高中数学 2-1第1课时 数列的概念与简单表示法精品课件新人教A版必修5

第二章解三角形第一节数列的概念与简单表示法第一课时数列的概念与通项公式第1课时数列的概念与通项公式•1.通过实例，了解数列概念．•2.理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型，了解数列的几种分类．3•.了解数列与函数之间的关系，体会数列之间变量的依赖关系.•1.对数列概念的考查是本课的热点．•2.本课内容常与函数、不等式结合命题．•3.多以选择题、解答题的形式考查.•1．任意取一个四位数，如a1＝2341，先把组成这个四位数的4个数字，从大到小排列得到a2＝4321，再从小到大排列，得到a3＝1234，作差a2－a3＝4321－1234＝3087.将3087重复上述方法得：a4＝8730，a5＝378，•作差：a4－a5＝8730－378＝8352，•再重复一次：a6＝8532，a7＝2358，作差：a6－a7＝8532－2358＝—出现了！若再重复：a8＝7641，a9＝1467，作差：a8－a9＝7641－1467＝.•“6174”这个神秘的数又出现了！•这些数构成了一个特殊的数列，多神奇呀！等着你去探索呢！•2．考察下面的问题：•(1)人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为1740,1823,1906,1989,2072，….(2)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．如果将“一尺之棰”视为1份，那么每日剩下的部分依次为12，14，18，116，132，….(3)从1984年到2008年我国共参加了7次奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为：15,5,16,16,28,32,52.这些问题有什么共同的特点？•1．数列及其有关概念•(1)数列：按照一定排列着的一列数称为数列．•(2)项：数列中的叫做这个数列的项，第1项通常也叫做，若是有穷数列，最后一项也叫做．•2．数列的表示•数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，•简记为，这里n是．顺序每个数首项末项{an}项数•3．数列的分类•(1)按项的个数分类类别含义数列项数有限的数列数列项数无限的数列有穷无穷•(2)按项的变化趋势分类类别含义递增数列从第2项起，每一项都它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都它的前一项的数列常数列各项的数列摆动数列从第2项起，有些项它的前一项，有些项小于它的前一项的数列大于小于大于•4.数列的通项公式•如果数列{an}的第n项与之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的．序号n通项公式相等1．下列说法中，正确的是()A．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}B．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列C．数列n＋1n的第k项为1＋1kD．0,1,2,4,6,8，…可记为{2n－1}解析：A错，{1,3,5,7}是集合．B错，是两个不同的数列，顺序不同．C正确，ak＝k＋1k＝1＋1k.D错，an＝2n－2n≥20n＝1.答案：C•2．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于()•A．28B．32•C．33D．27•解析：∵5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，依此类推，•则x－20＝12，•∴x＝32，满足47－32＝15，故选B.•答案：B3．已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋1n2＋1，则a4＝________，1126是这个数列的第________项．解析：a4＝2×4＋142＋1＝9172n＋1n2＋1＝1126，∴11n2－52n－15＝0.∴n＝5或n＝－311(舍去)．答案：91754．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．(1)1,3,5,7，…；(2)0,3,8,15,24，…；(3)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；(4)22－12，32－13，42－14，52－15，….解析：(1)这个数列的前4项都是序号的2倍减去1，所以它的一个通项公式是an＝2n－1.(2)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，发现an＝n2－1，所以它的一个通项公式是an＝n2－1.(3)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an＝(－1)n1nn＋1.(4)这个数列的前4项的分母都是序号加1，分子都是分母的平方减去1，所以它的一个通项公式是an＝n＋12－1n＋1.已知下列数列：(1)1，12，13，…，1n，…；(2)1,3,32，…，363；(3)1，－23，35，…，－1n－1·n2n－1，…；(4)0,10,20，…，1000；(5)8,8,8，…；(6)1，－1,1，－1，….•填充下面的表格名称序号有穷数列无穷数列递增数列递减数列常数列摆动数列•由题目可获取以下主要信息：•①注意省略号“…”及其位置；•②观察数列的项的变化趋势与规律；•③利用数列的通项公式．•解答本题要紧扣数列的有关概念完成判断．•[解题过程](1)是无穷递减数列；•(2)是有穷递增数列；•(3)是摆动数列也是无穷数列；•(4)是有穷递增数列；•(5)是无穷常数列；•(6)是无穷摆动数列．•答案：(2)(4)(1)(3)(5)(6)(2)(4)(1)(5)(3)(6)•[题后感悟]若数列{an}满足anan＋1，则是递增数列；若数列{an}满足anan＋1，则是递减数列．解答本题应体现出“概念优先”原则．1.已知下列数列：(1)2000,2004,2008,2012；(2)0，12，23，…，n－1n，…；(3)1，12，14，…，12n－1，…；(4)1，－23，35，…，－1n－1·n2n－1，…；(5)1,0，－1，…，sinnπ2，….•其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，摆动数列是________，周期数列是________．(将合理的序号填在横线上)解析：(1)是有穷递增数列；(2)是无穷递增数列因为n－1n＝1－1n；(3)是无穷递减数列；(4)是摆动数列，也是无穷数列；(5)是摆动数列，是无穷数列，也是周期数列，最小正周期为4.答案：(1)(2)(3)(4)(5)(1)(2)(3)(4)(5)(5)写出下列数列的一个通项公式，使其前几项分别是下列各数：(1)3,0，－3,0,3,0，－3,0，…；(2)3，3，15，21，33，…；(3)0.9,0.99,0.999,0.9999，…；(4)32，1，710，917，….[解题过程](1)数列的各项具有周期性，联想基本数列1,0，－1,0，…，则an＝3sinnπ2；(2)数列可化为3，9，15，21，27，即3×1，3×3，3×5，3×7，3×9，…，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因式为常数3，后一个因数为2n－1，故原数列的通项公式为an＝3×2n－1；(3)将数列变形为1－0.1,1－0.01,1－0.001,1－0.0001，…∴an＝1－10－n＝1－110n；(4)将数列统一为32，55，710，917，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16，…即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，∴可得原数列的一个通项公式为an＝2n＋1n2＋1.•[题后感悟]根据数列的前几项写通项公式，体现了由特殊到一般的认识事物的规律．解决这类问题一定要注意观察项与项数的关系和相邻项间的关系．•具体可参考以下几个思路：•①先统一项的结构，如都化成分数、根式等．•②分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式．•③对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(－1)k处理符号．•④对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．2.写出下列数列的一个通项公式．(1)12，23，34，45，…；(2)－1,2，－3,4，…；(3)－1,7，－13,19，…；(4)9,99,999,9999，….解析：(1)这个数列的前4项12，23，34，45的分子都是序号，分母都是分子加1，所以它的一个通项公式是an＝nn＋1，n∈N*.•(2)这个数列的前4项－1,2，－3,4的绝对值都是序号且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是•an＝(－1)nn，n∈N*.•(3)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．•(4)这个数列的前4项每一项加1后变成10,100,1000，10000.所以它的一个通项公式是：an＝10n－1.•已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.•(1)写出数列的第4项和第6项；•(2)问－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？[规范作答](1)a4＝3×16－28×4＝－64，2分a6＝3×36－28×6＝－60.4分(2)设3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝73(舍去).6分∴n＝7，即－49是该数列的第7项，8分设3n2－28n＝68，解得n＝343或n＝－2.10分∵343∉N*，－2∉N*，∴68不是该数列的项.12分•[题后感悟]要判断一个数是否为该数列中的项，可由通项公式等于这个数解出n，根据n是否为正整数便可确定这个数是否为数列中的项，也就是说，判定某一数是否是数列中的某一项，其实质就是看方程是否有正整数解．•3.已知数列{an}的通项公式an＝(n＋1)(n＋2)．•(1)若an＝9900，问an是第几项？•(2)56和28是否是这个数列中的项？•解析：(1)令(n＋1)(n＋2)＝9900，•解得n＝98或n＝－101(舍去)，•∴an是第98项．•(2)56是第6项，28不是这个数列中的项．•1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质•(1)确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性；•(2)可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)；•(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)；•(4)数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物．•2．数列与函数的联系•(1)数列是特殊的函数•从函数观点看，数列可以看成是以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n}为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值，其图象为一组离散的点．•(2)数列的表示方法•①图象法；•②列表法；•③通项公式法；•④递推公式法．•3．由数列的前几项归纳其通项公式的方法•据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：•(1)分式中分子、分母的特征；•(2)相邻项的变化特征；•(3)拆项后的特征；•(4)各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．◎已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)·910n，试问n取何值时，an取得最大值？并求出最大值．【错解】an＋1an＝n＋3·910n＋1n＋2·910n＝910·n＋3n＋2＝9101＋1n＋2＝910＋910·1n＋2.令an＋1an≥1，得910＋910·1n＋2≥1，解得n≤7.∴当n＝7时，an取得最大值，最大值为a7＝98107.•【错因】上述解法简单地由n≤7得出a7为数列{an}中的最大值，忽视了数列相邻两项之间的动态变化关系．事实上，a7＝a8都为an的最大值．【正解】∵an－1an