高考三角函数经典解答题及答案

11在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，且.21222acbca（1）求BCA2cos2sin2的值；（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．解：(1)由余弦定理：conB=14sin22AB+cos2B=-14（2）由.415sin,41cosBB得∵b=2，a2+c2=12ac+4≥2ac,得ac≤38,S△ABC=12acsinB≤315(a=c时取等号)故S△ABC的最大值为3152在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.coscos3cosBcBaCb（I）求cosB的值；（II）若2BCBA，且22b，求ca和b的值.解：（I）由正弦定理得CRcBRbARasin2,sin2,sin2，,0sin.cossin3sin,cossin3)sin(,cossin3cossincossin,cossincossin3cossin,cossin2cossin6cossin2ABAABACBBABCCBBCBACBBCRBARCBR又可得即可得故则因此.31cosB（II）解：由2cos,2BaBCBA可得，,,0)(,12,cos2,6,31cos222222cacacaBaccabacB即所以可得由故又所以a＝c＝63已知向量m=BBcos1,sin,向量n=（2，0），且m与n所成角为π3，2其中A、B、C是ABC的内角。(1)求角B的大小;(2)求CAsinsin的取值范围。解：（1）m=BBcos1,sin，且与向量n=（2，0）所成角为3，3sincos1BB1cossin3BA21)6sin(B又B06766B656B32B（2）由（1）知，32B，A+C=3CAsinsin=)3sin(sinAA=AAcos23sin21=)3sin(A30A，3233A)3sin(A1,23，CAsinsin1,234已知向量(1,2sin)mA，(sin,1cos),//,3.nAAmnbca满足（I）求A的大小；（II）求)sin(6B的值.解：（1）由m//n得0cos1sin22AA……2分即01coscos22AA1cos21cosAA或1cos,AABCA的内角是舍去3A（2）acb3由正弦定理，23sin3sinsinACB32CB323)32sin(sinBB23)6sin(23sin23cos23BBB即5在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，C＝2A，43cosA，（1）求BCcos,cos的值；（2）若227BCBA，求边AC的长。解：（1）81116921cos22coscos2AAC47sin,43cos;873sin,81cosAACC得由得由169814387347coscossinsincoscosCACACAB（2）24,227cos,227acBacBCBA①又aAacACCcAa23cos2,2,sinsin②由①②解得a=4，c=625169483616cos2222Baccab5b，即AC边的长为5.6已知AB、是△ABC的两个内角，向量2cos,sin22ABABa（），若6||2a.（Ⅰ）试问BAtantan是否为定值？若为定值，请求出；否则请说明理由；（Ⅱ）求Ctan的最大值，并判断此时三角形的形状.解：（Ⅰ）由条件2236()||22a221cos()2cossin1cos()222ABABABAB∴1cos()cos()2ABAB∴3sinsincoscosABAB∴1tantan3AB为定值.（Ⅱ）tantantantan()1tantanABCABAB由（Ⅰ）知1tantan3AB，∴tan,tan0AB4从而3tan(tantan)2CAB≤32tantan32AB∴取等号条件是3tantan3AB，即6AB取得最大值，7在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a+b=5，c=7，且.272cos2sin42CBA(1)求角C的大小；（2）求△ABC的面积.解：(1)∵A+B+C=180°由272cos2cos4272cos2sin422CCCBA得∴27)1cos2(2cos142CC整理，得01cos4cos42CC解得：21cosC……5分∵1800C∴C=60°（2）解：由余弦定理得：c2=a2+b2－2abcosC，即7=a2+b2－ab∴abba3)(72由条件a+b=5得7=25－3abab=6……10分∴23323621sin21CabSABC8已知角CBA,,为ABC的三个内角，其对边分别为cba,,，若)2sin,2cos(AAm，)2sin,2(cosAAn，32a，且21nm．（1）若ABC的面积3S，求cb的值．（2）求cb的取值范围．解：（1）)2sin,2cos(AAm，)2sin,2(cosAAn，且21nm.212sin2cos22AA，即21cosA，又),0(A，32A………..2分又由3sin21AbcSABC，4bc由余弦定理得：bccbbccba2222232cos22)(16cb，故4cb5（2）由正弦定理得：432sin32sinsinsinAaCcBb，又3ACB，)3sin(4)3sin(4sin4sin4sin4BBBCBcb30B，则3233B.则1)3sin(23B，即cb的取值范围是].4,32(…10分9在锐角△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且(tanA－tanB)＝1＋tanA·tanB．(1)若a2－ab＝c2－b2，求A、B、C的大小；(2)已知向量m＝(sinA，cosA)，n＝(cosB，sinB)，求｜3m－2n｜的取值范围．10在ABC中，角ABC、、的对边分别为abc、、，(2,)bcam，(cos,cos)ACn，且mn。⑴求角A的大小；6⑵当22sinsin(2)6yBB取最大值时，求角B的大小解：⑴由mn，得0mn，从而(2)coscos0bcAaC由正弦定理得2sincossincossincos0BACAAC2sincossin()0,2sincossin0BAACBAB,(0,)AB，1sin0,cos2BA，3A（6分）⑵22sinsin(2)(1cos2)sin2coscos2sin666yBBBBB311sin2cos21sin(2)226BBB由(1)得，270,2,366662BB时，即3B时，y取最大值211在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且coscosBCbac2.（I）求角B的大小；（II）若bac134，，求△ABC的面积.解：（I）解法一：由正弦定理aAbBcCRsinsinsin2得aRAbRBcRC222sinsinsin，，将上式代入已知coscoscoscossinsinsinBCbacBCBAC22得即20sincossincoscossinABCBCB即20sincossin()ABBC∵ABCBCAABA，∴，∴sin()sinsincossin20∵sincosAB≠，∴，012∵B为三角形的内角，∴B23.解法二：由余弦定理得coscosBacbacCabcab22222222，将上式代入coscosBCbacacbacababcbac2222222222得×7整理得acbac222∴cosBacbacacac2222212∵B为三角形内角，∴B23（II）将bacB13423，，代入余弦定理bacacB2222cos得bacacacB2222()cos，∴131621123acac()，∴∴SacBABC△12343sin.12ABC中，a、b、c是三个内角A、B、C的对边，关于x的不等式2cos4sin60xCxC的解集是空集．（1）求角C的最大值；（2）若72c，ABC的面积332S，求当角C取最大值时ab的值．解析：（1）显然0cosC不合题意，则有cos00C，即2cos016sin24cos0CCC，即cos01cos2cos2CCC或，故1cos2C，∴角C的最大值为60。…………………6分（2）当C=60时，133sin3242ABCSabCab，∴6ab，由余弦定理得22222cos()22coscababCabababC，∴22121()34abcab，∴112ab。13在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a－c）cosB=bcosC.（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设2411msinA,cosA,nk,k,mn且的最大值是5，求k的值.解：（I）∵(2a－c)cosB=bcosC，∴（2sinA－sinC）cosB=sinBcosC.……………………………………………2分即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)∵A+B+C=π，∴2sinAcosB=sinA.…………………………………………4分∵0Aπ,∴sinA≠0.200703168∴cosB=21.…………………………………………………………………5分∵0Bπ，∴B=3.…………………………………………………………6分（II）mn=4ksinA+cos2A.…………………………………………………………7分=－2sin2A+4ksinA+1，A∈（0，322）……………………………………10分设sinA=t，则t∈]1,0(.则mn=－2t2+4kt+1=－2(t－k)2+1+2k2,t∈]1,0(.…………………………12分∵k1，∴t=1时，mn取最大值.依题意得，－2+4k+1=5，∴k=23.14已知锐角△ABC三个内角为A、B、C，向量()22sin,cossinpAAA=-+与向量()sincos,1sinqAAA=-+是共线向量.（Ⅰ）求角A.（Ⅱ）求函数232sincos2CByB-=+的最大值.解：（Ⅰ）,pq共线22sin1sincossincossinAAAAAA……2分23sin4A…………4分又A为锐角，所以3sin2A3A………6分（Ⅱ）232sincos2CByB2332sincos2BBB22sincos(2)3BB131cos2cos2sin222BBB31sin2cos2122BBsin(2)16B……………9分50,2,2666BB…………10分2623BB时，max2y…………12分15在三角形ABC中，m=（cos2C,sin2C