2013届高三数学二轮复习专题课件：等比数列及其前n项和

第3课时等比数列及其前n项和教材回扣夯实双基基础梳理1．等比数列的基本问题(1)定义一般地,如果一个数列从________起,每一项与它的_________的比等于______________,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的______,公比通常用字母___(q≠0)表示.第2项前一项同一个常数公比q(2)通项公式设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则它的通项an＝_________.(3)等比中项如果三个数a、G、b成__________,则G叫做a和b的等比中项,那么即G2＝_____.Ga＝bG,a1qn－1等比数列ab思考探究b2＝ac是a,b,c成等比数列的什么条件?提示:b2＝ac是a，b，c成等比数列的必要不充分条件．当b＝0，a，c至少有一个为零时，b2＝ac成立，但a，b，c不成等比数列；反之，若a，b，c成等比数列，则必有b2＝ac.(4)前n项和公式Sn＝_____q＝1，a11－qn1－q＝a1－anq1－qq≠1.na1特别提示:当q≠1时,Sn＝a11－qn1－q＝－a11－q·qn＋a11－q＝Aqn＋B,其中A＋B＝0.2．等比数列的性质在等比数列{an}中,Sn是其前n项和,则(1)an＝am·qn－m(m,n∈N*,且m≤n);(2)若m＋n＝p＋q＝2r,则am·an＝_______＝_________；ap·aqa2r(3)数列am,am＋k,am＋2k,am＋3k,…,仍是__________；(4)数列Sm,S2m－Sm,S3m－S2m,…,仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1).等比数列课前热身1．在等比数列{an}中，a2012＝8a2009，则公比q的值为()A．2B．3C．4D．8答案：A2．等比数列{an}中a5＝4，则a2·a8等于()A．4B．8C．16D．32答案：C3.在等比数列{an}中,前n项和为Sn,若S3＝7,S6＝63,则公比q的值是()A．2B．－2C．3D．－3答案：A4.(教材习题改编)设等比数列{an}的公比q＝2,前n项和为Sn,则S4a2＝______.答案：1525.在数列{an},{bn}中,bn是an与an＋1的等差中项,a1＝2,且对任意n∈N*,都有3an＋1－an＝0,则{bn}的通项bn＝______.答案：43n考点探究讲练互动考点突破等比数列的判定证明一个数列是等比数列的主要方法有两种:一是利用等比数列的定义,即证明an＋1an＝q(q≠0,n∈N*),二是利用等比中项法,即证明a2n＋1＝anan＋2≠0(n∈N*).在解题中,要注意根据欲证明的问题,对给出的条件式进行合理地变形整理,构造出符合等比数列定义式的形式,从而证明结论.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1＝1,Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an,证明数列{bn}是等比数列；(2)证明数列{an2n}是等差数列．例1【思路分析】需要把Sn和an两类基本量化为一类基本量，要消去Sn，可采取方程组法，通过加减消元方式消去Sn.【证明】(1)由a1＝1，Sn＋1＝4an＋2，得a1＋a2＝4a1＋2，a2＝3a1＋2＝5.∴b1＝a2－2a1＝3.由Sn＋1＝4an＋2，①则当n≥2时，有Sn＝4an－1＋2.②①－②得an＋1＝4an－4an－1，∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)．又∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1.∴数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．(2)由(1)可得bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，∴an＋12n＋1－an2n＝34.∴数列{an2n}是首项为12，公差为34的等差数列．【名师点评】等比数列的判定方法还可利用通项公式法和前n项和公式法.(1)通项公式法：若数列{an}通项公式可写成an＝c·qn(c，q均为不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．(2)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．互动探究1．在本例条件下，设cn＝an3n－1，求证：{cn}是等比数列．证明：由例题的解答知an2n－2＝2＋(n－1)×3＝3n－1.∴an＝(3n－1)·2n－2.∴cn＝2n－2.∴cn＋1cn＝2n－12n－2＝2.∴数列{cn}为等比数列．解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程．等比数列的基本运算例2(2010·高考大纲全国卷Ⅱ)已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1＋a2＝2(1a1＋1a2),a3＋a4＋a5＝64(1a3＋1a4＋1a5).(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝(an＋1an)2,求数列{bn}的前n项和Tn.【思路分析】(1)利用a1、q表示已知关系，求a1、q；(2)利用分组求和求Tn.【解】(1)设等比数列{an}的公比为q，则an＝a1qn－1，由已知有a1＋a1q＝21a1＋1a1q，a1q2＋a1q3＋a1q4＝641a1q2＋1a1q3＋1a1q4，化简得a21q＝2，a21q6＝64.又a10，故q＝2，a1＝1.所以an＝2n－1.(2)由(1)知bn＝(an＋1an)2＝a2n＋1a2n＋2＝4n－1＋14n－1＋2.因此Tn＝(1＋4＋…＋4n－1)＋(1＋14＋…＋14n－1)＋2n＝4n－14－1＋1－14n1－14＋2n＝13(4n－41－n)＋2n＋1.【误区警示】在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式．等比数列的性质在研究等比数列的性质时，我们只需用等比数列的两个基本量(首项a1和公比q)就可以表示出数列中的所有项，它具有“消元”之功效，但有时利用通项公式的变形式an＝amqn－m(m，n∈N*)的形式，会更有利于题目的化简．例3在等比数列{an}中,a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝8且1a1＋1a2＋1a3＋1a4＋1a5＝2,求a3.【思路分析】利用a1·a5＝a2·a4＝a3·a3进行化简．【解】由已知得1a1＋1a2＋1a3＋1a4＋1a5＝a1＋a5a1a5＋a2＋a4a2a4＋a3a23＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5a23＝8a23＝2.∴a23＝4.∴a3＝±2.【名师点评】利用m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝a，进行项之间转化，减少计算量．变式训练2．试用例3方法求解例2：已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝21a1＋1a2，a3＋a4＋a5＝641a3＋1a4＋1a5.求{an}的通项公式．解：由a1＋a2＝21a1＋1a2＝2a1＋a2a1·a2，所以a1·a2＝2.由a3＋a4＋a5＝641a3＋1a4＋1a5＝64a3＋a4＋a5a24，所以a24＝64，即a4＝8.a24a1·a2＝q5＝32，所以q＝2，所以an＝a4·qn－4＝2n－1.方法技巧几种思想方法在等比数列中的体现(1)方程思想.等比数列中有五个量a1、n、q、an、Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解．方法感悟(2)数形结合思想.通项an＝a1qn－1可化为an＝(a1q)qn,因此an是关于n的函数.即{an}中的各项所表示的点(n,an)在曲线y＝(a1q)qx上,是一群孤立的点.单调性:当a10q1或a100q1时,{an}是递增数列；当a100q1或a10q1时，{an}是递减数列；当q＝1时，{an}为常数列；当q0时，{an}为摆动数列．(3)分类思想.当q＝1时,{an}的前n项和Sn＝na1;当q≠1时,{an}的前n项和Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,此处是常考易错点.失误防范1．特别注意q＝1时，Sn＝na1这一特殊情况．2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.考向瞭望把脉高考命题预测从近几年的高考试题来看,等比数列的定义、性质、通项公式及前n项和公式是高考的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题，难度中等偏高.客观题突出“小而巧”,考查学生对基础知识的掌握程度;主观题考查较为全面,在考查基本运算、基本概念的基础上,又注重考查函数与方程、等价转化、分类讨论等思想方法.预测2013年福建高考，等比数列的定义、性质、通项公式及前n项和公式仍将是考查的重点,特别是等比数列的性质更要引起重视.规范解答(本题满分12分)(2010·高考福建卷)数列{an}中，a1＝13，前n项和Sn满足Sn＋1－Sn＝(13)n＋1(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式an以及前n项和Sn；(2)若S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差数列，求实数t的值．例【解】(1)由Sn＋1－Sn＝(13)n＋1得an＋1＝(13)n＋1(n∈N*)．又a1＝13，故an＝(13)n(n∈N*).3分从而Sn＝13×[1－13n]1－13＝12[1－(13)n](n∈N*)．6分(2)由(1)可得S1＝13，S2＝49，S3＝1327.8分从而由S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差数列得13＋3×(49＋1327)＝2×(13＋49)t，解得t＝2.12分【名师点评】本题考查了等比、等差数列的基本运算，试题难度较小，但仍有一些考生失分，其原因是：未想到Sn＋1－Sn＝an＋1，把(2)中成等差看成等比进行计算导致失分．知能演练轻松闯关本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放