高考数学一轮单元复习：第67讲 不等式的性质及绝对值不等式

│不等式的性质及绝对值不等式│知识梳理知识梳理1．不等式的基本性质：(1)如果a＞b，那么，如果b＜a，那么(对称性)．(2)如果a＞b，b＞c，那么，即a＞b，b＞c.(3)如果a＞b，那么，即a＞b.推论：如果a＞b，c＞d，那么，即a＞b，c＞d.(4)如果a＞b，c＞0，那么；如果a＞b，c＜0，那么.b＜aa＞ba＞ca＞ca＋c＞b＋ca＋c＞b＋c.a＋c＞b＋da＋c＞b＋dac＞bcac＜bc│知识梳理(5)如果a＞b＞0，那么(n∈N，且n＞1)．(6)如果a＞b＞0，那么(n∈N，且n＞1)．2．基本不等式(1)如果a，b∈R，那么，当且仅当时，等号成立．(2)如果a，b＞0，那么，当且仅当a＝b时，等号成立．(3)如果a，b都是正数，就称a＋b2为a，b的，ab为a，b的.(4)如果a，b，c∈R＋，那么，当且仅当时，等号成立．an＞bnna＞nba2＋b2≥2aba＋b2≥ab算术平均数几何平均数a＝b＝ca＝ba＋b＋c3≥3abc│知识梳理(5)对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即，当且仅当时，等号成立．3．绝对值不等式(1)如果a，b∈R，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当时，等号成立．(2)如果a，b，c∈R，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当时，等号成立．a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…ana1＝a2＝…＝anab≥0(a－b)(b－c)≥0│要点探究要点探究►探究点1不等式的基本性质例1对于实数a，b，c，判断下列命题的真假：(1)若ac2bc2，则ab；(2)若ab0，则a2abb2；(3)若ab0，则abba；(4)若cab0，则ac－abc－b；(5)若ab，1a1b，则a0，b0.【思路】用不等式的性质判断．│要点探究【解答】(1)真命题，∵ac2bc2，c20，1c20，由不等式性质得ac2·1c2bc2·1c2，∴ab.(2)真命题，∵ab，a0，∴a2ab.∵ab，b0，∴abb2，∴a2abb2.(3)真命题，∵ab0，∴－a－b0，∴(－a)2(－b)2，即a2b2.又∵ab0，∴1ab0，∴a2·1abb2·1ab，∴abba.│要点探究(4)真命题，∵ab，∴－a－b，又∵cab0，∴0c－ac－b.∴1c－a1c－b，∴ac－abc－b.(5)真命题，∵ab,∴b－a0，又∵1a1b，∴1a－1b0，即b－aab0，∴ab0，又∵ab，∴a0，b0.│要点探究【点评】在符号判断中，若ab，则－a－b，常用它变换符号判断问题．不等式的基本性质是判断不等式关系的重要方法，它要求我们必须准确把握不等式性质，在推理过程中使每一步变形都有不等式性质做依据，并注意不等式性质的条件是结论的充分条件还是必要条件．下面设计一变式训练．│要点探究变式题已知三个不等式ab＞0，bc－ad＞0，ca－db＞0(其中a，b，c，d均为实数)．用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3│要点探究【解答】D把三个不等式编号，记ab＞0为①，bc－ad＞0为②，ca－db＞0为③.若①②成立，则1ab(bc－ad)＞0，即ca－db＞0，于是③成立．若①③成立，则abca－db＞0，即bc－ad＞0，于是②成立．若②③成立，则由③得bc－adab＞0，又由②bc－ad＞0，得ab＞0即①成立．故正确命题的个数是3个．│要点探究►探究点2基本不等式的应用例2若ab0，且A(a,0)、B(0，b)、C(－2，－2)三点共线，求ab的最小值．【思路】先由三点共线建立a、b的关系式，再用基本不等式求解最值．│要点探究【解答】根据题意得2a＋2＝b＋22，即ab＝－2(a＋b)．∵ab0，∴a0，b0，∴a＋b≤－2ab，∴ab≥4ab，∴ab≥4或ab≤0(舍)．∴ab≥16，当且仅当a＝b＝－4时，等号成立．∴abmin＝16.【点评】本例较好地体现了利用基本不等式求最值时应充分考虑成立条件，即一正二定三等．不过首先需由三点共线推出a、b的关系式，利用斜率公式可得．│要点探究│要点探究变式题已知cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1，则sinαsinβsinγ的最大值为________．【思路】利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式．常用的初等变形有均匀裂项、增减项、配系数等.利用均值不等式还可以证明条件不等式，关键是如何恰当地利用好条件．本题中目标函数为积式，而cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1为隐含的条件等式，故需创造条件使各因式之和为定值．│要点探究【答案】269【解析】sin2αsin2βsin2γ≤sin2α＋sin2β＋sin2γ33＝3－cos2α－cos2β－cos2γ33＝3－133＝827.所以|sinαsinβsinγ|≤269，故sinαsinβsinγ的最大值为269.│要点探究►探究点3绝对值不等式的性质例3(1)若|a|1，|b|1，比较|a＋b|＋|a－b|与2的大小，并说明理由；(2)设m是|a|，|b|和1中最大的一个，当|x|m时，求证：ax＋bx22.【思路】(1)平方变形；(2)利用绝对值不等式放缩．│要点探究【解答】(1)不妨设|a|≥|b|，则(|a＋b|＋|a－b|)2＝2(a2＋b2)＋2|a2－b2|＝4a24，所以|a＋b|＋|a－b|2.(2)ax＋bx2≤ax＋bx2am＋bm2am＋bm2.【点评】|a±b|≤|a|＋|b|，从左到右是一个不等式放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值．本题是绝对值不等式性质的简单应用．绝对值三角不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件．│要点探究│要点探究变式题[2009·靖江模拟]设f(x)＝x2－x＋1，实数a满足|x－a|＜1，求证：|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1)．【思路】变形使其能运用绝对值不等式证明．【解答】∵f(x)＝x2－x＋1，∴|f(x)－f(a)|＝|x2－x－a2＋a|＝|x－a|·|x＋a－1|，∵|x－a|＜1，∴|f(x)－f(a)|＝|x－a|·|x＋a－1||x＋a－1|＝|(x－a)＋2a－1)|≤x－a＋2a－11＋2a＋1＝2(a＋1).【点评】||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|是直接证明含有绝对值不等式的重要依据，有些情况下，需将绝对值运算符号去掉，将问题转化后解决．条件|x－a|＜1在本题的求解过程中的运用也是本题的一个特色．│要点探究│要点探究例4[2009·福建卷]解不等式：|2x－1||x|＋1.【思路】脱去绝对值符号化为分类讨论来求解，或利用绝对值是数轴上两点间距离的几何意义来解决．►探究点4绝对值不等式的解法│要点探究【解答】当x0时，原不等式可化为－2x＋1－x＋1，解得x0，又∵x0，∴x不存在；当0≤x12时，原不等式可化为－2x＋1x＋1，解得x0，又∵0≤x12，∴0x12；当x≥12时，原不等式可化为2x－1x＋1，解得x2，又∵x≥12，∴12≤x2，综上，原不等式的解集为{x|0x2}．【点评】解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值符号，处理的方法通常是定义、平方、几何意义等方法．对含多个绝对值符号的不等式一般利用”零点分割”法分段讨论．本题是绝对值不等式的简单应用．利用去绝对值符号的两种方法，可以解含有绝对值符号的不等式，也可以转化为求最值或求参数范围．下面的变式训练是含参数的绝对值不等式的求解问题│要点探究│要点探究变式题关于x的不等式x－1＋x－2≤a2＋a＋1的解集为空集，则实数a的取值范围是________．【答案】(－1,0)│要点探究【解析】方法1：由绝对值三角不等式的性质得x－1＋x－2≥(x－1)－(x－2)＝1，∴要使关于x的不等式x－1＋x－2≤a2＋a＋1的解集为空集，则需a2＋a＋11，解得－1a0.方法2：设f(x)＝x－1＋x－2，则f(x)＝－2x＋3，x11，1≤x≤22x－3，x2画出此函数的图象可知，f(x)≥1，∴要使关于x的不等式x－1＋x－2≤a2＋a＋1的解集为空集，则需a2＋a＋11，解得－1a0.│规律总结规律总结1．运用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的条件，若弱化了条件或强化了条件都可能得出错误的结论．使用不等式性质解题时，要搞清性质成立的条件，明确各步推理的依据，以防出现解题失误．2．利用基本不等式求最值时应充分考虑成立条件，即“一正二定三相等”．在运用基本不等式时，活用“1”，巧用“1”，解法就会非常简洁．尤其是有条件的不等式求最值时，活用“1”可创造条件，转化为均值不等式的基本形式，从而求解．│规律总结3．解绝对值不等式，关键是去掉绝对值，同时也可利用图象法找出解集．解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值符号，处理的方法通常是定义、平方、几何意义等方法．对含多个绝对值符号的不等式一般利用“零点分割”法分段讨论．