高考数学一轮复习 9.2算法案例 精品导学案

2011版高三数学一轮精品复习学案：第九章算法初步第二节算法案例【高考目标定位】一、考纲点击1.了解几个古代算法案例，能利用辗转相除法及更相减损术求最大公约数；2.用秦九韶算法求多项式的值;3.了解进位制,会不同进位制间的相互转化.二、热点提示1.通过案例分析,加深对算法思想以及对程序框图三种基本逻辑结构的理解;2.命题时会以简单的小题出现,考查典型案例所体现的算法原理,如求两数最大公约数的方法,进位制的转换等.【考纲知识梳理】1.辗转相除法是用于求两个数的最大公约数的一种方法,这种算法是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的,因而又叫欧几里得算法.2.更相减损术的定义任给两个正整数(若是偶数,先用2约简),以较大的数减去较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小数,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.注:辗转相除法和更相减损术的区别和联系是:更相减损术与辗转相除法算法不同,但二者的算法理论是相似的,主要区别在于辗转相除法进行的是除法运算,而更相减损术进行的是减法运算,实质都是一个递归的过程.3.秦九韶算法秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶在他的代表作《数学书九章》中提出的一种用于计算一元n次多项式的值的方法。注：秦九韶算法的特点是：（1）化高次多项式求值为一次多项式求值；（2）减少了运算次数，提高了效率；（3）步骤重复执行，容易用计算机实现。4.进位制进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统,“满几进一”就是几进制,几进制的基数就是几.5.排序排序的算法很多，课本主要介绍里两种排序方法：直接插入排序和冒泡排序（1）直接插入排序在日常生活中，经常碰到这样一类排序问题：把新的数据插入到已经排好顺序的数据列中。例如：一组从小到大排好顺序的数据列{1，3，5，7，9，11，13}，通常称之为有序列，我们用序号1，2，3，……表示数据的位置，欲把一个新的数据8插入到上述序列中。完成这个工作要考虑两个问题：（1）确定数据“8”在原有序列中应该占有的位置序号。数据“8”所处的位置应满足小于或等于原有序列右边所有的数据，大于其左边位置上所有的数据。（2）将这个位置空出来，将数据“8”插进去。对于一列无序的数据列，例如：{49，38，65，97，76，13，27，49}，如何使用这种方法进行排序呢？基本思想很简单，即反复使用上述方法排序，由序列的长度不断增加，一直到完成整个无序列就有序了首先，{49}是有序列，我们将38插入到有序列{49}中，得到两个数据的有序列：{38，49}，然后，将第三个数据65插入到上述序列中，得到有序列：{38，49，65}…………按照这种方法，直到将最后一个数据65插入到上述有序列中，得到{13，27，38，49，49，65，76，97}这样，就完成了整个数据列的排序工作。注意到无序列“插入排序算法”成为了解决这类问题的平台（2）冒泡法排序所谓冒泡法排序，形象地说，就是将一组数据按照从小到大的顺序排列时，小的数据视为质量轻的，大的数据视为质量沉的。一个小的数据就好比水中的气泡，往上移动，一个较大的数据就好比石头，往下移动。显然最终会沉到水底，最轻的会浮到顶，反复进行，直到数据列排成为有序列。以上过程反映了这种排序方法的基本思路。我们先对一组数据进行分析。设待排序的数据为：{49，38，65，97，76，13，27，49}排序的具体操作步骤如下：1．将第1个数与右边相邻的数38进行比较，因为3849，49应下沉，即向右移动，所以交换他们的位置，得到新的数据列：{38，49，65，97，76，13，27，49}2．将新数据列中的第2个数49与右边相邻的数65进行比较，因为6549，所以顺序不变，得到新的数据列：{38，49，65，97，76，13，27，49}3．将新数据列中的第3个数65与右边相邻的数97进行比较，因为9765，所以顺序不变，得到新的数据列：{38，49，65，97，76，13，27，49}4．将新数据列中的第4个数97与右边相邻的数76进行比较，因为7697，97应下沉，所以顺序不变，得到新的数据列：{38，49，65，76，97，13，27，49}5．将新数据列中的第5个数97与右边相邻的数13进行比较，因为1397，97应下沉，所以顺序改变，得到新的数据列：{38，49，65，76，13，97，27，49}6．将新数据列中的第6个数97与右边相邻的数27进行比较，因为2797，97应下沉，所以顺序改变，得到新的数据列：{38，49，65，76，13，97，27，49}7．将新数据列中的第7个数97与右边相邻的数49进行比较，因为4997，97应下沉，所以顺序改变，得到新的数据列：{38，49，65，76，13，97，49，27}我们把上述过程称为一趟排序。其基本特征是最大的数据沉到底，即排在最左边位置上的数据是数组中最大的数据。反复执行上面的步骤，就能完成排序工作，排序过程不会超过7趟。这种排序的方法称为冒泡排序。上面的分析具有一般性，如果数据列有n个数据组成，至多经过n－1趟排序，就能完成整个排序过程【热点难点精析】(一)求两个数的最大公约数※相关链接※1.辗转相除法就是用大数除以小数,再用小数除以余数,直到较大的余数能被较小的余数整除为止,这个较小的余数就是所求的最大公约数.2.更相减损术是大数减去小数,直到大数减小数的差等于小数时停止减法,较小的数就是最大公约数.(1)更相减损术的算法步骤:(以求a,b两整数的最大公约数为例)第一步:输入两个正整数a,b;第二步:若a不等于b,则执行第三步;否则执行第四步;第三步:若ab,则a=a-b;否则b=b-a,返回第二步;第四步:输出a.(2)程序框图如图所示:注:更相减损术的步骤较多,而辗转相除法的步骤较少,解题时应灵活运用.※例题解析※〖例〗(1)用辗转相除法求840与1760的最大公约数;(2)用更相减损术求440与556的最大公约数.思路解析:比较明确的用两种方法求最大公约数,严格按辗转相除法与更相减损术的操作步骤来求,计算时要仔细.解答:(1)利用辗转相除法1764=840×2+84,840=84×10,所以840与1764的最大公约数为84.(2)利用更相减损术556-440=116,440-116=324,324-116=208,208-116=92,116-92=24,92-24=68,68-24=44,44-24=20,24-20=4,20-4=16,16-4=12,12-4=8,8-4=4,所以440与556的最大公约数为4.(二)利用秦九韶算法求一元多项式的值※相关链接※1.秦九韶算法用程序框图和程序表示(1)程序框图(2)程序注:用秦九韶算法求n次多项式1110()nnnnfxaxaxaxa当0xx(0x是任意实数)时的值,需要n次乘法运算,n次加法运算.2.利用秦九韶算法计算多项式的值,关键是能正确地将所给多项式改写,然后由内向处逐次计算,由于每步计算都是相关联的,因此计算一定要细心准确,更不能漏项.※例题解析※〖例〗用秦九韶算法求多项式765432()765432fxxxxxxxx在3x时的值.思路解析:(1)该多项式有七项,注意没有常数项;(2)首先把多项式改写成含有多个一次多项式的格式.解答:()((((((76)5)4)3)2)1),fxxxxxxxx012344567,73627,273586,8634262,26233789,789322369,2369317108,7108321324,(3)21324vvvvvvvvf（三）进位制的转换〖例〗（1）把十进制数168化为八进制数；（2）把五进制数33（5）化为二进制数。思路解析：（1）由十进制数转化为八进制数除8取余数；（2）把五进制转化为二进制数，先把五进制数转化为十进制数，再由十进制数转化为二进制数。解答：（1）∴168=(8)250（2）0(5)33353515318∴18=(2)10010，∴(5)33=(2)10010注：（1）将k进制数化为十进制数的方法：先把k进制数写成用各位上的数字与k的幂的乘积的形式，再按照十进制的运算计算出结果。（2）将十进制的数化为k进制的数的方法是，除k取余数，即用k连续去除十进制数或所得的商，直到商为零为止，然后把各步得到的余数从下到上写出，就是相应的k进制的数。（3）k进制之间的转化，先化成十进制，再转化为k进制。【感悟高考真题】1．（2010浙江理数）（2）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内位（A）k＞4?（B）k＞5?（C）k＞6?（D）k＞7?解析：选A，本题主要考察了程序框图的结构，以及与数列有关的简单运算，属容易题2．（2010广东理数）13.某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中n位居民的月均用水量分别为x1…xn(单位：吨)，根据图2所示的程序框图，若n=2,且x1，x2分别为1,2，则输出地结果s为.13．填32．11.51.5263442s．3．（2010广东文数）11.某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为（单位：吨）。根据图2所示的程序框图，若分别为1，1.5，1.5，2，则输出的结果s为23.第一（1i）步：11011ixss第二（2i）步：5.25.1111ixss第三（3i）步：45.15.211ixss第四（4i）步：62411ixss，23641s第五（5i）步：45i，输出23s【考点精题精练】1.如果执行右面的程序框图，那么输出的S（）A．22B．46C．94D．190答案C2.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4B．5C．6D．7【解析】对于0,1,1ksk，而对于1,3,2ksk，则2,38,3ksk，后面是113,382,4ksk，不符合条件时输出的4k．答案A3.程序框图上（右）（即算法流程图）如图所示，其输入结果是_______【解析】根据流程图可得a的取值依次为1、3、7、15、31、63……答案127点评：秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0的求值问题。直接法乘法运算的次数最多可到达2)1(nn，加法最多n次。秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多n次，加法最多n次。4.下列对算法特征的认识正确的是()(A)任何算法都能解决所有计算问题(B)算法是一种计算的方法(C)任何算法都是可以重复使用的(D)特殊算法可以没有确定结果【解析】选C.因为算法具有普遍性，它可以解决某一类问题.5.早上从起床到出门需要洗脸刷牙（5min）、刷水壶（2min）、烧水（8min）、泡面（3min）、吃饭（10min）、听广播（8min）几个步骤.下列选项中最好的一种算法是（）（A）洗脸刷牙、刷水壶、烧水、泡面、吃饭、听广播（B）刷水壶、烧水同时洗脸刷牙、泡面、吃饭、听广播（C）刷水壶、烧水同时洗脸刷牙、泡面、听广播、吃饭（D）吃饭同时听广播、泡面、烧水同时洗脸刷牙、刷水壶【解析】选B.根据日常经验及时间分配可知结果.6.294与84的最大公因数为（）(A)42(B)21(C)14(D)588【解析】选A.294=42×7,84=42×2.7.计算下列各式中的S值，能设计算法求解是（）①S=1+2+3+…+100；②S=1+2+3+…+100+…；③S=1+2+3+…+n(n≥1且n∈N).（A）①②（B）①③（C）②③（D）①②③【解析】选B.由算法的有限性知.8.与二进制数110（2）对应的十进制数是（）（A）110（B）4（C）5（D）6