34随机变量的数字特征

第四章随机变量的数字特征一个随机变量的性质，完全由它的分布函数所确定，但在实际问题中，常常很难求出随机变量的分布函数;另一方面，在某些问题中也并不需要知道其分布函数，只要知道随机变量的某些特征就够了。例如：评定某工厂生产的一批灯泡的质量，一般是评定灯泡的寿命，寿命是随机变量，通常只需知这批灯泡的平均寿命以及相对于这个平均寿命的偏离程度就够了。本章将介绍随机变量的常用数字特征：数学期望、方差、相关系数和矩.例:在一次测验中，10名学生有2人得70分，5人得80分，3人得90分，那么他们的平均成绩为81分，具体计算方法为：8130905080207010390580270...)(若将10个学生中任一个人的测验成绩看成随机变量X，则X的分布律为X708090P0.20.50.3上面平均分算式的右端正好是X的各个可能取值与相应概率乘积之和，所以由,称为X的数学期望,数学期望是能够体现随机变量取值的平均数。kkkxXPx}{§1数学期望一、数学期望的定义.,2,1,}{kpxXPXkk的分布律为设离散型随机变量定义：).X(EXpxpxkkkkkk望，记为的数学期的和为绝对收敛，则称如果级数11.)(1kkkpxXE即),(xfX的概率密度为设连续型随机变量).X(EXdx)x(fxdx)x(fx的数学期望，记为的值为绝对收敛，则称如果积分.)()(dxxfxXE即1kkkpxdx)x(fx注:数学期望是最基本的数字特征，数学期望是能够体现随机变量取值的平均数,数学期望简称期望，又称为均值。例:买一张奖卷能获得的奖金数X服从如下分布X0210100100010000P求“期望”的奖金数就是X的平均值。)(12.02.02.02.02.00)(元XE.px)X(Ekkk11)若将5个装置串联成整机，求整机寿命N的数学期望；2)若将5个装置并联成整机，求整机寿命M的数学期望。概率密度为服从同一指数分布，其装置，它们的寿命个相互独立工作的电子有例题：)5,4,3,2,1(5kXk.0,0,0,0,1)(/xxexfx.0,0,0,1)()51(/xxexFkXxk的分布函数为解：的分布函数为则),,,min().1521XXXN.0,0,0,1)](1[1)(/55minxxexFxFx.dx)x(fx)X(E.0x,0,0x,e5)x(f/x5min.0,0,0,5)(/5minxxexfNx的概率密度为所以.55)()(0/5mindxexdxxfxNEx的分布函数为)X,,X,X(MaxM521.0,0,0,]1[)]([)(5/5maxxxexFxFx.0x,0,0x,e]e1[5)x(fM/x4/xmax的概率密度为所以.60137]1[5)()(0/4/maxdxeexdxxfxMExx.dx)x(fx)X(E2)若将5个装置并联成整机，求整机寿命M的数学期望。.x,,x,e)x(F/x0001例、某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式。记使用寿命为X（以年记），规定：设寿命X服从指数分布，概率密度为试求该商店销售一台的收费Y的数学期望。.0,0,0,101)(10/xxexfx.3000,32500,322000,211500,1元一台付款元；一台付款元，一台付款元；一台付款XXXXY1500200025003000p.px)X(Ekkk1740801013300030103.edxe}X{P}Y{P./x于是0861.020000952.01500)(YE).(15.27327408.030000779.02500元0779010132250030201032.eedxe}X{P}Y{P../x0861010121200020101021.eedxe}X{P}Y{P../x09520110111500101010.edxe}X{P}Y{P./x.3000,32500,322000,211500,1元一台付款元；一台付款元，一台付款元；一台付款XXXX.0,0,0,101)(10/xxexfx二、一维随机变量的函数的数学期望[X,E(g(X))?].),(是连续函数是随机变量，设定理：gXgYX.,2,1,}{).1kpxXPXkk是离散型随机变量，绝对收敛，则有若kkkpxg1)(.)()]([)(1kkkpxgXgEYE),().2xfX概率密度为是连续型随机变量，绝对收敛，则有若dxxfxg)()(dxxfxgXgEYE)()()]([)()(证明超过范围，略说明:在已知Y是X的连续函数前提下,当我们求E(Y)时不必知道Y的分布,只需知道X的分布就可以了.例:设随机变量X的分布律为X-202P0.40.30.3).53(),(),(22XEXEXE求：,2.03.023.004.02)X(E)1(解：,8.23.023.004.0)2()X(E2222方法二：.4.133.0]523[3.0]503[4.0]5)2(3[)5X3(E)3(2222.)()]([)(1kkkpxgXgEYEY40P0.70.3令Y=2XE(Y)=4*0.7+0*0.3＝2.8(2)方法一：2xY404.0,0,0,)(xxexfXx的概率密度为例题：设随机变量.22的数学期望和求XeYXYdxxxfXE)(2)2(解：02dxexx0.22dxex0xx2x2X2dxeedx)x(fe)e(E.3103dxexdxxfxgXgEYE)()()]([)()e(E)2(;XE)1(),(N~Xx2，求例：设dxxe21xE222)x(dx)x(e21dx)x(e2122222)x(2)x(tdxe21tdxe2122222t02t0tx令)2t(de212)2t(de2222t0222t022222)e(Exdxe21dxee21x2)x(x2)x(2222)(xde21e22)](x[222222dte21e2t22)(xt222令222e例:假定国际市场每年对我国某种商品的需求量是一个随机变量X(单位:吨),它在区间[2000,4000]上服均匀分布.已知每售出一吨该商品就可赚得外汇3万美元；但若销售不出去,则每吨需存储费用1万美元,那么，外贸部门每年应组织多少货源才能使收益的期望值最大？则有.kX,k3,kX,1)Xk(X3)X(gY.,3,,4kXkkXkX.Yk为收益为应组织的货源，解：设dxxfxgYEX)()()(40002000320001)4(20001kkkdxdxkx)1027000(1000162kk.3500吨该种商品所以应组织.,0,4000X2000,20001)x(fX其它3500k4000kk200040002000dx20001)x(gdx20001)x(gdx20001)x(g三、二维随机变量函数的数学期望[(X,Y),E(g(X,Y))?].),,(),(是连续函数是随机变量，设定理：gYXgZYX.,2,1,,},{),().1jipyYxXPYXijji是离散型随机变量，则有11),()],([)(jijijipyxgYXgEZE),,(),().2yxfYX概率密度为是连续型随机变量，则有dxdyyxfyxgYXgEZE),(),()],([)(说明:在已知Z是X,Y的连续函数前提下,当我们求E(Z)时不必知道Z的分布,只需知道(X,Y)的分布就可以了.11),()],([)(jijijipyxgYXgEZE例:设(X,Y)的分布律为0.40.20.40.112310-1(1)E(X),E(Y);(2)Z=Y/X,求E(Z);(3)Z=XY,求E(Z)解:方法一：(1)E(X)=1*0.4+2*0.2+3*0.4=2E(Y)=-1*0.3+0*0.4+1*0.3=0(1)E(X)=0.2*1+0.1*2+0*0.3+0.1*1+0*2+0.3*3+0.1*1+0.1*2+0.1*3=2E(Y)=0.2*(-1)+0.1*(-1)+0*(-1)+0.1*0+0*0+0.3*0+0.1*1+0.1*1+0.1*1=0(2)E(Y/X)=0.2*(-1/1)+0.1*(-1/2)+0.0*(-1/3)+…+0.1*(1/3)=-1/15(3)E(XY)=0.2*(-1*1)+0.1*(-1*2)+0.0*(-1*3)+…+0.1*(1*3)=0.2方法二：21)1(2xyxydxdyyxfxXE),()(解：dxydyx610)x1(202dxyxx10)1(202226,5/2)1(121022dxxx的概率密度为例题：设),(YX,,0),1(20,10,6),(其它xyxxyyxf).(),(YEXE求dxdyyxfyYE),()(dxdyxy610)x1(202.5/4dxdyyxfyxgYXgEZE),(),()],([)(的概率密度为例题：设),(YX,,0,1,1,23),(23其它xyxxyxyxf).1(XYE求dxdyyxfxyXYE),(1)1(解：dxdyyx231xx/134dxyxxx/11242235343203]21[1431224dxxxxyxy=1/xy=x1dxdyyxfyxgYXgEZE),(),()],([)(四、数学期望的性质为常数，CCCE,)().1为常数，CXCECXE),()().2),()()().3YEXEYXE个随机变量，是推广：设nXXXn,,,21),()()()(2121nnXEXEXEXXXE则),()()(,).4YEXEXYEYX相互独立，则有设相互独立，推广：设nXXX,,,21),()()()(2121nnXEXEXEXXXE则以证明。仅对连续型随机变量加证明：).X(CEdx)x(fxCdx)x(fCx)CX(E)2.Cdx)x(fCdx)x(fC)C(E)1dxxfxgXgEYE)()()]([)(dxdyyxfyxYXE),()()(dxdyyxyfdxdyyxxf),(),()()(YEXE16)()(),(,yfxfyxfYXYX