数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第三学期试题

1（三十二）数学分析试题（二年级第一学期）一叙述题（每小题10分，共30分）1叙述含参变量反常积分adxyxf),(一致收敛的Cauchy收敛原理。2叙述Green公式的内容及意义。3叙述n重积分的概念。二计算题（每小题10分，共50分）1．计算积分CyxydxxdyI2243，其中C为椭圆13222yx，沿逆时针方向。2．已知),,(yzxzfz其中),(vuf存在着关于两个变元的二阶连续偏导数，求z关于yx,的二阶偏导数。3．求椭球体1222222czbyax的体积。4．若l为右半单位圆周，求ldsy||。5．计算含参变量积分02)cos21ln()(dxaxaaI(1a)的值。三讨论题（每小题10分，共20分）1若积分在参数的已知值的某邻域内一致收敛，则称此积分对参数的已知值一致收敛。试讨论积分0221xaadxI在每一个固定的a处的一致收敛性。2讨论函数dxyxxyfyF1022)()(的连续性，其中)(xf在]1,0[上是正的连续函数。数学分析试题（二年级第一学期）答案1一叙述题（每小题10分，共30分）1含参变量反常积分adxyxf),(关于y在],[dc上一致收敛的充要条件为：对于任意给定的0，存在与y无关的正数0A，使得对于任意的0,AAA，],[,),(dcydxyxfAA成立。2Green公式：设D为平面上由光滑或分段光滑的简单闭曲线所围的单连通区域。如果函数),(),,(yxQyxP在D上具有连续偏导数，那么DDdxdyxPxQQdyPdx)(，2其中D取正向，即诱导正向。Green公式说明了有界闭区域上的二重积分与沿区域边界的第二类曲线积分的关系。3．设为nR上的零边界区域，函数)(xfu在上有界。将用曲面网分成n个小区域n,...,,21（称为的一个分划），记iV为i的体积，并记所有的小区域i的最大直径为。在每个i上任取一点ix，若趋于零时，和式iniiVxfI1)(的极限存在且与区域的分法和点ix的取法无关，则称)(xf在上可积，并称此极限为)(xf在有界闭区域上的n重积分，记为iniiVPffdVI10)(lim。二计算题（每小题10分，共50分）1解令,sin21,cos33:tytxl则33)sin(cos63434322202222dtttyxydxxdyyxydxxdyIlC.2解令,,yzvxzu则,xzxzxu,xzxv,yzxyu.1yzyvxvvfxuufxz，yvvfyuufyz.故,222222222222xvvfxvvfxuufxuufxz,222222222222yvvfyvvfyuufyuufyz,2222222yvxvvfyxvvfyuxuufyxuufyxz即3.22222222222222222222222xzvfxzvfxzxzufxzxxzufxvvfxvvfxuufxuufxz.12222222222222222222222yzvfyzvfyzxufyzxufyvvfyvvfyuufyuufyzyvxvvfyxvvfyuxuufyxuufyxz2222222.1222222yzxzvfyxzvfyzxxzxzufyxzxyzuf3解由于对称性，只需求出椭球在第一卦限的体积，然后再乘以8即可。作广义极坐标变换sin,cosbryarx（20,0,0,0rba）。这时椭球面化为222221])sin()cos([1rcbbraarcz。又abrbrbarayyxxrDyxDrrcossinsincos),(),(，于是drdrDyxDrzdyxzVxyxyxy),(),(),(),(81drrrabcabrdrrcd102102201211022)1()121(2rdrabcabcrabc6])1(32[22110232。所以椭球体积4abcV34。4解l的方程为：0,122xyx。由yxy，ydxdxyyxdxyds22221符号的选取应保证0ds，在圆弧段AC上，由于0dx，故ydxds而在圆弧段CB上，由于0dx，故ydxds所以dxyyydxydsyICBACl120110dxdx。5解02)cos21ln()(dxaxaaI。当1a时，由于2221cos21aaaxa2)1(a0，故)cos21ln(2axa为连续函数且具有连续导数，从而可在积分号下求导。02cos212cos2)(dxaxaaxaI022cos21111dxaxaaa022cos2)1(1xaadxaaa0222cos121)1(1xaadxaaaa02112xtgaaarctgaa022aa。5于是，当1a时，CaI)(（常数）。但是，0)0(I，故0C，从而0)(aI。三讨论题（每小题10分，共20分）1解设0a为任一不为零的数，不妨设00a。取0，使00a。下面证明积分I在),(00aa内一致收敛。事实上，当a),(00aa时，由于2210xaa2200)(1xaa，且积分dxxaa02200)(1收敛，故由Weierstrass判别法知积分dxxaa0221在),(00aa内一致收敛，从而在0a点一致收敛。由0a的任意性知积分I在每一个0a处一致收敛。下面说明积分I在0a非一致收敛。事实上，对原点的任何邻域),(有：0A，有)0(112022atdtdxxaaaA。由于0220211limtdttdtaAa，故取20，在),(中必存在某一个00a，使有|1|2aAtdt，即|1|2200Axadxa因此，积分I在0a点的任何邻域),(内非一致收敛，从而积分I在0a时非一致收敛。2．解当0y时，被积函数是连续的。因此，)(yF为连续函数。当0y时，显然有0)0(F。当0y时，设m为)(xf在]1,0[上的最小值，则0m。由于6yarctgmdxyxymyF1)(1022及21lim0yarctgy，故有02)(lim0myFy。所以，)(yF当0y时不连续。（三十三）数学分析试题（二年级第一学期）一叙述题（每小题10分，共30分）1叙述二重积分的概念。2叙述Gauss公式的内容。3叙述Riemann引理。二计算题（每小题10分，共50分）1．求球面50222zyx与锥面222zyx所截出的曲线的点)5,4,3(处的切线与法平面方程。2．求平面0z，圆柱面xyx222，锥面22yxz所围成的曲顶柱体的体积。3．计算三重积分VdxdydzzyxI)(。其中10,10,10:zyxV。4利用含参变量积分的方法计算下列积分dxex2。5计算Mdxdyzdzdxydydzx,333其中M为上半椭球面),0,,(0,1222222cbazczbyax定向取上侧.三证明题（每小题10分，共20分）1．若1n及,0,0yx证明不等式.22nnnyxyx72．证明dxxxy0sin关于y在)0(],[baba上一致收敛，但在),0(上非一致收敛.数学分析试题（二年级第一学期）答案一叙述题（每小题10分，共30分）1．设为2R上的零边界区域，函数),(yxfz在上有界。将用曲线网分成n个小区域n,...,,21（称为的一个分划），记i为i的面积，并记所有的小区域i的最大直径为。在每个i上任取一点),(ii，若趋于零时，和式iniiifI1),(的极限存在且与区域的分法和点),(ii的取法无关，则称)(xf在上可积，并称此极限为),(yxf在有界闭区域上的二重积分，记为iniiifdyxfI10),(lim),(。2．设是3R中由光滑或分片光滑的封闭曲面所围成的二维单连通闭区域，函数),,(zyxP，),,(zyxQ和),,(zyxR在上具有连续偏导数。则成立等式RdxdyQdzdxPdydzdxdydzzRyQxP，这里的定向为外侧。3．设函数)(x在],[ba可积且绝对可积，则成立bappxdxxsin)(lim0cos)(limbappxdxx。二计算题（每小题10分，共50分）1求球面50222zyx与锥面222zyx所截出的曲线的点)5,4,3(处的切线与法平面方程。解设50),,(222zyxzyxF，222),,(zyxzyxG。它们在)5,4,3(处的偏导数和雅可比行列式之值为：,6xF,8yF,10zF8,6xG,8yG,10zG和160),(),(zyGF，120),(),(xzGF，0),(),(yxGF。所以曲线在)5,4,3(处的切线方程为：0512041603zyx，即.5,0)4(4)3(3zyx法平面方程为0)5(0)4(3)3(4zyx，即034yx。2求平面0z，圆柱面xyx222，锥面22yxz所围成的曲顶柱体的体积。解其体积DdxdyyxV22，其中xyxD2:22。设sin,cosryrx。22,cos2:rD。故.932sin)sin1(38cos38222223cos2022222dddrrddxdyyxVD3解101010210101010210101010.23)1(|]2)21[()21(|]2)[()()(dxxdxyyxdyyxdxdyzzyxdxdzzyxdydxdxdydzzyxV4解：首先，令dxeIx2，则dxeIx022，在积分dxex02中，再令utx，其中u为任意正数，即得.2