高二导数的概念

3.1.2导数的概念高二数学选修1-1第三章导数及其应用1、平均变化率)(xf一般的，函数在区间上的平均变化率为],[21xxxxfxxf)()(222121－＋＝xxxfxf一.复习其几何意义是表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度为h（单位：m）与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h=-4.9t2+6.5t+10hto求ｔ＝2时的瞬时速度？2我们先考察ｔ＝2附近的情况。任取一个时刻2＋△ｔ，△ｔ是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.当△ｔ＜0时，在2之前；当△ｔ＞0时，在2之后。△ｔ＜0时2＋△ｔ△ｔ＞0时2＋△ｔ二.新授课学习2,22,2,.ttv计算区间和区间内平均速度可以得到如下表格△t0时,在[2+△t,2]这段时间内△t0时,在[2,2+△t]这段时间内1.139.4tv1.139.4tv13.051v当△t=–0.01时,13.149v当△t=0.01时,0951.13v当△t=–0.001时,1049.13v当△t=0.001时,13.09951v当△t=–0.0001时,13.10049v当△t=0.0001时,099951.13v△t=–0.00001,100049.13v△t=0.00001,13.0999951v△t=–0.000001,13.1000049v△t=0.000001,…………平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?105.69.4)(2ttth当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?,0,2,22,13.1.tt我们发现当趋近于时即无论从小于的一边还是从大于一边趋近于时平均速度都趋近于一个确定的值,||,2.,213.1/.tvttms从物理的角度看时间间隔无限变小时平均速度就无限趋近于时的瞬时速度因此运动员在时的瞬时速度是..,,.lim,11302113220定值趋近于确平均速度时趋势近于当表示我们用为了表述方便vttththt..时的极限趋近于当是我们称确定值022113tthth瞬时速度ｔｔ－ｈｔ＋ｔｈ００0limt在局部以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。思考：⑴如何求瞬时速度？⑵lim是什么意思？在其下面的条件下求右面的极限值。⑶运动员在某一时刻ｔ0的瞬时速度如何表示?0limt(2)(2)13.1hthtｘｘ－ｆｘ＋ｘｆ００示？处的瞬时变化率怎么表在ｘ＝ｘｘ２、函数ｆ０xxfxxflimxylimxf0x0x0００－＋＝＝即：１、函数的平均变化率怎么表示？思考：ｘｘ－ｆｘ＋ｘｆ００0xlim000xxyxfxxxfy＝或记作：处的导数，＝在＝我们称它为函数定义:函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是xxxfxxfxxylim)()Δ(lim0000称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作0000(Δ)()()lim.xfxxfxfxx)(0xf或,即0|xxy。其导数值一般也不相同的值有关，不同的与000)(.1xxxf的具体取值无关。与xxf)(.20一概念的两个名称。瞬时变化率与导数是同.3导数的作用：在例2中，高度h关于时间t的导数是运动员的瞬时速度；在例1中，我们用的是平均膨胀率，那么半径r关于体积v的导数是气球的瞬时膨胀率导数可以描绘任何事物的瞬时变化率由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:);()()1(00xfxxfy求函数的增量;)()()2(00xxfxxfxy求平均变化率.lim)()3(00xyxfx取极限，得导数注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择哪种形式,Δy也必须选择与之相对应的形式.一差、二比、三极限例1.(1)求函数y=3x2在x=1处的导数.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度.三．典例分析题型二：求函数在某处的导数例1.(1)求函数y=3x2在x=1处的导数.三．典例分析题型二：求函数在某处的导数(1)(1)yfxf解：23(1)3x263()xx263()yxxxx63x/00(1)limlim(63)6xxyfxx例1.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．三．典例分析题型二：求函数在某处的导数(1)(1)yfxf解：22(1)(1)[(1)(1)]xx2()3xx2()3yxxxx平均变化率3x/00(1)limlim(3)3xxyfxx例1.(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度.三．典例分析题型二：求函数在某处的导数(3)(3)sftf解：22(3)3(33)t2()6tt2()6stttt6t/00(3)limlim(6)6ttsftt例1:(1)求函数y=x2在x=1处的导数;(2)求函数y=x+1/x在x=2处的导数.,)(21)1()1(222xxxy解：,2)(22xxxxxy.2|,2)2(limlim100xxxyxxy,)2(2)212(21)2()2(xxxxxy,)2(211)2(2xxxxxxy.43|,43411])2(211[limlim200xxxyxxy.,21|',:2000的值求且处附近有定义在已知函数例xyxxxyxx,:00xxxy解.1)())((0000000000xxxxxxxxxxxxxxxxxxy,211limlim00000xxxxxyxx.1,2121,21|'000xxyxx得由.yxy已知，求1yxxxx0011limlim.2xxyyxxxxx练习:xyxxxxxxDD=+D-=+D+解：.)0(||2的导数数：利用导数的定义求函例xxy||,yx解：0,,xyx当时.0101xxy0,,xyx当时()1,yxxxxx则0lim1;xyx()()1,yxxxxx0lim1;xyx练习：(1)求函数f(x)＝1x在x＝1处的导数解：(1)∵Δy＝1x＋Δx－1x＝－Δxxx＋Δx(2)已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a.(2)∵Δy＝a(x＋Δx)2＋c－(ax2＋c)∴ΔyΔx＝－1xx＋Δx∴limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0[－1xx＋Δx]＝－1x2∴f′(1)＝－112＝－1＝2axΔx＋a(Δx)2∴f′(x)＝limΔx→0(2ax＋aΔx)＝2ax∴ΔyΔx＝2ax＋aΔx∴f′(1)＝2a＝2，∴a＝1.,,62).80(157:,.,220并说明它们的意义的瞬时变化率原油温度时和第计算第为单位的温度原油时如果在和加热行冷却油进对原需要品产柴油、塑胶等各种不同将原油精炼为汽油、例hhxxxxfCxh,根据导数的定义xfxfxy22.'6f和262',fhh就是原油温度的瞬时变化率时和第在第解xxx152721527222,3742xxxxx,33limlim2,00'xxyfxx所以.'56f同理可得.运算过程请同学们自己完成具体0026,35.2,3/;6,5/.hhhChhCh在第与第时原油温度的瞬时变化率分别为与它说明：在第附近原油温度大约以的速率下降在附近原油温度大约以的速率上升0'0,.fxx一般地反映了原油温度在时刻附近的变化情况计算第3（h）和第5（h）时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。35f13f）＝（，＝－解：这说明:在第3小时附近，原油温度大约以1的速率下降，在第5小时附近，原油温度大约以3的速率上升。练习：小结：1求物体运动的瞬时速度：（1）求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)(2)求平均速度（3）求极限;svt00()().limlimxxssttsttt2由导数的定义可得求导数的一般步骤：（1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)(2)求平均变化率（3）求极限yx'00()limxyfxx