2018高考数列(二)等比数列及数列求和(教师版)

新风众行教育1112018高考--数列（二）等比数列及其前n项和知识梳理1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为an＋1an＝q．(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab．2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1qn－1．(2)前n项和公式：Sn＝na1，q＝1，a11－qn1－q＝a1－anq1－q，q≠1.3．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a2k；(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn(λ≠0)仍然是等比数列；(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk．[小题体验]1．(教材习题改编)将公比为q的等比数列a1，a2，a3，a4，…依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，…．此数列是()A．公比为q的等比数列B．公比为q2的等比数列C．公比为q3的等比数列D．不一定是等比数列答案：B2．等比数列{an}中，a3＝12，a4＝18，则a6＝________．解析：法一：由a3＝12，a4＝18，得a1q2＝12，a1q3＝18，解得a1＝163，q＝32，∴a6＝a1q5＝163×325＝812．法二：由等比数列性质知，a23＝a2a4，∴a2＝a23a4＝12218＝8，又a24＝a2a6，∴a6＝a24a2＝1828＝812．答案：8123．(教材习题改编)在等比数列{an}中，已知a1＝－1，a4＝64，则公比q＝________，S4＝________．答案：－4514．在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5等于()A．5B．±5C．4D．±4解析：选Ca25＝a3a7＝2×8＝16，∴a5＝±4，又∵a5＝a3q20，∴a5＝4．5．设数列{an}是等比数列，前n项和为Sn，若S3＝3a3，则公比q＝________．答案：－12或1新风众行教育222课堂——考点突破考点一等比数列的基本运算[典例引领]1．(2017·武汉调研)若等比数列{an}的各项均为正数，a1＋2a2＝3，a23＝4a2a6，则a4＝()A．38B．245C．316D．916解析：选C由题意，得a1＋2a1q＝3，a1q22＝4a1q·a1q5，解得a1＝32，q＝12，所以a4＝a1q3＝32×123＝316．2．(2015·全国卷Ⅰ)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________．解析：∵a1＝2，an＋1＝2an，∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．又∵Sn＝126，∴21－2n1－2＝126，∴n＝6．答案：6[即时应用]1．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝()A．13B．－13C．19D．－19解析：选C设等比数列{an}的公比为q，∵S3＝a2＋10a1，a5＝9，∴a1＋a1q＋a1q2＝a1q＋10a1，a1q4＝9，解得q2＝9，a1＝19.2．(2017·洛阳统考)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋8a4＝0，则S4S3＝()A．－53B．157C．56D．1514解析：选C在等比数列{an}中，因为a1＋8a4＝0，所以q＝－12，所以S4S3＝a11－q41－qa11－q31－q＝1－－1241－－123＝151698＝56．3．(2015·安徽高考)已知数列{}an是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{}an的前n项和等于________．解析：设等比数列的公比为q，则有a1＋a1q3＝9，a21·q3＝8，解得a1＝1，q＝2或a1＝8，q＝12.又{}an为递增数列，∴a1＝1，q＝2，∴Sn＝1－2n1－2＝2n－1．答案：2n－1新风众行教育333考点二等比数列的判定与证明[典例引领](2016·全国丙卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0．(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5＝3132，求λ．解：(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝11－λ，故a1≠0．由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan．由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以an＋1an＝λλ－1．因此{an}是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是an＝11－λλλ－1n－1．(2)由(1)得Sn＝1－λλ－1n．由S5＝3132得1－λλ－15＝3132，即λλ－15＝132．解得λ＝－1．[即时应用]设数列{}an的前n项和为Sn，n∈N*．已知a1＝1，a2＝32，a3＝54，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1．(1)求a4的值；(2)证明：an＋1－12an为等比数列．解：(1)当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，即41＋32＋54＋a4＋51＋32＝81＋32＋54＋1，解得a4＝78．(2)证明：由4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，得4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)．∵4a3＋a1＝4×54＋1＝6＝4a2，∴4an＋2＋an＝4an＋1，∴an＋2－12an＋1an＋1－12an＝4an＋2－2an＋14an＋1－2an＝4an＋1－an－2an＋14an＋1－2an＝2an＋1－an22an＋1－an＝12，∴数列an＋1－12an是以a2－12a1＝1为首项，12为公比的等比数列．考点三等比数列的性质[典例引领]1．(2017·湖南师大附中月考)已知各项不为0的等差数列{an}满足a6－a27＋a8＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b2b8b11＝()A．1B．2C．4D．8解析：选D由等差数列的性质，得a6＋a8＝2a7．由a6－a27＋a8＝0，可得a7＝2，所以b7＝a7＝2．由等比数列的性质得b2b8b11＝b2b7b12＝b37＝23＝8．2．若等比数列{an}的前n项和为Sn，且S4S2＝5，则S8S4＝________．新风众行教育444解析：设数列{an}的公比为q，由已知得S4S2＝1＋a3＋a4a1＋a2＝5，即1＋q2＝5，所以q2＝4，S8S4＝1＋a5＋a6＋a7＋a8a1＋a2＋a3＋a4＝1＋q4＝1＋16＝17．答案：17[即时应用]1．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝()A．5B．9C．log345D．10解析：选D由等比数列的性质知a5a6＝a4a7，又a5a6＋a4a7＝18，所以a5a6＝9，则原式＝log3(a1a2…a10)＝log3(a5a6)5＝10．2．(2017·长春调研)在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝________．解析：设数列{an}的公比为q，由a1a2a3＝4＝a31q3与a4a5a6＝12＝a31q12，可得q9＝3，an－1anan＋1＝a31q3n－3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以3n－6＝36，即n＝14．答案：14课后.三维演练一、基础巩固1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是()A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列解析：选D由等比数列的性质得，a3·a9＝a26≠0，因此a3，a6，a9一定成等比数列，选D．2．在正项等比数列{an}中，a1＝1，前n项和为Sn，且－a3，a2，a4成等差数列，则S7的值为()A．125B．126C．127D．128解析：选C设{an}的公比为q，则2a2＝a4－a3，又a1＝1，∴2q＝q3－q2，解得q＝2或q＝－1，∵an0，∴q0，∴q＝2，∴S7＝1－271－2＝127．3．(2016·石家庄质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4(n∈N*)，则an＝()A．2n＋1B．2nC．2n－1D．2n－2解析：选A依题意，an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－4－(2an－4)，则an＋1＝2an，令n＝1，则S1＝2a1－4，即a1＝4，∴数列{an}是以4为首项，2为公比的等比数列，∴an＝4×2n－1＝2n＋1，故选A．4．在等比数列{an}中，若a1·a5＝16，a4＝8，则a6＝________．解析：由题意得，a2·a4＝a1·a5＝16，∴a2＝2，∴q2＝a4a2＝4，∴a6＝a4q2＝32．答案：325．在等比数列{an}中，an0，a5－a1＝15，a4－a2＝6，则a3＝________．解析：∵a5－a1＝15，a4－a2＝6．∴a1q4－a1＝15，a1q3－a1q＝6(q≠1)两式相除得q2＋1q2－1qq2－1＝156，即2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝12，当q＝2时，a1＝1；当q＝12时，a1＝－16(舍去)．∴a3＝1×22＝4．答案：4二、巩固加强1．已知数列{an}为等比数列，若a4＋a6＝10，则a7(a1＋2a3)＋a3a9的值为()A．10B．20新风众行教育555C．100D．200解析：选Ca7(a1＋2a3)＋a3a9＝a7a1＋2a7a3＋a3a9＝a24＋2a4a6＋a26＝(a4＋a6)2＝102＝100．2．设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于()A．18B．－18C．578D．558解析：选A因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝18．所以a7＋a8＋a9＝18．3．已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则log13(a5＋a7＋a9)的值是()A．－5B．－15C．5D．15解析：选A∵log3an＋1＝log3an＋1，∴an＋1＝3an．∴数列{an}是以公比q＝3的等比数列．∵a5＋a7＋a9＝q3(a2＋a4＋a6)，∴log13(a5＋a7＋a9)＝log13(9×33)＝log1335＝－5．4．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N*，满足S2mSm＝9，a2mam＝5m＋1m－1，则数列{an}的公比为()A．－2B．2C．－3D．3解析：选B设公比为q，若q＝1，则S2mSm＝2，与题中条件矛盾，故q≠1．∵S2mSm＝a11－q2m1－qa11－qm1－q＝qm＋1＝9，∴qm＝8．∴a2mam＝a1q2m－1a1qm－1＝qm＝8＝5m＋1m－1，∴m＝3，∴q3＝8，∴q＝2．6．(2015·湖南高考)设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝________．解析：因为3S1,2S2，S3成等差数