中北大学线性代数知识点.

《线代》第一章行列式一、重要公式1．AA112．1nAA3．AkkAn4．BAAB5．BABOA*6．BABOA*7．nmmnmnBAOABO)1(8．niiiaOOOO1**9．范德蒙行列式：njiijnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxx111312112232221321)(1111二、主要知识网络图排列—逆序—奇、偶排列概念nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211性质行列互换，行列式值不变，即行列式与其转置行列式相等。互换两行（列），行列式值变号。某行（列）有公因数，可提到行列式之外。某行（列）的k倍加到另一行（列）上去，行列式值不变。若行列式某行（列）的所有元素均为两项之和，则行列式可拆成两行列式之和。若行列式有两行（列）对应成比例，则值为零。行列式某行元素与另一行对应的元素的代数余子式乘积之和为零。计算三角化、递推法、加边法、公式法、拆项法应用Grame法则奇次线性方程组有非零解的充分条件第二章矩阵一、重要定理定理2.1设A，B是n的阶矩阵，则BAAB。定理2.2如果A是可逆矩阵，则A的逆矩阵唯一。定理2.3n阶矩阵A可逆,)(021sPPPAnArA），，是初等矩阵（siPi1定理2.4初等阵左（右）乘给定的矩阵，其结果就是对给定的矩阵作相应的行（列）变换。定理2.5初等矩阵可逆，且其逆同类型初等矩阵，即)()()),1(())((,111kEkEkiEkiEEEijijijij。定理2.6如果矩阵A与B等价，则（1）秩r(A)=r(B)(2)存在可逆矩阵P与Q,使PAQ=B。定理2.7若r(A)=r,则A中有r个线性无关的行（列）向量而其它的行（列）向量都可由这r个向量线性表出。即r(A)=行秩=列秩。二、重要公式、法则1．加法与数乘（1）A+B=B+A(2)(A+B)+C=A+(B+C)(3)A+0=0+A=A(4)A+(-A)=A(5)k(lA)=(kl)A(6)(k+l)A=kA+lA(7)k(A+B)=kA+kB(8)1A=A,0A=02.乘法（1）(AB)C=A(BC)(2)A(B+C)=AB+AC(3)(kA)(lB)=kl(AB)(4)A0=0A=03.转置(1)（AT)T=A(2)(A+B)T=AT+BT(3)(kA)T=kAT(4)(AB)T=BTAT4.可逆(1)AA11(2)TTAA)()(11(3)111AkkA(4)111)(ABAB5.伴随（1）EAAAAA**（2）*)*(1AkkAn(3)TTAA)()(**(4)AAAA)()(11*(5)1nAA6.n阶矩阵的行列式（1）AAT(2)AkkAn(3)BAAB(4)11AA(5)1nAA7.矩阵秩的性质(1))()()()()(PAQrAQrPArArArT（P、Q可逆）(2))()()(BrArBAr(3)000)()(kkArkAr如果如果(4))()(BrArBOOAr；)()(BrArBCOAr(5))](),(min[)()()(BrArABrnBrAr（n表示A的列数B的行数）(6)nABrnBrAr)()()((7)AB=0nBrAr)()(（n表示A的列数B的行数）(8)A为实矩阵)()()(TTAArAArAr？（9）1)(1)()(10)(*nArnArnArnAr三、二阶方阵：（1）bcadacbdAdcbaA11（2）号”记法：“主换位，副变acbdA*四、分块阵111BOOABOOA，OABOOBAO11111111BOCBAABOCA，11111BCABOABCOA五、可逆的判断法1．n阶矩阵A可逆nArA)(0A的行（列）向量线性无关0AX仅有零解sPPPA21，），，是初等矩阵（siPi12．上三角阵的逆阵为上三角阵，且其主对角线上的元素为其原对角元素的倒数，下三角类同。六、正交阵（IAAAATT）1．A正交，1A。2．A正交，TA也正交。3．A正交，1A也正交。4．A正交，*A也正交。5．A正交，TA1A。6．A正交，AB也正交。七、对角阵1.A为方阵，TAA为反对称阵（AAT）。2.A为反对称阵：则*A为反对称阵(n为偶数)则*A为对称阵(n为奇数)则1A为反对称阵(0A)则AB反对称B对称且AB=BA3.*A为反对称阵,则1A也是反对称阵。4.A为对称阵，则*A也是对称阵。5*.实的反对称阵的i只能为0或bi形式。口诀：1、题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E。2、若涉及到A、B是否可交换，即AB＝BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。3、若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。第三章向量空间1、0AA的行（列）向量无关，0AA的行（列）向量相关口诀：1、若要证明一组向量α1,α2,…,αS线性无关，先考虑用定义再说。2、若已知AB＝0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。第四章特征值与特征向量一、重要公式1、niiA12、niiniiiatrA113、0iA可逆4、可逆阵A的每行之和为0a，则1A的一个特征值为1a，且对应的特征向量为11X5、kE-A的可逆性00AkEAkEkkii不可逆可逆的特征值为Ai6、A可逆且有n个无关的特征向量11,,AAAA有相同的n个无关的特征向量。7、)()();()(~BtrAtrBrArBA8、矩阵A1AkAmA*Af（A）APP1TAPP)(1TAB（A的初等变换）特征值1kmAf（）不定特征向量1PTP不一定是不定二、相似与对角化（A为n阶方阵）三、可对角化的判断方法1、A为实对称矩阵2、)(jiji有n个不同的iA有n个线性无关的特征向量A为实对称矩阵0)(XAIi有ik个无关解A的每一个ik重i有ik个线性无关的特征向量iiknAIR)(~A3、)()(重数为iiiikknAIR四、合同（可逆PAPPBT,，记作：AB）1、合同不一定有相同的i。2、A合同于B，则R（A）=R（B）且BA,同号，A、B有相同的正惯性指数。3、A合同于E，则A正定。五、A、B有相同的特征值)()(BRARA等价B为实对称阵BA,A、B对应正负惯性指数相同BA六、变换关系变换阵性质等价PAQ=BP、Q可逆秩不变相似BAPP1P可逆秩不变i不变BA，tr（A）=tr（B）正交相似BACC1C正交秩不变i不变BA，tr（A）=tr（B）合同BAPPTP可逆秩不变对称性不变口诀：1、若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。2、若已知A的特征向量ξ0，则先用定义Aξ0＝λ0ξ0处理一下再说。第五章二次型一、正负定判断：1、正定正惯性指数=nA的所有特征值0in个主子行列式的值都为正数A合同于E。2、负定负惯性指数=nA的所有特征值0in个主子行列式的值负正相间二、化二次型为标准型1、配方法2、合同变换法PEA3、特征值法口诀：若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。口诀第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E。第二句话：若涉及到A、B是否可交换，即AB＝BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。第三句话：若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。第四句话：若要证明一组向量α1,α2,…,αS线性无关，先考虑用定义再说。第五句话：若已知AB＝0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。第六句话：若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。第七句话：若已知A的特征向量ξ0，则先用定义Aξ0＝λ0ξ0处理一下再说。第八句话：若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。Return