线性代数作业

线性代数（经管类）综合试题一（课程代码4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设D==M≠0，则D1==(B)．A.－2MB.2MC.－6MD.6M2.设A、B、C为同阶方阵，若由AB=AC必能推出B=C，则A应满足(D)．A.A≠OB.A=OC.|A|=0D.|A|≠03.设A，B均为n阶方阵，则(A)．A.|A+AB|=0，则|A|=0或|E+B|=0B.(A+B)2=A2+2AB+B2C.当AB=O时，有A=O或B=OD.(AB)-1=B-1A-14.二阶矩阵A，|A|=1，则A-1=(B)．A.B.C.D.5.设两个向量组与，则下列说法正确的是(B)．A.若两向量组等价，则s=t.B.若两向量组等价，则r()=r()C.若s=t，则两向量组等价.D.若r()=r()，则两向量组等价.6.向量组线性相关的充分必要条件是(C)．A.中至少有一个零向量B.中至少有两个向量对应分量成比例C.中至少有一个向量可由其余向量线性表示D.可由线性表示7.设向量组有两个极大无关组与，则下列成立的是(C)．A.r与s未必相等B.r+s=mC.r=sD.r+sm8.对方程组Ax=b与其导出组Ax=o，下列命题正确的是(D)．A.Ax=o有解时，Ax=b必有解.B.Ax=o有无穷多解时，Ax=b有无穷多解.C.Ax=b无解时，Ax=o也无解.D.Ax=b有惟一解时，Ax=o只有零解.9.设方程组有非零解，则k=(D)．A.2B.3C.-1D.110.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是(D)．A.|A|0B.存在n阶方阵C使A=CTCC.负惯性指标为零D.各阶顺序主子式均为正数二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.四阶行列式D中第3列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式的值依次为5，3，-7，4，则D=-15．12.若方阵A满足A2=A，且A≠E，则|A|=0.13.若A为3阶方阵，且，则|2A|=4．14.设矩阵的秩为2，则t=-3．15.设向量＝(6，8，0)，=(4，–3，5)，则(,)=0．16.设n元齐次线性方程组Ax=o，r(A)=rn，则基础解系含有解向量的个数为n-r个.17.设＝(1，1，0)，＝(0，1，1)，=(0，0，1)是R3的基，则=(1，2，3)在此基下的坐标为(1,1,2).18.设A为三阶方阵，其特征值为1，-1，2，则A2的特征值为1,1,4.19.二次型的矩阵A=22023101120.若矩阵A与B=相似，则A的特征值为1,2,3.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.求行列式的值.解：1111111111111111xxyy=111100111100xxxyyy1100110000110011xxyy00011000000011xxyy=x2y2.22.解矩阵方程：.解：令A=111211111,B=236.因为(AE)=1111001111002110100312101110010021011110003311101023611001022，所以11103311123611022A.由AX=B，得：X=A-1B=1103312111332366211022.23.求向量组=(1,1,2,3)，=(－1,－1,1,1)，=(1,3,3,5)，=(4,－2,5,6)的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示.解：将已知向量按列构成矩阵，并对其进行行变换：123411141132()21353156T1114002603130426111411140026011301130013002600001007010000130000.所以，1234(,)=3,r,,极大无关组为123413;73,,.24.a取何值时，方程组有解？并求其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.解：对方程组的增广矩阵施以初等行变换：211111214212142053731741105372aaA若方程组有解，则()()rrAA，故a=5.当a=5时，继续施以初等行变换得：164105553730155500000A，原方程组的同解方程组为：13434234416555,,337555xxxxxxxx为自由未知量，令x3=x4=0,得原方程组的一个特解：453500.与导出组同解的方程组为：134342341655,,3755xxxxxxxx为自由未知量，令34xx分别取10,01，得到导出组的基础解系：165537,551001，所以，方程组的全部解为：12416555337555010001ccv，其中，c1，c2为任意常数.25.已知,求A的特征值及特征向量，并判断A能否对角化，若能，求可逆矩阵P，使P–1AP=Λ（对角形矩阵）．解：矩阵A的特征多项式为：2200|121(2)(1)101|EA，所以，A的特征值为：1232,1.对于122，求齐次线性方程组(2)EAxo的基础解系，0001012101000101000EA，得基础解系：011,001，从而矩阵A的对应于特征值122的全部特征向量为：12120110,.01cccc不全为零对于31，求齐次线性方程组()EAxo的基础解系，100100111011100000EA，得基础解系：011，从而矩阵A的对应于特征值31的全部特征向量为：01(0)1cc.因为三阶矩阵A有三个线性无关的特征向量010，101，011，所以，A相似于对角矩阵，且010200101,020011001P.26.用配方法将下列二次型化为标准形：解：222123123121323()2444fx,x,xxxxxxxxxx=22222112323232323[4()4()]4()+24xxxxxxxxxxxx=2221232233(22)245xxxxxxx=222212322333(22)2(2)3xxxxxxxx=222123233(22)2()3xxxxxx.令11232233322yxxxyxxyx，即112223332xyyxyyxy，得二次型的标准形为：22212323yyy.四、证明题（本大题共6分）27.设向量，证明向量组是R3空间中的一个基.证：因为11011011002020111001，所以123,,线性无关（方法多样），所以向量组123,,是R3空间中的一个基.线性代数（经管类）综合试题二（课程代码4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.若三阶行列式=0,则k=(C).A．1B．0C．-1D．-22.设A、B为n阶方阵,则成立的充要条件是(D).A．A可逆B．B可逆C．|A|=|B|D．AB=BA3.设A是n阶可逆矩阵,A*是A的伴随矩阵,则(A).A．B．C．D．4.矩阵的秩为2，则λ=(B).A．2B．1C．0D．5.设3×4矩阵A的秩r(A)=1，是齐次线性方程组Ax=o的三个线性无关的解向量，则方程组的基础解系为(D).A．B．C．D．6.向量线性相关,则(C).A．k=-4B．k=4C．k=-3D．k=37.设u1,u2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解,若是其导出组Ax=o的解,则有(B).A．c1+c2=1B．c1=c2C．c1+c2=0D．c1=2c28.设A为n(n≥2)阶方阵，且A2=E，则必有(B).A．A的行列式等于1B．A的秩等于nC．A的逆矩阵等于ED．A的特征值均为19.设三阶矩阵A的特征值为2,1,1，则A-1的特征值为(D).A．1,2B．2,1,1C．,1D．,1,110.二次型是(A).A．正定的B．半正定的C．负定的D．不定的二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.=5___．12.设A为三阶方阵,且|A|=4，则|2A|=__32．13.设A=,B=,则ATB=1101100410．14.设A=,则A-1=2152．15.向量表示为向量组的线性组合式为12325．16.如果方程组有非零解,则k=_-1______．17.设向量与正交，则a=___2_______．18.已知实对称矩阵A=,写出矩阵A对应的二次型2221231231213(,,)233fxxxxxxxxxx19.已知矩阵A与对角矩阵Λ=相似，则A2=E_____．20.设实二次型的矩阵A是满秩矩阵，且二次型的正惯性指数为3，则其规范形为22221234yyyy三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.计算行列式的值.解：原式=3131(3)3131xyyyyyyyxyxyyxyyxyxyyxyyxyxyyyxyyx31000(3)(3)()000000yyyxyxyxyxyxyxy22.设矩阵A=，B=，求矩阵A-1B.解：110100()121010223001AE110100011110043201110100011110001641100431010531001641得：1431531641A.所以，143111295310231064121413AB23.设矩阵，求k的值，使A的秩r(A)分别等于1，2，3.解：对矩阵A施行初等变换：12312323kkkA21230223302233kkkkk21230223300633kkkkk12301100(2)(1)kkkkk.当k=1时，A123000