2014届高考数学(理科)二轮专题突破辅导与测试课件专题六 第1讲 算法、复数、推理与证明

第一讲算法、复数、推理与证明(选择、填空题型)推理与证明复数1.程序框图在高考中主要考查的类型有：(1)判断功能型；(2)结果输出型；(3)条件判断型．常围绕数列求和、求积，分段函数求值，统计等知识进行命题，如2013年安徽T2,2013年新课标全国卷ⅡT6.2．将复数的概念、复数的几何意义和复数的四则运算融合在一起，其中复数的运算、纯虚数的概念以及“分母实数化”一直是高考的热点，如2013年福建T1,2013年安徽T1.3．高考对合情推理的考查主要有两个方面：一是归纳推理；二是类比推理．重点考查利用这两种推理方法获得新命题、新结论，如2013年陕西T14.算法考情考点1．(2013·安徽高考)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果为()A.34B.16C.1112D.2524解析：第一次循环后：s＝0＋12，n＝4；第二次循环后：s＝0＋12＋14，n＝6；第三次循环后：s＝0＋12＋14＋16，n＝8，跳出循环，输出s＝0＋12＋14＋16＝1112.答案：C2．(2013·新课标全国卷Ⅱ)执行下面的程序框图，如果输入的N＝4，那么输出的S＝()A.1＋12＋13＋…＋110B.1＋12！＋13！＋…＋110！C.1＋12＋13＋…＋111D.1＋12！＋13！＋…＋111！解析：根据程序框图的循环结构，依次T＝1，S＝0＋1＝1，k＝2；T＝12！，S＝1＋12！，k＝3；T＝12×3＝13！，S＝1＋12！＋13！，k＝4；…；T＝110！，S＝1＋12！＋13！＋…＋110！，k＝11＞10＝N，跳出循环，输出结果．答案：B3．(2013·福建高考)已知复数z的共轭复数z＝1＋2i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：∵z＝1＋2i，∴z＝1－2i，∴复数z在复平面内对应的点为(1，－2)，位于第四象限．答案：D4．(2013·安徽高考)设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数．若z·zi＋2＝2z，则z＝()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，又z·zi＋2＝2z，∴(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，∴a＝1，b＝1，故z＝1＋i.答案：A5．(2013·陕西高考)观察下列等式(1＋1)＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，……照此规律，第n个等式可为________．解析：观察规律可知，左边为n项的积，最小项和最大项依次为(n＋1)，(n＋n)，右边为连续奇数之积乘以2n，则第n个等式为：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)．答案：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)1．程序框图的逻辑结构顺序结构、条件结构和循环结构．2．复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类(1)z是实数⇔b＝0；(2)z是虚数⇔b≠0；(3)z是纯虚数⇔a＝0，且b≠0.3．共轭复数复数a＋bi(a，b∈R)的共轭复数是a－bi(a，b∈R)．4．复数的四则运算法则(1)(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i；(2)(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i；(3)(a＋bi)÷(c＋di)＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)．5．两种合情推理的思维过程(1)归纳推理的思维过程：实验、观察概括、推广猜测一般性结论(2)类比推理的思维过程：实验、观察联想、类推猜测新的结论6．数学归纳法证题的步骤(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n＝n0(n0∈N*)时，命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时，命题也成立．只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对于任何n≥n0的正整数都成立．算法问题[例1](1)(2013·重庆高考)执行如图所示的程序框图，如果输出s＝3，那么判断框内应填入的条件是()A．k≤6？B．k≤7?C．k≤8?D．k≤9?(2)(2013·福建高考)阅读如图所示的程序框图，若输入的k＝10，则该算法的功能是()A．计算数列{2n－1}的前10项和B．计算数列{2n－1}的前9项和C．计算数列{2n－1}的前10项和D．计算数列{2n－1}的前9项和[自主解答](1)首次进入循环体，s＝1×log23，k＝3；第二次进入循环体，s＝lg3lg2×lg4lg3＝2，k＝4；依次循环，当第六次进入循环体时，s＝3，k＝8，此时终止循环，则判断框内填“k≤7？”．(2)由程序框图可知：输出S＝1＋2＋22＋…＋29，所以该算法的功能是计算数列{2n－1}的前10项和．[答案](1)B(2)A——————————规律·总结————————————识别程序框图应注意的问题对于循环结构的框图的识图问题，应明确循环结构的框图的特征，明确框图中变量的变化特点，根据框图中的条件决定是否执行框图中的运算，从而确定程序运行的结果．———————————————————————————1．某程序框图如图所示，若输出的S＝26，则判断框内为()A．k2?B．k3?C．k4?D．k5?解析：由程序框图可知，k＝1时S＝1；k＝2时S＝2×1＋2＝4；k＝3时S＝2×4＋3＝11；k＝4时S＝2×11＋4＝26.答案：B2．执行如图所示的程序框图，输出的结果是________．解析：共循环2013次，由裂项求和得S＝11×2＋12×3＋…＋12013×2014＝1－12＋12－13＋…＋12013－12014＝1－12014＝20132014.答案：20132014[例2](1)(2013·山东高考)复数z满足(z－3)·(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数z为()A．2＋iB．2－iC．5＋iD．5－i复数的概念与运算(2)(2013·新课标全国卷Ⅰ)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为()A．－4B.－45C.4D.45(3)(2013·广东高考)若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是()A．(2,4)B．(2，－4)C．(4，－2)D．(4,2)[自主解答](1)由(z－3)(2－i)＝5，得z＝3＋52－i＝3＋52＋i2－i2＋i＝3＋2＋i＝5＋i，所以z＝5－i.(2)因为|4＋3i|＝42＋32＝5，所以已知等式为(3－4i)z＝5，即z＝53－4i＝53＋4i3－4i3＋4i＝53＋4i25＝3＋4i5＝35＋45i，所以复数z的虚部为45.(3)由iz＝2＋4i，可得z＝2＋4ii＝2＋4i·－ii·－i＝4－2i，所以z对应的点的坐标是(4，－2)．[答案](1)D(2)D(3)C本例(3)条件不变，z对应的点在第几象限？解：由例题可知z＝4－2i，∴z＝4＋2i，因此z对应的点在第一象限．——————————规律·总结————————————复数运算的技巧复数代数形式的运算类似于多项式的运算，加法类似于合并同类项，乘法类似于多项式乘多项式，除法类似于分母有理化(实数化)，分子、分母同乘分母的共轭复数．——————————————————————————3．已知i为虚数单位，则复数i(2－3i)对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：i(2－3i)＝2i＋3＝3＋2i对应的点为(3,2)，位于第一象限．答案：A4．已知m∈R，复数m＋i1＋i－12的实部和虚部相等，则m＝_____.解析：m＋i1＋i－12＝m＋i1－i1＋i1－i－12＝m＋1＋1－mi2－12＝m＋1－mi2，由已知得m＝1－m，则m＝12.答案：12推理与证明[例3](1)(2013·湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为nn＋12＝12n2＋12n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)＝12n2＋12n，正方形数N(n,4)＝n2，五边形数N(n,5)＝32n2－12n，六边形数N(n,6)＝2n2－n，……可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝________.(2)观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此规律，第n个等式可为________．[自主解答](1)N(n，k)＝akn2＋bkn(k≥3)，其中数列{ak}是以12为首项，12为公差的等差数列；数列{bk}是以12为首项，－12为公差的等差数列；所以N(n,24)＝11n2－10n，当n＝10时，N(10,24)＝11×102－10×10＝1000.(2)由第一个等式为1，第二个等式为－3，第三个等式为6，第四个等式为－10，……，可得第n个等式为(－1)n＋1nn＋12.[答案](1)1000(2)12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1nn＋12——————————规律·总结————————————合情推理的解题思路(1)在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质．(3)归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性．———————————————————————————5．已知函数f(x)＝xx＋2(x0)．如下定义一列函数：f1(x)＝f(x)，f2(x)＝f(f1(x))，f3(x)＝f(f2(x))，…，fn(x)＝f(fn－1(x))，…，n∈N*，那么由归纳推理可得函数fn(x)的解析式是fn(x)＝________.解析：依题意得，f1(x)＝xx＋2，f2(x)＝xx＋2xx＋2＋2＝x3x＋4＝x22－1x＋22，f3(x)＝x3x＋4x3x＋4＋2＝x7x＋8＝x23－1x＋23，…，由此归纳可得fn(x)＝x2n－1x＋2n(x0)．答案：x2n－1x＋2n(x0)6．已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋1x≥2，x＋4x2＝x2＋x2＋4x2≥3，x＋27x3＝x3＋x3＋x3＋27x3≥4，…，类比得x＋axn≥n＋1(n∈N*)，则a＝________.解析：第一个式子是n＝1的情况，此时a＝11＝1，第二个式子是n＝2的情况，此时a＝22＝4，第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33＝27，归纳可知a＝nn.答案：nn课题20利用归纳推理猜想三角式满足的结论[典例]观察下面的式子sin26°＋cos224°－sin6°cos24°＝34，sin28°＋cos222°－sin8°cos22°＝34，sin210°＋cos220°－sin10°cos20°＝34，sin212°＋cos218°－sin12°cos18°＝34.由此你能发现什么？你的结论是________．[考题揭秘]本题主要考查归纳推理能力以及由特殊到一般的思想．[审题过程]第一步：审条件．给出了sin2α＋cos2β－sinαcosβ＝34形式的4个三角函数式子．第二步：审结论．猜想出一般结论．第三步：建联系．等式左边式子中α＋β＝30°，等式右边是34.[规范解答]题设中各等式形式完全相同，都是sin2α＋cos2β－sinαcosβ＝34的形式，……………………………………①虽然角不同，但是每个式子中两角和都是30°，……②因此归纳猜想可得结论如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝34.…………③[答案]sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝34[模