高数上册第一章第四节 无穷小与无穷大

机动目录上页下页返回结束1第四节无穷小与无穷大一、无穷小二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系四、小结思考题机动目录上页下页返回结束2【无穷小产生的背景——第二次数学危机】芝诺提出的四个著名的悖论：第一个悖论是说运动不存在，理由是运动物体到达目的地之前必须到达半路，而到达半路之前又必须到达半路的半路……如此下去，它必须通过无限多个点，这在有限长时间之内是无法办到的。第二个悖论是跑得很快的阿希里赶不上在他前面的乌龟。因为乌龟在他前面时，他必须首先到达乌龟的起点，然后用第一个悖论的逻辑，乌龟总在他的前面。这两个悖论是反对空间、时间无限可分的观点的机动目录上页下页返回结束3第四个悖论是游行队伍悖论，内容大体相似第三个悖论是说“飞矢不动”，因为在某一时间间隔，飞矢总是在某个空间间隔中确定的位置上，因而是静止的。这两个悖论是反对空间、时间由不可分的间隔组成这说明希腊人已经看到“无穷小”与“很小很小”的矛盾。当然他们无法解决这些矛盾。十八世纪的数学思想的确是不严密的、直观的、强调形式的计算，而不管基础的可靠与否，其中特别是：没有清楚的无穷小概念，因此导数、微分、积分等概念不清楚；对无穷大的概念也不清楚；发散级数求和的任意性；符号使用的不严格性；不考虑连续性就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及可否展成幂级数等等。例如以求速度为例，瞬时速度是Δs/Δt当Δt趋向于零时的值。Δt是零、是很小的量，还是什么东西？这个无穷小量究竟是不是零？这引起了极大的争论，从而引发了第二次数学危机。机动目录上页下页返回结束4一直到十九世纪二十年代，一些数学家才开始比较关注于微积分的严格基础。它们从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里克莱等人的工作开始，最终由威尔斯特拉斯、戴德金和康托尔彻底完成，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了一个严格的基础。波尔查诺不仅承认无穷小数和无穷大数的存在，而且给出了连续性的正确定义。柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量开始，认识到函数不一定要有解析表达式。他抓住了极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，并定义了导数和积分；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；狄里克莱给出了函数的现代定义。在这些数学工作的基础上，维尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的ε-δ的极限、连续定义，并把导数、积分等概念都严格地建立在极限的基础上，从而克服了危机和矛盾。十九世纪七十年代初，威尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析终于建立在实数理论的严格基础之上了。机动目录上页下页返回结束5【定义1】(精确定义)如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数(或正数X),使得对于适合不等式00xx(或xX)的一切x,对应的函数值)(xf都满足不等式)(xf,那么称函数)(xf当0xx(或x)时为无穷小,记作).0)(lim(0)(lim0xfxfxxx或一、无穷小1.【直观定义】极限为零的变量称为无穷小机动目录上页下页返回结束6【例如】,0sinlim0xx.0sin时的无穷小是当函数xx,01limxx.1时的无穷小是当函数xx,0)1(limnnn.})1({时的无穷小是当数列nnn【注意】（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;（2）零是可以作为无穷小的唯一的常数.（3）说一个量是无穷小，必须指明其变化过程机动目录上页下页返回结束72.无穷小与函数极限的关系:【证】【定理1】)()()(lim0xAxfAxfxx.)(0时的无穷小是当其中xxxAxfxx)(lim0,0,000xx时,有Axf)(Axf)(0lim0xx对自变量的其它变化过程类似可证.机动目录上页下页返回结束8【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);牛—莱称《无穷小分析》).(,)()(20xAxfxxf误差为式附近的近似表达在）给出了函数（【补例】xxxfx1)(时，将函数当写成其极限值与一个无穷小之和的形式.【解】1)11(lim1lim)(limxxxxfxxxxxxxf111)(而)(01xx故f(x)能写成其极限值与一个无穷小之和.机动目录上页下页返回结束9二、无穷大1.【直观定义】绝对值无限增大的变量称为无穷大的x,总有则称函数当时为无穷大,使对一切满足不等式①)(Xx)(x))(lim(xfx(或正数X),记作【精确定义2】设f(x)在内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）,若任给M0,总存在)(0xU机动目录上页下页返回结束10【特殊情形】正无穷大+∞，负无穷大－∞．【注意】(1)无穷大是变量,不能与很大的数混淆;常数中不存在无穷大.(3)无穷大是一种特殊的无界变量,而无界变量未必是无穷大，但它至少有一个无穷大子列.)(lim0在认为极限存切勿将xfxx(2)若上述定义中将①式改为则记作))(lim()(0xfxxx,))((Mxf机动目录上页下页返回结束11【无穷大】【无界量】)(lim0xfxx,0,0,00时当xxMMxf)()()(0内无界在xUxf)(,001使得，xUxMMxf)(1【比喻】［无穷大］某过程中，组织纪律性强，某时刻后，步调一致地向无穷远跑.［无界量］某范围内的某过程中，较自由、散漫，有的向无穷远跑，有的掉队，有的原地踏步不动，行动不一致.无穷大必无界，但无界未必是无穷大.【两者区别与联系】机动目录上页下页返回结束12xxy1sin1.,1sin1)(,0但不是无穷大是一个无界变量时当xxxfx),3,2,1,0(0221)1(kkxk取22)(kxfk),3,2,1,0(021)2(kkxk取kkxfk2sin2)(但).(00k由此可知不是无穷大．有无穷大子列，故无界.【例如】)(k不是无穷大.机动目录上页下页返回结束13.11lim1xx证明【证】.0M,11Mx要使,11Mx只要,1M取,110时当Mx.11Mx就有.11lim1xx11xy【例1】机动目录上页下页返回结束142.【铅直渐近线】(1)［铅直渐近线］11xy【例如】1x是函数的铅直渐近线。(2)［水平渐近线］.)(,)(lim的图形的水平渐近线函数是则直线如果xfyAyAxfx.:)(处的极限要考虑函数没有定义点求铅直渐近线b(3)［小结求渐近线］.)(,)(lim00的图形的铅直渐近线函数是则直线如果xfyxxxfxx.:)(的极限时只要考虑求水平渐近线yxa机动目录上页下页返回结束15.2342的水平与铅垂渐近线求xxy【例2】【解】0234lim2xxx,23402的水平渐近线是故xxyy.)2)(1(4lim,)2)(1(4lim11xxxxxx且,23412的铅垂渐近线是故xxyx.2也是函数的铅垂渐近线同理可求x.212342处无定义和在又xxxxy机动目录上页下页返回结束16三、无穷小与无穷大的关系【定理2】在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.【证】.)(lim0xfxx设,1)(0,0,10xfxxM恒有时使得当对于.)(1xf即【分析】注意到1任意大则取任意小，M1任意小则取任意大，MM0由无穷大定义机动目录上页下页返回结束17.0)(,0)(lim,0xfxfxx且设反之,1)(0,0,10MxfxxM恒有时使得当对于.)(1Mxf从而.)(1,0为无穷大时当xfxx,0)(xf由于关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论..)(1,0为无穷小时当xfxx0M由无穷小定义【意义】机动目录上页下页返回结束18四、小结1.主要内容:两个定义;两个定理.铅直渐近线2.几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）无穷小（大）是变量,不能与很小00000（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2）无穷大必无界；无界变量未必是无穷大.机动目录上页下页返回结束19【思考题】若0)(xf，且Axfx)(lim，问：能否保证有0A的结论？试举例说明.机动目录上页下页返回结束20【思考题解答】不能保证.【例1】xxf1)(,0x有01)(xxf)(limxfx.01limAxx【例2】,0,)(xexfx有0)(xexf)(limxfx.0limAexx