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第1页共13页绝密★启用前解密时间:2010年6月7日17:00【考试时间:6月7日15:00—17:00】2010年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学(理工农医类)解析数学试题卷(理工农医类)共4页。满分150分。考试时间120分钟。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)在等比数列}{na中,201020078aa,则公比q的值为()A、2B、3C、4D、8【命题意图】本题考查等比数列的概念,基础题.【解析】∵8320072010qaa,∴2q,选A.(2)已知向量ba,满足2||,1||,0baba,则|2|ba()A、0B、22C、4D、8【命题意图】本题考查向量的有关概念和基本运算.【解析】∵222|2|(2)44822ababaabb,∴选B.(3)2144lim22xxx()A、1B、41C、41D、1【命题意图】本题考查函数极限的概念、运算法则、00型极限的求法以及转化与化归思想.【解析】2222241211limlimlim42(4)(2)24xxxxxxxxx,选B.(4)设变量yx,满足约束条件,03,01,0yxyxy则yxz2的最大值为()A、2B、4C、6D、8【命题意图】本题考查线性规划的求解问题.作为选择题,要准确快速求解,可利用端点处取得最值(函数的思想)来求解则更好,从而要求考生对性规划的问题有较深刻的认识.第2页共13页【解析】不等式组,03,01,0yxyxy表示的平面区域是如图所示的ABC,当直线yxz2过点(3,0)A的时,z取得最大值6,故选C.(5)函数xxxf214)(的图象()A、关于原点对称B、关于直线xy对称C、关于x轴对称D、关于y轴对称【命题意图】本题考查函数的概念和奇偶性、幂的运算性质和计算能力.【解析】∵)(241214)(xfxfxxxx,∴()fx是偶函数,图像关于y轴对称,选D(6)已知函数sin()yx(0,||2)的部分图象如题(6)图所示,则()A、6,1B、6,1C、6,2D、6,2【命题意图】本题考查sin()yAx的图像和性质,数形结合思想等,这是高考的常考题型,但又是学生的软肋,注意复习,多加训练.【解析】由图像可知,周期74()123T,∴2,由五点作图法知232,解得6,所以2,6,选D.(7)已知0x,0y,228xyxy,yx2的最小值是()A、3B、4C、29D、211【命题意图】本题考查均值不等式的灵活应用、一元二次不等式的解法以及整体思想.【解析】由均值不等式,得2228)2(82yxyxyx,整理,得0322422yxyx,第3页共13页即08242yxyx,又02yx,所以24xy,选B.(8)直线233xy与圆心为D的圆33cos,13sin,xy([0,2))A、B两点,则直线AD与BD的倾斜角之和为()A、67B、45C、34D、35【命题意图】本题考查直线的倾斜角、斜率、方程,圆的标准方程和参数方程,直线与圆的位置关系以及数形结合的思想方法.【解析】画出图形,301,302由圆的性质可知213030,故43,选C.(9)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班,每天安排1人,每人值班1天.若7位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日,丁不排在10月7日,则不同的安排方案共有()A、504种B、960种C、1008种D、1108种【命题意图】此题是一个排列组合问题.既考查了分析问题,解决问题的能力,更侧重于考查学生克服困难解决实际问题的能力和水平.【解析】分两类:①甲乙排1、2号或6、7号,共有4414222AAA种不同的安排方法;②甲乙排中间,丙排7号或不排7号,共有)(43313134422AAAAA种方法,故共有1008种不同的排法,选C.(10)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是()A、直线B、椭圆C、抛物线D、双曲线【命题意图】本题考查空间中线与线,线与面的垂直,动点的轨迹的求法,同时考查空间想象力.【解析】(直接法)记这两直线为1l,2l,异面直线的距离为k,平面为过1l且平行于2l的平面,设上某个点P满足条件。将2l正投影到平面上,其投影记为3l,设P到1l及2l的距离为t,到3l的距离为u,则222ukt,即222tuk,这里k为定值,t,u分别正是P到上两垂直直线1l,2l的距离,而1l和3l可看作上的直角坐标系,由此可知,P的轨迹就是双曲线.(排除法)轨迹是轴对称图形,排除A、C,轨迹与已知直线不能有交点,排除B,故选D.第4页共13页二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.(11)已知复数,1iz则zz2____________.【命题意图】本题考查复数概念和基本运算,其中分母实数化是求解的关键.【解析】iiiii211112,答案为:2i.(12)设}0|{},3,2,1,0{2mxxUxAU,若}2,1{ACU,则实数m_________.【命题意图】此题题型来自于课本习题,考查集合的概念和运算、方程的解法等基础知识.【解析】∵}2,1{ACU,∴A={0,3},故3m.答案为:3.(13)某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至多命中一次的概率为2516,则该队员每次罚球的命中率为_____________.【命题意图】本题考查对立事件的概率、独立事件的概率以及计算能力和推理能力.当有“至少”、“最多”等字眼时,常从反面入手,化难为易.【解析】由251612p,解得53p,答案为:35(14)已知以F为焦点的抛物线xy42上的两点BA、满足3AFFB,则弦AB的中点到准线的距离为___________.【命题意图】本题考查抛物线的定义、标准方程、几何性质等,灵活应用平面几何知识是解决本题的关键,向量仅仅是一件外衣,本题是平面几何知识的应用.【解析】设BFm,由抛物线的定义,知13AAm,1BBm,ABC中,2ACm,4ABm,由相似三角形性质,得224mmmm,解得43m,根据梯形中位线定理,得弦AB的中点到准线的距离为38223mmm,答案为:83.(15)已知函数)(xf满足:1(1)4f,4()()()()fxfyfxyfxy(,xyR),则)2010(f__________.【命题意图】本题考场抽象函数的周期性,函数与数列的关系,研究抽象函数最有效的办法是:特殊值法.【解析】取x=1,y=0,得21)0(f,法一:通过计算)........4(),3(),2(fff,寻得周期为6法二:取x=n,y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n)第5页共13页联立得f(n+2)=—f(n-1),所以T=6,故1201002ff,答案为:21.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(16)(本小题满分13分,(Ⅰ)小问7分,(Ⅱ)小问6分.)设函数22()cos()2cos32xfxx,xR.(Ⅰ)求)(xf的值域;(Ⅱ)记ABC的内角CB、、A的对边长分别为cba、、,若3,1,1)(cbBf,求a的值.【命题意图】此题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、和(差)角公式、正弦定理、由余弦定理以及函数思想和方程思想,同时考查基本运算能力.【解析】(Ⅰ)1cos32sinsin32coscos)(xxxxf1cossin23cos21xxx1sin23cos21xx1)65sin(x,因此)(xf的值域为]2,0[.(Ⅱ)由1)(Bf得11)65sin(B,即0)65sin(B,又因B0,故6B.解法一:由余弦定理Baccabcos2222,得0232aa,解得1a或2.解法二:由正弦定理CcBbsinsin,得3,23sinCC或32.当3C时,2A,从而222cba;当32C时,6A,又6B,从而1ba.故a的值为1或2.(17)(本小题满分13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.)在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中,每个单位的节目集中安排在一起.若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2,…,6),求:(Ⅰ)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率;(Ⅱ)甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与期望.【命题意图】本小题主要考查等可能事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算,考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力.其中第(2)问是课本上常见的类型题.【解析】(Ⅰ)设A表示“甲、乙的演出序号至少一个为奇数”,则A表示“甲、乙的序号为偶数”,由等第6页共13页可能性事件的概率计算公式得545111)(1)(2623CCAPAP.(Ⅱ)的所有可能值为0,1,2,3,4,且513)2(,1544)1(,315)0(262662CPCPCP,1511)4(,1522)3(2626CPCP.从而知有分布列01234P3115451152151所以,34151415235121541310E.(18)(本小题满分13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.)已知函数)1ln(1)(xaxxxf,其中实数1a.(Ⅰ)若2a,求曲线)(xfy在点))0(,0(f处的切线方程;(Ⅱ)若)(xf在1x处取得极值,试讨论)(xf的单调性.【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力.【解析】(Ⅰ)22(1)111()()1()1xaxafxxaxxax.当1a时,47101)20(12)0(2/f,而21)0(f,因此曲线)(xfy在点))0(,0(f处的切线方程为)0(47)21(xy即0247yx.(Ⅱ)1a,由(Ⅰ)知2111111)1(1)(2/aaaxf,即02111a,解得3a.此时)1ln(31)(xxxxf,其定义域为),3()3,1(,且)1()3()7)(1(11)3(2)(22/xxxxxxxf,由0)(/xf得7,121xx.当第7页共13页11x或7x时,0)(/xf;当71x且3x时,0)(/xf.由以上讨论知,)(xf在区间),7[],1,1(上是增函数,在区间]7,3(),3,1[上是减函数.(19)(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分.)如题(19)图,四棱锥ABCDP为矩形,PA底面ABCD,6ABPA,点E是棱PB的中点.(Ⅰ)求直线AD与平面PBC的距离;(Ⅱ)若3AD,求二面角DECA的平面角的余弦值.【命题意图】本题考查直线与平面垂直、二面角、三棱锥的性质及体积等基础知识.求解第(1)问的关键是将点到面的距离转化为三棱锥的高,等体积法是这类问题的
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