数字信号处理 无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器的设计方法

第4章无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计4.2模拟滤波器设计方法4.3根据模拟滤波器设计IIR滤波器4.4从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器的频率变换概述:许多信息处理过程，如信号的过滤，检测、预测等都要用到滤波器，数字滤波器是数字信号处理中使用得最广泛的一种线性系统，是数字信号处理的重要基础。数字滤波器的功能（本质）是将一组输入的数字序列通过一定的运算后转变为另一组输出的数字序列。实现方法主要有两种：数字信号处理硬件和计算机软件。数字滤波器——线性时不变系统。iiaibicid确定系数、或零极点、，以使滤波器满足给定的性能要求——第四章、五章讨论3）用一个有限精度的运算去实现这个系统函数。包括选择运算结构：如级联型、并联型、卷积型、频率采样型以及快速卷积（FFT）型等;数字滤波器的设计步骤：1）按照实际需要确定滤波器的性能要求。2）用一个因果稳定系统的H(z)或h(n)去逼近这个性能要求，即求h(n)的表达式。11-δ1δ2ωc0ωrπ通带过渡带阻带ω时c11min1lg2011lg201lg20jeHjjeHeHA1lg201lg102时r22maxlg201lg201lg20jeHAt通带波动最小阻带衰耗NiNiiiinybinxany01)()()(数字滤波器的数学描述：1)差分方程NMzdzcAzbzaZHNiiMiiNiiiMiii一般111110)1()1(1)(2)系统函数分类:递归系统IIR非递归系统FIR高通低通带通带阻设计方法：先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足预定指标的数字滤波器。由于模拟的网络综合理论已经发展得很成熟模拟滤波器有简单而严格的设计公式，设计起来方便、准确、可将这些理论推广到数字域，作为设计数字滤波器的工具。0)()(dtethjHtjaa0sincos)()(dttjtthjHaa)()(jHjHaa模拟滤波器的设计就是根据一组设计规范设计模拟系统函数Ha(s)，使其逼近某个理想滤波器特性。因果系统中式中ha(t)为系统的冲激响应，是实函数。∴不难看出4.2模拟滤波器设计方法定义振幅平方函数式中Ha(s)—模拟滤波器系统函数Ha(jΩ)—滤波器的频率响应|Ha(jΩ)|—滤波器的幅频响应又S=jΩ，Ω2=-S2∴A(Ω2)=A(-S2)|S=jΩ)1()()()()()()()()()(222jsaaaaaaasHsHjHjHAjHjHjHA问题：由A(-S2)→Ha(S)对于给定的A(-S2)，先在S复平面上标出A(-S2)的极点和零点，由(1)式知，A(-S2)的极点和零点总是“成对出现”，且对称于S平面的实轴和虚轴，选用A(-S2)的对称极、零点的任一半作为Ha(s)的极、零点，则可得到Ha(s)。为了保证Ha(s)的稳定性，应选用A(-S2)在S左半平面的极点作为Ha(s)的极点，零点可选用任一半。例2设已知，求对应的42212AsHa解：42221222ssAsAssHsHaasjImsReO2221j21j21j21j21212jsjsssH1222sssNcajjjHA22211)()()(2AN为滤波器阶数其幅度平方函数：特点：具有通带内最大平坦的振幅特性，且随f↗，幅频特性单调↘。三种模拟低通滤波器的设计：4.2.1巴特沃思(Butterworth)滤波器(巴特沃兹逼近)巴特沃思滤波器振幅平方函数图1中，N增加，通带和阻带的近似性越好，过渡带越陡。Ω/Ωc1时,(Ω/Ωc)2N《1，A(Ω2)→1。Ω/Ωc1时，(Ω/Ωc)2N》1,Ω增加，A(Ω2)快速减小。Ω=Ωc,，,幅度衰减，相当于3dB衰减点。21jH21)(2A振幅平方函数的极点：NcaajSSHSH2)(11)()()()1(21cNPjSNkeeeScNkjcjNkjP21)()(221222112令分母为零，得Butterworth滤波器的振幅平方函数有2N个极点，它们均匀对称地分布在|S|=Ωc的圆周上。三阶A(-S2)的极点分布考虑到系统的稳定性，知AF的系统函数是由S平面左半部分的极点（SP1，SP2，SP3）组成的，它们分别为：3232321,,jcpcpjcpeSSeS))()(()(3213pppcaSSSSSSsH1221)(23SSSsHa1)/(2)/(2)/(1)(23cccassssH系统函数为：1c令，得归一化的三阶BF：如果要还原的话，则有4.2.2切比雪夫（chebyshev）滤波器(切比雪夫多项式逼近)特点：误差值在规定的频段上等幅变化。巴特沃兹滤波器在通带内幅度特性是单调下降的，如果阶次一定，则在靠近截止频率处，幅度下降很多，或者说，为了使通常内的衰减足够小，需要的阶次（N）很高，为了克服这一缺点，采用切比雪夫多项式逼近所希望的。切比雪夫滤波器的在通带范围内是等幅起伏的，所以同样的通带衰减，其阶数较巴特沃兹滤波器要小。可根据需要对通带内允许的衰减量（波动范围）提出要求，如要求波动范围小于1db。c2)(jH2)(jH振幅平方函数为)(11)()(2222cNaVjHAc1)coshcosh(1)coscos()(11xxNxxNxVN)(,,11)(,1xVxxxVxNN时—有效通带截止频率—与通带波纹有关的参量，大，波纹大。01VN（x）—N阶切比雪夫多项式，定义为如图1,通带内变化范围1~Ω＞Ωc，随Ω/Ωc↗，→0(迅速趋于零)当Ω=0时，N为偶数，，min，N为奇数，，max，)2(cos11)]0arccos(cos[11)(22220NNjHa22011)(jHa1)(02jHa1)2(cos2N0)2(cos2N2111c2a)(jH2a)(jH切比雪夫滤波器的振幅平方特性上面讨论了两种最常用的模拟低通滤波器的特性和设计方法，设计时按照指标要求，合理选用。一般，相同指标下，切比雪夫阶次，巴特沃兹高，参数的灵敏度则恰恰相反。以上讨论了由A（Ω2）→Ha(s),下面讨论由Ha(s)→H(Z)的变换设计法。4.3根据模拟滤波器设计IIR滤波器利用模拟滤波器设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波器传递函数Ha(s)设计数字滤波器传递函数H（z），这归根到底是一个由S平面到Z平面的变换，这种映射变换应遵循两个基本原则：1）H（z）的频响要能模仿Ha(s)的频响，即S平面的虚轴应映射到Z平面的单位圆上。2）Ha(s)的因果稳定性映射成H（z）后保持不变，即S平面的左半平面Re{S}＜0应映射到Z平面的单位圆以内|Z|1。je4.3.1脉冲响应不变法脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)正好等于模拟滤波器的冲激响应ha(t)的采样值，即h(n)=ha(nT),T为采样周期。如以Ha(s)及H（z）分别表示ha(t)的拉氏变换及h(n)的Z变换，即Ha(s)=L[ha(t)],H(z)=Z[h(n)]计算H(Z):脉冲响应不变法特别适用于用部分分式表达系统函数，模拟滤波器的系统函数若只有单阶极点，且分母的阶数高于分子阶数N＞M，则可表达为部分分式形式；其拉氏反变换为：单位阶跃对ha(t)采样得到数字滤波器的单位脉冲响应序列NiiiassAsH1)(NitsiatutueAthi1)(),()(NiNinTsinTsianueAnueAnThnhii11)()()()()(再对h(n)取Z变换，得到数字滤波器的传递函数：第二个求和为等比级数之和，要收敛的话，必有所以有01011)()(nNinnTsNiinnTsizeAzeAzHiikTskTszezeii111)(1,0)(1kkTszeiNiTsizeAzHi111)(例1将一个具有如下系统函数的模拟滤波器数字化。解：3111)3)(1(2)(sssssHTTezezzH3111111)(243131)(1)(zeeezeezTTTTT模拟滤波器的频率响应为:4)3(2)3)(1(2)()(2jjjsHjHjsa4.3.2双线性变换法脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混淆，这是从S平面到Z平面的标准变换z＝esT的多值对应关系导致的,第一步：将整个S平面压缩到S1平面的一条横带里；第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个Z由此建立S平面与Z平面一一对应的单值关系，消除多值性，也就消除了混淆现象。s平面s1平面z平面双线性变换法的映射关系为了将S平面的jΩ轴压缩到S1平面jΩ1轴上的－π/T到π/T一段上，可通过以下的正切变换实现：0)2tan(1TΩcΩ这里C是待定常数，下面会讲到用不同的方法确定C，可使模拟滤波器的频率特性与数字源波器的频率特性在不同频率点有对应关系。经过这样的频率变换，当Ω由时,Ω1由-π/T经过０变化到π/T，即S平面的整个jΩ轴被压缩到S1平面的2π/T一段。通常取C=2/T,TsTseecTscs1111)2(th1zzTsTsez1再将S1平面通过标准变换关系映射到Z平面，即令将这一关系解析扩展至整个S平面，则得到S平面到S1)2tan(2TzzTs考虑z=ejω,jjTjTeeTsjj)2tan(22cos)2/sin(2112最后得S平面与Z双线性换法的主要优点是S平面与Z平面一一单值对应，S平面的虚轴(整个jΩ)对应于Z平面单位圆的一周，S平面的Ω=0处对应于Z平面的ω=0处，对应即数字滤波器的频率响应终止于折叠频率处，所以双线性变换不存在混迭效应。zzTssTsTz2121现在我们看看，这一变换是否符合我们一开始提出的由模拟滤波器设计数字滤波器时，从S平面到Z平面映射变换的基本要求：2222221221||,221221TTTTzTjTTjTz1||,0z时1||,0z时1||,0z时即s左半平面映射在单位圆内，s右半平面映射在单位圆外，因此稳定的模拟滤波器通过双线性变换后，所得到的数字滤波器也是稳定的。如图图双线性变换的频率非线性关系小结1)与脉冲响应不变法相比，双线性变换的主要优点：S平面与Z平面是单值的一一对应关系（靠频率的严重非线性关系得到的），即整个jΩ轴单值的对应于单位圆一周，关系式为：可见，ω和Ω为非线性关系，如图2。22tgT图双线性变换的频率非线性关系由图中看到，在零频率附近，Ω～ω接近于线性关系，Ω进一步增加时，ω增长变得缓慢，(ω终止于折叠频率处)，所以双线性变换不会出现由于高频部分超过折叠频率,时2)双线性变换缺点：Ω与ω成非线性关系，导致：a.数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸变，(使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上发生畸变)。例如，一个模拟微分器，它的幅度与频率是直线关系，但通过双线性变换后，就不可能得到数字微分器bkjHeHbkjHj2tan)()()(2tan