2002年高考全国卷理科数学试题及答案

普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）及答案本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分．第I卷1至2页．第II卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分．第I卷1至2页．第II卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．（1）圆1)1(22yx的圆心到直线33yx的距离是（A）21（B）23（C）1（D）3（2）复数3)2321(i的值是（A）i（B）i（C）1（D）1（3）不等式0|)|1)(1(xx的解集是（A）}10|{xx（B）0|{xx且}1x（C）}11|{xx（D）1|{xx且}1x（4）在)2,0(内，使xxcossin成立的x的取值范围是（A）)45,()2,4(（B）),4(（C）)45,4(（D）)23,45(),4(（5）设集合},412|{ZkkxxM，},214|{ZkkxxN，则（A）NM（B）NM（C）NM（D）NM（6）点)0,1(P到曲线tytx22（其中参数Rt）上的点的最短距离为（A）0（B）1（C）2（D）2（7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（A）43（B）54（C）53（D）53（8）正六棱柱111111FEDCBAABCDEF的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱侧面对角线DE1与1BC所成的角是（A）90（B）60（C）45（D）30（9）函数cbxxy2（),0[）是单调函数的充要条件是（A）0b（B）0b（C）0b（D）0b（10）函数111xy的图象是（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（A）8种（B）12种（C）16种（D）20种（12）据3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十•五”期间（－）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为（A）115000亿元（B）120000亿元（C）127000亿元（D）135000亿元第II卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．（13）函数xay在]1,0[上的最大值与最小值这和为3，则a＝（14）椭圆5522kyx的一个焦点是)2,0(，那么k（15）72)2)(1(xx展开式中3x的系数是（16）已知221)(xxxf，那么)41()4()31()3()21()2()1(fffffff＝三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．xyO11(A)xyO11(B)xyO-11(C)xyO-11(D)（17）已知12coscos2sin2sin2，)2,0(，求sin、tg的值奎屯王新敞新疆（18）如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直奎屯王新敞新疆点M在AC上移动，点N在BF上移动，若aBNCM（20a）（1）求MN的长；（2）a为何值时，MN的长最小；（3）当MN的长最小时，求面MNA与面MNB所成二面角的大小奎屯王新敞新疆（19）设点P到点)0,1(、)0,1(距离之差为m2，到x、y轴的距离之比为2，求m的取值范围奎屯王新敞新疆（20）某城市末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同奎屯王新敞新疆为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？（21）设a为实数，函数1||)(2axxxf，Rx（1）讨论)(xf的奇偶性；（2）求)(xf的最小值奎屯王新敞新疆（22）设数列}{na满足：121nnnnaaa，,3,2,1n（I）当21a时，求432,,aaa并由此猜测na的一个通项公式；（II）当31a时，证明对所的1n，有（i）2nan（ii）2111111111321naaaaABCDEFPQMN参考答案一、选择题题号123456789101112答案ACDCBBCBABBC二、填空题（13）2（14）1（15）1008（16）27三、解答题（17）解：由12coscos2sin2sin2，得0cos2cossin2cossin422220)1sinsin2(cos2220)1)(sin1sin2(cos22∵)2,0(∴01sin，0cos2∴01sin2，即21sin∴6∴33tg（18）解（I）作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连结PQ，依题意可得MP∥NQ，且NQMP，即MNQP是平行四边形奎屯王新敞新疆∴PQMN由已知aBNCM，1BEABCB∴2BFAC，aBQCP22)20(21)22()2()21()1(22222aaaaBQCPPQMN（II）由（I）21)22(2aMN所以，当22a时，22MN即当M、N分别为AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为22（III）取MN的中点G，连结AG、BG，∵BNBMANAM,，G为MN的中点∴MNBGMNAG,，即AGB即为二面角的平面角又46BGAG，所以，由余弦定理有31464621)46()46(cos22故所求二面角为31arccos（19）解：设点P的坐标为),(yx，依题设得2||||xy，即xy2，0x因此，点),(yxP、)0,1(M、)0,1(N三点不共线，得2||||||||MNPNPM∵0||2||||||mPNPM∴1||0m因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为||2m的双曲线上，故112222mymx将xy2代入112222mymx，并解得222251)1(mmmx，因012m所以0512m解得55||0m即m的取值范围为)55,0()0,55(（20）解：设末汽车保有量为1b万辆，以后各年末汽车保有量依次为2b万辆，3b万辆，…，每年新增汽车x万辆，则301b，xbb94.012对于1n，有)94.01(94.094.0211xbxbbnnn所以)94.094.094.01(94.0211nnnxbbxbnn06.094.0194.01nxx94.0)06.030(06.0当006.030x，即8.1x时3011bbbnn奎屯王新敞新疆当006.030x，即8.1x时数列}{nb逐项增加，可以任意靠近06.0x06.0]94.0)06.030(06.0[limlim1xxxbnnnn因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即60nb（,3,2,1n）则6006.0x，即6.3x万辆综上，每年新增汽车不应超过6.3万辆奎屯王新敞新疆（21）解：（I）当0a时，函数)(1||)()(2xfxxxf此时，)(xf为偶函数当0a时，1)(2aaf，1||2)(2aaaf，)()(afaf，)()(afaf此时)(xf既不是奇函数，也不是偶函数（II）（i）当ax时，43)21(1)(22axaxxxf当21a，则函数)(xf在],(a上单调递减，从而函数)(xf在],(a上的最小值为1)(2aaf．若21a，则函数)(xf在],(a上的最小值为af43)21(，且)()21(aff．（ii）当ax时，函数43)21(1)(22axaxxxf若21a，则函数)(xf在],(a上的最小值为af43)21(，且)()21(aff若21a，则函数)(xf在),[a上单调递增，从而函数)(xf在),[a上的最小值为1)(2aaf．综上，当21a时，函数)(xf的最小值为a43当2121a时，函数)(xf的最小值为12a当21a时，函数)(xf的最小值为a43．（22）解（I）由21a，得311212aaa由32a，得4122223aaa由43a，得5133234aaa由此猜想na的一个通项公式：1nan（1n）（II）（i）用数学归纳法证明：①当1n时，2131a，不等式成立．②假设当kn时不等式成立，即2kak，那么3521)2)(2(1)(1kkkkkkaaakkk．也就是说，当1kn时，2)1(1kak据①和②，对于所有1n，有2nan．（ii）由1)(1naaannn及（i），对2k，有1)1(11kaaakkk121)121(11kkakka……1)1(2122211211aaakkkk于是11211111kkaa，2k2131212211121111111111121111aaaaankknkknkk