正弦定理、余弦定理应用举例

§4.8正弦定理、余弦定理应用举例[高考调研明确考向]考纲解读考情分析•能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.•对解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题的考查是高考考查的重点．•在选择题、填空题、解答题中都可能考查，多属中、低档题.知识梳理1.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线□1_______的角叫仰角，在水平线□2________的角叫俯角(如图①)．2．方位角从指北方向□3________转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．3．方向角相对于某一正方向的水平角(如图③)(1)北偏东α°，即由指北方向□4________旋转α°到达目标方向．(2)北偏西α°，即由指北方向□5________旋转α°到达目标方向．(3)南偏西等其他方向角类似．4．坡度(比)坡面与水平面所成的□6______的度数(如图④，角θ为坡角)．坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度(比))．答案：□1上方□2下方□3顺时针□4顺时针□5逆时针□6二面角名师微博●一个步骤解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题．近似计算的要求等．●两种情形解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.基础自测1．(人教A版教材习题改编)如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为()A．502mB．503mC．252mD.2522m解析：由正弦定理得ABsin∠ACB＝ACsinB，又∵B＝30°，∴AB＝AC·sin∠ACBsinB＝50×2212＝502(m)．答案：A2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为()A．α＞βB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°解析：根据仰角与俯角的定义易知α＝β.答案：B3．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°。且AC＝BC，则点A在点B的()A．北偏东15°B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°解析：如图．答案：B4．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时()A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里解析：如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10(海里)，在Rt△ABC中，得AB＝5(海里)，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/时)．答案：C5．海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则B，C间的距离是__________海里．解析：由正弦定理，知BCsin60°＝ABsin180°－60°－75°.解得BC＝56(海里)．答案：56[例1]如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°。∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．考点一测量距离问题解析：在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，所以AC＝a.∵∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∴∠CBD＝45°.在△BCD中，由正弦定理可得BC＝asin105°sin45°＝3＋12a.在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝30°，所以利用余弦定理可以求得A，B两点之间的距离为AB＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos30°＝22a.方法点睛①利用示意图把已知量和待求量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型．②利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解．变式训练1如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离．解析：在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1km.又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.又∵∠ABC＝15°，在△ABC中，ABsin∠BCA＝ACsin∠ABC，所以AB＝ACsin60°sin15°＝32＋620(km)，同理，BD＝32＋620(km)．故B、D的距离为32＋620km.[例2]如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20m，求山高CD.考点二测量高度问题解析：如图，设CD＝xm，则AE＝x－20m，tan60°＝CDBD，∴BD＝CDtan60°＝x3＝33x(m)．在△AEC中，x－20＝33x，解得x＝10(3＋3)m.故山高CD为10(3＋3)m.方法点睛①测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念；②分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理．变式训练2如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.解析：在△BCD中，∠CBD＝π－α－β，由正弦定理得BCsin∠BDC＝CDsin∠CBD，所以BC＝CDsin∠BDCsin∠CBD＝s·sinβsinα＋β在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝stanθsinβsinα＋β.[例3]如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(3－1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2nmile的C处的缉私船奉命以103nmile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船．考点三测量角度问题解析：设缉私船用th在D处追上走私船，则有CD＝103t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos120°＝6.∴BC＝6，且sin∠ABC＝ACBC·sin∠BAC＝26·32＝22.∴∠ABC＝45°.∴BC与正北方向垂直．∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD＝10tsin120°103t＝12，∴∠BCD＝30°.答：缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船．方法点睛要利用正、余弦定理解决问题，需将多边形分割成若干个三角形，在分割时，要注意有利于应用正、余弦定理．变式训练3如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里的C处的乙船．(1)求处于C处的乙船和遇险渔船间的距离；(2)设乙船沿直线CB方向前往B处救援，其方向与CA→成θ角，求f(x)＝sin2θsinx＋34cos2θcosx(x∈R)的值域．解析：(1)连接BC，由余弦定理得BC2＝202＋102－2×20×10cos120°＝700.∴BC＝107，即所求距离为107海里．(2)∵sinθ20＝sin120°107，∴sinθ＝37.∵θ是锐角，∴cosθ＝47.f(x)＝sin2θsinx＋34cos2θcosx＝37sinx＋37cosx＝237sinx＋π6.∴f(x)的值域为－237，237.答题模板构建(四)利用正弦、余弦定理求解实际问题[试题](2010·福建，12分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．解析：(1)设小艇与轮船在B处相遇，相遇时小艇航行的距离为S海里，如图所示．在△AOB中A＝90°－30°＝60°，∴S＝900t2＋400－2·30t·20·cos60°＝900t2－600t＋400＝900t－132＋300.(4分)故当t＝13时，Smin＝103，此时v＝10313＝303.即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)由题意可知OB＝vt，在△AOB中利用余弦定理得：v2t2＝400＋900t2－2·20·30tcos60°故v2＝900－600t＋400t2.(8分)∵0＜v≤30，∴900－600t＋400t2≤900，即2t2－3t≤0，解得t≥23，又t＝23时，v＝30(海里/小时)．故v＝30时，t取得最小值，且最小值等于23.此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．(12分)模板构建：解斜三角形应用题的一般步骤为：第一步：分析．理解题意，分析已知未知，画出示意图；第二步：建模．根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形AOB中，建立一个解斜三角形的数学模型；第三步：求解．利用余弦定理，把S用t表示出来．第四步：检验．检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．