6-2反馈控制与极点配置

2020/2/13第6章线性系统综合6.2反馈控制与极点配置•本节讨论如何利用状态反馈与输出反馈来进行线性定常连续系统的极点配置,即使反馈闭环控制系统具有所指定的闭环极点。–对线性定常离散系统的状态反馈设计问题,有完全平行的结论和方法。2020/2/13第6章线性系统综合•对线性定常系统,系统的稳定性和各种性能的品质指标,在很大程度上是由闭环系统的极点位置所决定的。–因此在进行系统设计时,设法使闭环系统的极点位于s平面上的一组合理的、具有所期望的性能品质指标的极点,是可以有效地改善系统的性能品质指标的。•这样的控制系统设计方法称为极点配置。•在经典控制理论的系统综合中,无论采用频域法还是根轨迹法,都是通过改变极点的位置来改善性能指标,本质上均属于极点配置方法。–本节所讨论的极点配置问题,则是指如何通过状态反馈阵K的选择,使得状态反馈闭环系统的极点恰好处于预先选择的一组期望极点上。2020/2/13第6章线性系统综合由于线性定常系统的特征多项式为实系数多项式,因此考虑到问题的可解性,对期望的极点的选择应注意下列问题:1)对于n阶系统,可以而且必须给出n个期望的极点;2)期望的极点必须是实数或成对出现的共轭复数;3)期望的极点必须体现对闭环系统的性能品质指标等的要求。p2p1p32020/2/13第6章线性系统综合•基于指定的期望闭环极点,线性定常连续系统的状态反馈极点配置问题可描述为:–给定线性定常连续系统确定反馈控制律uxxBA使得状态反馈闭环系统的闭环极点配置在指定的n个期望的闭环极点也就是成立vxuKnisBKAii,...,2,1,)(*2020/2/13第6章线性系统综合•下面分别讨论:–状态反馈极点配置定理–SISO系统状态反馈极点配置方法–输出反馈极点配置2020/2/13第6章线性系统综合6.2.1状态反馈极点配置定理在进行极点配置时,存在如下问题:被控系统和所选择的期望极点满足哪些条件,则是可以进行极点配置的。下面的定理就回答了该问题。2020/2/13第6章线性系统综合定理6-1对线性定常系统(A,B,C)利用线性状态反馈阵K,能使闭环系统K(A-BK,B,C)的极点任意配置的充分必要条件为被控系统(A,B,C)状态完全能控。2020/2/13第6章线性系统综合6.2.2SISO系统状态反馈极点配置方法求反馈矩阵K的方法:1.对于SISO线性定常连续系统的极点配置问题,若其状态空间模型为能控规范II形,则相应反馈矩阵为K=[k1…kn]=[an*-an…a1*-a1]其中ai和ai*(i=1,2,…,n)分别为开环系统特征多项式和所期望的闭环系统特征多项式的系数。2020/2/13第6章线性系统综合11222cccATATBTB对能控规范II形~进行极点配置,求得相应的状态反馈阵如下因此,原系统的相应状态反馈阵K为***1111nnnnKaaaaaa2cKKT2.若SISO被控系统的状态空间模型不为能控规范II形,则由4.6节讨论的求能控规范II形的方法,利用线性变换x=Tc2,将系统(A,B)变换成能控规范II形,即有x(,)AB2020/2/13第6章线性系统综合下面通过两个例子来说明计算状态反馈阵K的方法。例6-2设线性定常系统的状态方程为122131xxu求状态反馈阵K使闭环系统的极点为-1±j2。2020/2/13第6章线性系统综合解1：判断系统的能控性。开环系统的能控性矩阵为114-2][ABB则开环系统为状态能控,可以进行任意极点配置。2.求能控规范II形:10~2510~8121613/16/1]][10[12212111211BTBATTAATTTABBTcccc2020/2/13第6章线性系统综合3.求反馈律:因此开环特征多项式f(s)=s2-2s-5,而由期望的闭环极点-1j2所确定的期望闭环特征多项式f*(s)=s2+2s+5,则得状态反馈阵K为3/263/7-81-21-61)]2-(-2)5-(-5[]--[~121*12*212ccTaaaaTKK则在反馈律u=-Kx+v下的闭环系统的状态方程为2020/2/13第6章线性系统综合11582141713xxu通过验算可知,该闭环系统的极点为-1±j2,达到设计要求。2020/2/13第6章线性系统综合例6-3已知系统的传递函数为)2)(1(10)(ssssG试选择一种状态空间实现并求状态反馈阵K,使闭环系统的极点配置在-2和-1±j上。解1：要实现极点任意配置,则系统实现需状态完全能控。因此,可选择能控规范II形来建立被控系统的状态空间模型。故有2020/2/13第6章线性系统综合010000100231[1000]xxuyx2.系统的开环特征多项式f(s)和由期望的闭环极点所确定的闭环特征多项式f*(s)分别为f(s)=s3+3s2+2sf*(s)=s3+4s2+6s+4则相应的反馈矩阵K为K=[a3*-a3a2*-a2a1*-a1]2020/2/13第6章线性系统综合因此,在反馈律u=-Kx+v下,闭环系统状态方程为010000104641[1000]xxuyx在例6-3中,由给定的传递函数通过状态反馈进行极点配置时需先求系统实现,即需选择状态变量和建立状态空间模型。这里就存在一个所选择的状态变量是否可以直接测量、可以直接作反馈量的问题。2020/2/13第6章线性系统综合由于状态变量是描述系统内部动态运动和特性的,因此对实际控制系统,它可能不能直接测量,更甚者是抽象的数学变量,实际中不存在物理量与之直接对应。若状态变量不能直接测量,则在状态反馈中需要引入所谓的状态观测器来估计系统的状态变量的值,再用此估计值来构成状态反馈律。这将在下节中详述。2020/2/13第6章线性系统综合6.2.3输出反馈极点配置•由于输出变量空间可视为状态变量空间的子空间,因此输出反馈也称之为部分状态反馈。–由于输出反馈包含的信息较状态反馈所包含的信息少,因此输出反馈的控制与镇定能力必然要比状态反馈弱。•线性定常连续系统的输出反馈极点配置问题可描述为:–给定线性定常连续系统ABCxxuyx2020/2/13第6章线性系统综合确定反馈控制律使得状态反馈闭环系统的闭环极点配置在指定的n个期望的闭环极点也就是成立nisBKAii,...,2,1,)(*vxuH•下面,先通过一输出反馈闭环系统的极点变化,考察输出反馈能否像状态反馈那样对能控系统进行极点配置,然后给出相关结论。2020/2/13第6章线性系统综合•例考察下述能控能观的系统它在输出反馈下u=-hy下的闭环系统为其闭环特征多项式为s2+h。xxx01100010yu0100110uhyxxx2020/2/13第6章线性系统综合–从而当h的值变化时,闭环系统的极点从2重的开环极点s=0配置到–而不能任意配置。shsjh或2020/2/13第6章线性系统综合•上例说明,输出反馈对能控能观系统可以改变极点位置,但不能进行任意的极点配置。–因此,对某些系统,采取输出反馈可能不能配置闭环系统的所有极点,使得闭环系统稳定或具有所期望的闭环极点。–故,欲使闭环系统稳定或具有所期望的闭环极点,要尽可能采取状态反馈控制或动态输出反馈控制(动态补偿器)。•关于输出反馈可以任意配置极点数目p的问题,有如下定理(证明略)。•定理6-2对能控能观的线性定常系统Σ(A,B,C),可采用静态输出反馈进行“几乎”任意接近地配置p=min{n,m+r-1}个极点。2020/2/13第6章线性系统综合•定理6-2中的n,m,r分别为状态空间、输出空间和输入空间的维数,“几乎”任意接近地配置极点的意义为可以任意地接近于指定的期望极点位置,但并不意味着能确定配置在指定的期望极点位置上。–如,对例6-6的输出反馈问题,由于min{n,m+r-1}=1,则该系统可以通过输出反馈“几乎”任意接近地配置的极点数为1。•如期望的闭环极点为-1与-2,则输出反馈矩阵可以取k=-1或-4,则可以将一个极点配置在-1或-2,但另一个闭环极点不能配置。•再如期望的闭环极点为-12j,则输出反馈矩阵可以取k=1,则可以将一个极点配置在与期望极点-12j最接近的-1上,但未能配置在期望的-12j上。