【步步高】2015届高考数学总复习 第七章 7.2基本不等式课件 理 北师大版

数学北（理）第七章不等式、推理与证明§7.2基本不等式基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理1．基本不等式ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：.(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥(a，b∈R)．(2)ba＋ab≥(a，b同号)．(3)ab≤a＋b22(a，b∈R)．(4)a2＋b22≥a＋b22(a，b∈R)．a≥0，b≥0a＝b2ab2基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理3．算术平均数与几何平均数(1)设a≥0，b≥0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为.(2)基本不等式可叙述为：两个非负数的算术平均数它们的几何平均数；也可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．a＋b2ab不小于基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理4．利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值s24；(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2p.题号答案解析12345CC基础知识·自主学习D－2(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)√夯实基础突破疑难夯基释疑题型分类·深度剖析思维启迪解析答案思维升华【例1】(1)已知x0，y0，且2x＋y＝1，则1x＋1y的最小值为________；(2)当x0时，则f(x)＝2xx2＋1的最大值为________．题型一利用基本不等式求最值【例1】(1)已知x0，y0，且2x＋y＝1，则1x＋1y的最小值为________；(2)当x0时，则f(x)＝2xx2＋1的最大值为________．题型分类·深度剖析思维启迪解析答案思维升华利用基本不等式求最值可以先对式子进行必要的变换．如第(1)问把1x＋1y中的“1”代换为“2x＋y”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x”，再利用基本不等式．题型一利用基本不等式求最值【例1】(1)已知x0，y0，且2x＋y＝1，则1x＋1y的最小值为________；(2)当x0时，则f(x)＝2xx2＋1的最大值为________．题型分类·深度剖析思维启迪解析答案思维升华(1)∵x0，y0，且2x＋y＝1，题型一利用基本不等式求最值∴1x＋1y＝2x＋yx＋2x＋yy＝3＋yx＋2xy≥3＋22.当且仅当yx＝2xy时，取等号．(2)∵x0，∴f(x)＝2xx2＋1＝2x＋1x≤22＝1，当且仅当x＝1x,即x＝1时取等号．【例1】(1)已知x0，y0，且2x＋y＝1，则1x＋1y的最小值为________；(2)当x0时，则f(x)＝2xx2＋1的最大值为________．题型分类·深度剖析思维启迪解析答案思维升华3＋221题型一利用基本不等式求最值(1)∵x0，y0，且2x＋y＝1，∴1x＋1y＝2x＋yx＋2x＋yy＝3＋yx＋2xy≥3＋22.当且仅当yx＝2xy时，取等号．(2)∵x0，∴f(x)＝2xx2＋1＝2x＋1x≤22＝1，当且仅当x＝1x,即x＝1时取等号．【例1】(1)已知x0，y0，且2x＋y＝1，则1x＋1y的最小值为________；(2)当x0时，则f(x)＝2xx2＋1的最大值为________．题型分类·深度剖析思维启迪解析答案思维升华(1)利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．(2)在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式．题型一利用基本不等式求最值3＋221跟踪训练1(1)已知正实数x，y满足xy＝1，则(xy＋y)·(yx＋x)的最小值为________．(2)已知x，y∈R＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为________．解析(1)依题意知，(xy＋y)(yx＋x)＝1＋y2x＋x2y＋1≥2＋2y2x×x2y＝4，当且仅当x＝y＝1时取等号，题型分类·深度剖析故(xy＋y)·(yx＋x)的最小值为4.(2)∵x0，y0且1＝x3＋y4≥2xy12，43∴xy≤3.当且仅当x3＝y4时取等号．题型分类·深度剖析题型二不等式与函数的综合问题思维启迪解析答案思维升华【例2】(1)已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－∞，22－1)C．(－1,22－1)D．(－22－1,22－1)(2)已知函数f(x)＝x2＋ax＋11x＋1(a∈R)，若对于任意x∈N+，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是____________．【例2】(1)已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－∞，22－1)C．(－1,22－1)D．(－22－1,22－1)(2)已知函数f(x)＝x2＋ax＋11x＋1(a∈R)，若对于任意x∈N+，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是____________．题型分类·深度剖析对不等式恒成立问题可首先考虑分离题中的常数，然后通过求最值得参数范围．思维启迪解析答案思维升华题型二不等式与函数的综合问题【例2】(1)已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－∞，22－1)C．(－1,22－1)D．(－22－1,22－1)(2)已知函数f(x)＝x2＋ax＋11x＋1(a∈R)，若对于任意x∈N+，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是____________．题型分类·深度剖析(1)由f(x)0得32x－(k＋1)·3x＋20，解得k＋13x＋23x，而3x＋23x≥22(当且仅当3x＝23x，即x＝log32时，等号成立)，思维启迪解析答案思维升华∴k＋122，即k22－1.(2)对任意x∈N＋，f(x)≥3恒成立，即x2＋ax＋11x＋1≥3恒成立，即知a≥－(x＋8x)＋3.题型二不等式与函数的综合问题【例2】(1)已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－∞，22－1)C．(－1,22－1)D．(－22－1,22－1)(2)已知函数f(x)＝x2＋ax＋11x＋1(a∈R)，若对于任意x∈N+，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是____________．题型分类·深度剖析设g(x)＝x＋8x，x∈N＋，则g(2)＝6，g(3)＝173.∵g(2)g(3)，∴g(x)min＝173.∴－(x＋8x)＋3≤－83，∴a≥－83，故a的取值范围是[－83，＋∞)．题型二不等式与函数的综合问题思维启迪解析答案思维升华【例2】(1)已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－∞，22－1)C．(－1,22－1)D．(－22－1,22－1)(2)已知函数f(x)＝x2＋ax＋11x＋1(a∈R)，若对于任意x∈N+，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是____________．题型分类·深度剖析思维启迪解析答案思维升华题型二不等式与函数的综合问题设g(x)＝x＋8x，x∈N＋，则g(2)＝6，g(3)＝173.∵g(2)g(3)，∴g(x)min＝173.∴－(x＋8x)＋3≤－83，∴a≥－83，故a的取值范围是[－83，＋∞)．[－83，＋∞)B【例2】(1)已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－∞，22－1)C．(－1,22－1)D．(－22－1,22－1)(2)已知函数f(x)＝x2＋ax＋11x＋1(a∈R)，若对于任意x∈N+，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是____________．题型分类·深度剖析(1)af(x)恒成立⇔a(f(x))max，af(x)恒成立⇔a(f(x))min；(2)求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性．思维启迪解析答案思维升华题型二不等式与函数的综合问题[－83，＋∞)B跟踪训练2若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈(0，12)成立，则a的最小值是()A．0B．－2C．－52D．－3解析方法一设f(x)＝x2＋ax＋1，则对称轴为x＝－a2.题型分类·深度剖析当－a2≥12，即a≤－1时，f(x)在(0，12)上是减函数，应有f(12)≥0⇒a≥－52，∴－52≤a≤－1.当－a2≤0，即a≥0时，f(x)在(0，12)上是增函数，应有f(0)＝10恒成立，故a≥0.跟踪训练2若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈(0，12)成立，则a的最小值是()A．0B．－2C．－52D．－3当0－a212，即－1a0时，题型分类·深度剖析应有f(－a2)＝a24－a22＋1＝1－a24≥0恒成立，故－1a0.综上，a≥－52，故选C.方法二当x∈(0，12)时，不等式x2＋ax＋1≥0恒成立转化为a≥－(x＋1x)恒成立．跟踪训练2若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈(0，12)成立，则a的最小值是()A．0B．－2C．－52D．－3又φ(x)＝x＋1x在(0，12)上是减函数，题型分类·深度剖析∴φ(x)min＝φ(12)＝52，∴[－(x＋1x)]max＝－52，∴a≥－52.C题型三基本不等式的实际应用【例3】某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？思维启迪思维升华解析题型分类·深度剖析【例3】某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？思维升华解析思维启迪题型分类·深度剖析把铁栅长、砖墙长设为未知数，由投资3200元列等式，利用基本不等式即可求解．题型三基本不等式的实际应用【例3】某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？思维启迪思维升华解析解设铁栅长为x米，一侧砖墙长为y米，则顶部面积S＝xy，题型分类·深度剖析题型三基本不等式的实际应用依题设，得40x＋2×45y＋20xy＝3200，由基本不等式得3200≥240x·90y＋20xy＝120xy＋20xy＝120S＋20S，则S＋6S－160≤0，【例3】某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？思维启迪思维升华解析即(S－10)(S＋16)≤0，题型分类·深度剖析题型三基本不等式的实际应用故0S≤10，从而0S≤100，所以S的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x＝90y且xy＝100，解得x＝15，即铁栅的长应设计为15米．【例3】某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S的