeydxxPdxxP或dxexQeCeydxxPdxxPdxxP)()()()(非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性