2012年江西高考数学理科试卷(带详解)

2012年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学（理科）第I卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合11A｛，｝02B｛，｝，，则集合,,ZZxyxAyB｛｝中的元素的个数为（）A．5B.4C.3D.2【测量目标】集合的含义.【考查方式】考查了集合的互异性.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】集合A、B中元素两两相加得到1，1，1，3，由集合的互异性可知集合,,ZZxyxAyB｛｝中的元素的个数为3.2.下列函数中，与函31yx定义域相同的函数为（）A．1sinyxB.lnxyxC.2eyxD.sinxx【测量目标】函数的定义域.【考查方式】考查了有关对数函数、指数函数、分式函数的定义域.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】函数31yx的定义域为,00,,而答案中只有sinxyx的定义域为,00,.故选D.3.若函数21(1)()lg(1)xxfxxx„，则((10))ff（）A.lg101B.2C.1D.0【测量目标】分段函数.【考查方式】考查分段函数的求值.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】101，(10)lg101f.2((10))(1)112fff.4.若1tan4tan,则sin2（）A．15B.14C.13D.12【测量目标】二倍角.【考查方式】考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】221sincossincos1tan41tancossinsincossin22，1sin22.5．下列命题中，假命题为（）A．存在四边相等的四边形不．是正方形.B．1212,,zzCzz为实数的充分必要条件是12,zz为共轭复数.C．若,xyR，且2xy则,xy至少有一个大于1.D．对于任意01,CCnnnN…Cnn都是偶数.【测量目标】四种命题及其之间的关系.【考查方式】以命题的真假为切入点，综合考查了充要条件，复数、特称命题、全称命题、二项式定理等.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】（验证法）对于B项，令121i,9i()zmzmmR,显然128zzR，但12,zz不互为共轭复数，故B为假命题,应选B.6．观察下列各式：223344551,3,4,7,11ababababab，…，则1010ab（）A．28B．76C．123D．199【测量目标】合情推理.【考查方式】考查归纳推理的思想方法.【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】观察各等式的右边,它们分别为1，3，4,7,11，…，发现从第3项开始，每一项就是它的前两项之和，故等式的右边依次为1,3,4,7,11，18,29,47,76,123,…，故1010123ab.7．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则222PAPBPC（）A．2B．4C．5D．10【测量目标】三种距离公式.【考查方式】主要考查两点间的距离公式，以及坐标法这一重要的解题方法和数形结合的数学思想.【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】取特殊的等腰直角三角形，令4ACBC,42AB,1222CDAB，122PCPDCD,22PAPBADPD2222210,2221010102PAPBPC.8．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润（总利润总销售收入总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（）A．50，0B．30，20C．20，30D．0，50【测量目标】二元线性规划的实际应用.【考查方式】考查线性规划知识在实际问题中的应用，同时考查了数学建模的思想方法以及实践能力.【难易程度】较难【参考答案】B【试题解析】设黄瓜和韭菜的种植面积分别为,xy亩,总利润为z万元，则目标函数为0.5541.20.360.90.9zxxyyxy.（步骤1）线性约束条件为50,1.20.954,0,0,xyxyxy„„……即50,43180,0,0,xyxyxy„„……（步骤2）做出不等式组50,43180,0,0,xyxyxy„„……表示的可行域,易求得点0,50A，30,20B，0,45C.（步骤3）平移直线0.9zxy，可知当直线0.9zxy经过点30,20B,即30,20xy时,z取得最大值,且max48z（万元）.（步骤4）故选B.第8题图9.样本1x，2x，…，nx的平均数为x，样本1y，2y，…，my的平均数为yxy，若样本1x，2x，…，nx，1y，2y，…，my的平均数1zaxay，其中102a，则,nm的大小关系为()A．nmB．nmC．nmD．不能确定【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征.【考查方式】考查统计中的平均数，作差法比较大小以及整体思想.【难易程度】较难【参考答案】A【试题解析】由统计学知识，可得12xx…nxnx，12yy…mymy，12xx…nx12yy…1mymnzmnaxay1mnaxmnay，1nxmymnaxmnay.（步骤1）,1.nmnammna故121nmmnaamna.（步骤2）10,2102aa.0nm.即nm.（步骤3）10．如图，已知正四棱锥S—ABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记(01)SExx，截面下面部分的体积为()Vx，则函数()yVx的图像大致为（）第10题图ABCD第10题图【测量目标】函数图象的判断.【考查方式】本题综合考查了棱锥的体积公式，线面垂直，同时考查了函数的思想,导数法解决几何问题等重要的解题方法.【难易程度】较难【参考答案】A【试题解析】（定性法）当102x时，随着x的增大，观察图形可知，()Vx单调递减，且递减的速度越来越快；当112x„时，随着x的增大，观察图形可知，()Vx单调递减，且递减的速度越来越慢；再观察各选项中的图象，发现只有A图象符合.故选A.第Ⅱ卷注：第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.11.计算定积分121sinxxdx___________【测量目标】微积分基本定理求定积分.【考查方式】考查有关多项式函数，三角函数定积分的应用.【难易程度】中等【参考答案】23【试题解析】31211111112sincoscos1cos1333333xxxdxx.12.设数列na，nb都是等差数列，若117ab，3321ab，则55ab___________【测量目标】等差数列的性质.【考查方式】考查等差中项的性质及整体代换的数学思想.【难易程度】中等【参考答案】35【试题解析】解法一：数列na，nb都是等差数列，数列nnab也是等差数列.故由等差中项的性质，得551133()()2()ababab，即55()7221ab，解得5535ab.解法二：设数列na，nb的公差分别为1d，2d，3311121112122227221abadbdabdddd，127dd，553312235ababdd.13.椭圆22221(0)xyabab的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是1F,2F.若1AF,12FF,1FB成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________.【测量目标】椭圆的简单几何性质与等比数列的性质.【考查方式】着重考查等比中项的性质，以及椭圆的离心率等几何性质，同时考查了函数与方程，转化与化归思想.【难易程度】中等【参考答案】55【试题解析】利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：1AFac，122FFc，1FBac.又已知1AF,12FF,1FB成等比数列，故22acacc，即2224acc，则225ac.故55cea.即椭圆的离心率为55.14.下图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是______________.第14题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】考查算法程序框图的应用以及运算求解的能力.【难易程度】容易【参考答案】3【试题解析】由程序框图可知：第一次:π0,1,sin1sin002Tk成立，1,1,2,26aTTak,满足判断条件，继续循环；（步骤1）第二次:πsinπ0sin12不成立，0,1,3,36aTTak，满足判断条件，继续循环;（步骤2）第三次:3πsin1sinπ02不成立，0,1,4,46aTTak,满足判断条件，继续循环;（步骤3）第四次:3πsin2π0sin12成立，1,2,5aTTak,满足判断条件，继续循环;（步骤4）第五次:5πsin1sin2π02成立，1,2,666aTTak，不成立，不满足判断条件，跳出循环,故输出T的值3.（步骤5）三、选做题：请在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按第一题评阅计分.本题共5分.15.（1）（坐标系与参数方程选做题）曲线C的直角坐标方程为2220xyx，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立积坐标系，则曲线C的极坐标方程为___________.【测量目标】极坐标方程与直角坐标方程的互化.【考查方式】考查极坐标方程与直角坐标方程的互化及转化与化归的数学思想.【难易程度】中等【参考答案】2cos【试题解析】由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式cos,sin,xy得22222cos0xyx，又0，所以2cos.15.（2）（不等式选做题）在实数范围内，不等式21216xx„的解集为___________.【测量目标】绝对值不等式的解法.【考查方式】考查绝对值不等式的解法以及转化与划归、分类讨论的数学思想.【难易程度】中等【参考答案】3322xx剟【试题解析】原不等式可化为1,212216,xxx„„①或11,2221216xxx„②或1,221216,xxx…„③由①得3122x剟；由②得1122x；由③得1322x剟,综上，得原不等式的解集为3322xx剟.四．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知数列na的前n项和21()2nSnknkΝ,且nS的最大值为8.（1）确定常数k，求na；（2）求数列922nna的前n项和nT.【测量目标】错位相减法求和.【考查方式】考查了数列的通项公式na与前n项和nS之间的关系以及错位相减法求和的应用能力.【难易程度】中等【试题解析】（1）当nkΝ时，212nSnkn取最大值，