2014届高考数学一轮复习 第44讲《空间几何体的结构及三视图、直观图》热点针对课件 理

第44讲空间几何体的结构及三视图、直观图1．下列说法中正确的是()A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱B．用一个平面去截一个圆锥，可以得到一个圆台和一个圆锥C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥D．将一个直角三角形绕其一条直角边旋转一周，所得圆锥的母线长等于斜边长D2．如图，点O为正方体ABCD­A′B′C′D′的中心，点E为四边形B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的面上的正投影可能是(填出所有可能的序号)．解析：空间四边形D′OEF在平面ABB′A′上的正投影为①，在平面ADD′A′上的正投影为②，在平面ABCD上的正投影为③，故填①②③.3．(2012·北京市西城区高三期末)一个几何体的正视图和侧视图如图所示，则这个几何体的俯视图不可能是()D解析：因该几何体的主视图和左视图都是正方形，其可能为正方体、底面直径与高相等的圆柱体以及底面是等腰直角三角形且腰长等于高的三棱柱，但不可能为一个长与宽不相等的长方体，故选D.4．(2012·安徽省淮南市第一次模拟)下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④D解析：①的三个视图都相同，排除A，B，C，故选D.5．(改编)如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形B解析：由于△A′B′C′的边A′C′∥y′轴，所以AC⊥x轴，故△ABC为直角三角形．一结构特征判断【例1】以下命题错误的个数是()①以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴，旋转所得的几何体是圆锥；②圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；③四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形；④三棱锥的四个面可能都是直角三角形；⑤有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①错：只有以直角边为轴旋转一周才是圆锥；②错：必相交；③对：如图，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD时，四个侧面均为直角三角形；④对：如图，∠ABC＝90°，PA⊥底面ABC时，则四个面均为直角三角形；⑤错：只有侧棱延长交于一点时才是棱台．综上，错误的个数是3，故选C.【拓展演练1】下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在直线互相平行．其中正确命题的序号是.②④二直观图的斜二测画法【例2】已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，求原三角形的面积．解析：因为直观图的坐标轴成45°，横长不变，竖长画成原来的一半，则还原成原图时将45°还原成90°，则过A′作A′O′与O′C′成45°，将其还原成90°，且AO＝2A′O′.过A′作A′D′⊥B′C′，垂足为D′，则A′D′＝32a，所以A′O′＝32a×2＝62a，所以AO＝6a.所以S△ABC＝12BC·AO＝12a×6a＝62a2.【拓展演练2】如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形的直观图，若A1D1∥O1y，A1B1∥C1D1，A1B1＝23C1D1＝2，A1D1＝O1D1＝1.则原图形的面积为.解析：如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O1D1＝1；OC＝O1C1＝2.过点D作y轴的平行线，并在平行线上截取DA＝2D1A1＝2.过点A作x轴的平行线，并在平行线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，即得到了原图形．由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底边长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2，所以面积S＝2＋32×2＝5.【例3】已知三棱锥的正视图与俯视图如下图所示(单位：cm)，若正视图为等腰三角形，俯视图为三个等腰三角形组成的正三角形，则它的侧视图的面积为()A.34cm2B.32cm2C.34cm2D.32cm2三三视图解析：由已知可得三棱锥的侧视图的面积为S＝12×32×3＝34，故选A.【拓展演练3】(2012·延庆县高考第一次模拟)如图是一个三棱锥的直观图和三视图，其三视图均为直角三角形，则b等于()A.2B.3C.5D.6解析：如图，由侧视图与俯视图知棱锥的高为32－1＝2，再由正视图与侧视图知俯视图的另一直角边为62－22＝2，所以b＝22＋12＝5，故选C.【例4】高为24的四棱锥S­ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为()A.24B.22C．1D.2四空间几何体的简单组合解析：设底面中心为G，球心为O，则易得AG＝22，于是OG＝22，用一个与ABCD所在平面距离等于24的平面去截球，S便为其中一个交点，此截面圆的中心设为H，则OH＝22－24＝24，故SH2＝1－(24)2＝78，故SG＝SH2＋HG2＝78＋242＝1，故选C.【拓展演练4】三棱锥P­ABC的四个顶点都在体积为500π3的球的表面上，△ABC所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为()A．7B．7.5C．8D．9解析：因为△ABC所在小圆面积为16π，所以小圆半径r＝O′A＝4，又球体积为500π3，所以4πR33＝500π3，所以球半径R＝5，所以OO′＝3，当P在OO′上时取得最值．故三棱锥的高满足2≤PO′≤8，故选C.1.(2012·湖南卷)某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是()D解析：由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面和上面图为圆柱或正四棱柱，或底面是等腰直角三角形的直三棱柱，A，B，C都可能是该几何体的俯视图，D不可能是该几何体的俯视图．2.(2011·浙江卷)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()D解析：由正视图可排除A、B选项；由俯视图可排除C选项，故选D.3.(2013·湖南卷)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于()A．1B.2C.2－12D.2＋12C解析：正视图的面积的最小值为1，最大值为2，故不能等于2－12，选C.4.(2012·辽宁卷)已知正三棱锥P­ABC，点P，A，B，C都在半径为3的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为.解析：因为在正三棱锥P­ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，所以可以把该正三棱锥看作一个正方体的一部分(如图所示)，此正方体内接于球，正方体的体对角线为球的直径，球心为正方体对角线的中点，球心到截面ABC的距离为球的半径减去正三棱锥P­ABC在面ABC上的高．已知球的半径为3，所以正方体的棱长为2，可求得正三棱锥P­ABC在面ABC上的高为233，所以球心到截面ABC的距离为3－233＝33.5.(2011·广东卷)正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有()A．20B．15C．12D．10D解析：由题意知正五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为不同在任何侧面内，故从一个顶点出发的对角线有2条，所以正五棱柱对角线的条数共有2×5＝10条，故选D.